Prima asociada

Ideal primo que es un aniquilador de un submódulo primo

En álgebra abstracta , un primo asociado de un módulo M sobre un anillo R es un tipo de ideal primo de R que surge como un aniquilador de un submódulo (primo) de M. El conjunto de primos asociados se denota generalmente por y a veces se llama asesino o asesino de M (juego de palabras entre la notación y el hecho de que un primo asociado es un aniquilador ). ^[1] ${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(M),}$

En álgebra conmutativa , los primos asociados están vinculados a la descomposición primaria de Lasker-Noether de ideales en anillos noetherianos conmutativos . Específicamente, si un ideal J se descompone como una intersección finita de ideales primarios , los radicales de estos ideales primarios son ideales primos , y este conjunto de ideales primos coincide con ^[2]. También vinculadas con el concepto de "primos asociados" del ideal están las nociones de primos aislados y primos incrustados . ${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(R/J).}$

Definiciones

Un módulo R distinto de cero N se denomina módulo primo si el aniquilador para cualquier submódulo distinto de cero N' de N . Para un módulo primo N , es un ideal primo en R . ^[3] ${\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(N)=\mathrm {Ann} _{R}(N')\,}$ ${\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(N)\,}$

Un primo asociado de un R -módulo M es un ideal de la forma donde N es un submódulo primo de M . En álgebra conmutativa la definición habitual es diferente, pero equivalente: ^[4] si R es conmutativo, un primo asociado P de M es un ideal primo de la forma para un elemento distinto de cero m de M o equivalentemente es isomorfo a un submódulo de M . ${\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(N)\,}$ ${\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(m)\,}$ ${\displaystyle R/P}$

En un anillo conmutativo R , los elementos mínimos en (con respecto a la inclusión de teoría de conjuntos) se denominan primos aislados , mientras que el resto de los primos asociados (es decir, aquellos que contienen propiamente primos asociados) se denominan primos incrustados . ${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(M)}$

Un módulo se denomina coprimario si xm  = 0 para algún m distinto de cero  ∈  M implica x ⁿ M  = 0 para algún entero positivo n . Un módulo M finitamente generado distinto de cero sobre un anillo noetheriano conmutativo es coprimario si y solo si tiene exactamente un primo asociado. Un submódulo N de M se denomina P -primario si es coprimario con P . Un ideal I es un ideal P - primario si y solo si ; por lo tanto, la noción es una generalización de un ideal primario. ${\displaystyle M/N}$ ${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(R/I)=\{P\}}$

Propiedades

La mayoría de estas propiedades y afirmaciones se dan en (Lam 1999) a partir de la página 86.

• Si M' ⊆ M , entonces si además M' es un submódulo esencial de M , sus primos asociados coinciden. ${\displaystyle \mathrm {Ass} _{R}(M')\subseteq \mathrm {Ass} _{R}(M).}$
• Es posible, incluso para un anillo local conmutativo, que el conjunto de primos asociados de un módulo finitamente generado esté vacío. Sin embargo, en cualquier anillo que satisfaga la condición de cadena ascendente en ideales (por ejemplo, cualquier anillo noetheriano derecho o izquierdo) cada módulo distinto de cero tiene al menos un primo asociado.
• Cualquier módulo uniforme tiene cero o un primo asociado, lo que hace que los módulos uniformes sean un ejemplo de módulos coprimarios.
• Para un anillo noetheriano unilateral, existe una sobreyección del conjunto de clases de isomorfismo de módulos inyectivos indecomponibles sobre el espectro. Si R es un anillo artiniano , entonces esta función se convierte en una biyección. ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R).}$
• Teorema de Matlis : Para un anillo noetheriano conmutativo R , la función de las clases de isomorfismo de módulos inyectivos indecomponibles con el espectro es una biyección. Además, un conjunto completo de representantes para esas clases está dado por donde denota la envoltura inyectiva y se extiende sobre los ideales primos de R . ${\displaystyle E(R/{\mathfrak {p}})\,}$ ${\displaystyle E(-)\,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\,}$
• Para un módulo noetheriano M sobre cualquier anillo, sólo hay un número finito de primos asociados de M.

Para el caso de anillos noetherianos conmutativos, véase también Descomposición primaria#Descomposición primaria a partir de primos asociados .

Ejemplos

• Si los ideales primos asociados de son los ideales y ${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y,z,w]}$ ${\displaystyle I=((x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})\cdot (z^{3}-w^{3}-3x^{3}))}$ ${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})}$ ${\displaystyle (z^{3}-w^{3}-3x^{3}).}$
• Si R es el anillo de los números enteros, entonces los grupos abelianos libres no triviales y los grupos abelianos no triviales de orden de potencia primo son coprimarios.
• Si R es el anillo de los números enteros y M un grupo abeliano finito, entonces los primos asociados de M son exactamente los primos que dividen el orden de M.
• El grupo de orden 2 es un cociente de los números enteros Z ( considerado como módulo libre sobre sí mismo), pero su ideal primo asociado (2) no es un primo asociado de Z.

Notas

1. Picavet, Gabriel (1985). "Propiedades y aplicaciones de la noción de contenido". Comunicaciones en Álgebra . 13 (10): 2231–2265. doi :10.1080/00927878508823275.
2. Lam 1999, pág. 117, Ex 40B.
3. Lam 1999, pág. 85.
4. Lam 1999, pág. 86.

Referencias

• Nicolas Bourbaki , Algèbre conmutativo
• Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 150, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1, Sr.  1322960
• Lam, Tsit Yuen (1999), Lecciones sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas n.º 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, Sr.  1653294
• Matsumura, Hideyuki (1970), Álgebra conmutativa

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