En lógica matemática , una teoría (también llamada teoría formal ) es un conjunto de oraciones en un lenguaje formal . En la mayoría de los escenarios, un sistema deductivo se entiende primero a partir del contexto, después de lo cual un elemento de una teoría deductivamente cerrada se denomina teorema de la teoría. En muchos sistemas deductivos suele existir un subconjunto que se denomina "el conjunto de axiomas " de la teoría , en cuyo caso el sistema deductivo también recibe el nombre de " sistema axiomático ". Por definición, todo axioma es automáticamente un teorema. Una teoría de primer orden es un conjunto de oraciones (teoremas) de primer orden obtenidas recursivamente mediante las reglas de inferencia del sistema aplicadas al conjunto de axiomas.
Al definir teorías con fines fundacionales, se debe tener especial cuidado, ya que el lenguaje normal de la teoría de conjuntos puede no ser apropiado.
La construcción de una teoría comienza especificando una clase conceptual definida no vacía , cuyos elementos se denominan enunciados . Estos enunciados iniciales suelen denominarse elementos primitivos o enunciados elementales de la teoría, para distinguirlos de otros enunciados que pueden derivarse de ellos.
Una teoría es una clase conceptual que consta de algunos de estos enunciados elementales. Los enunciados elementales que pertenecen a se denominan teoremas elementales de y se dice que son verdaderos . De esta manera, una teoría puede verse como una forma de designar un subconjunto de teorías que sólo contienen afirmaciones que son verdaderas.
Esta forma general de designar una teoría estipula que la verdad de cualquiera de sus enunciados elementales no se conoce sin referencia a . Así, el mismo enunciado elemental puede ser verdadero con respecto a una teoría pero falso con respecto a otra. Esto recuerda el caso del lenguaje común donde afirmaciones como "Él es una persona honesta" no pueden juzgarse verdaderas o falsas sin interpretar quién es "él" y, de hecho, qué es una "persona honesta" según esta teoría. . [1]
Una teoría es una subteoría de una teoría si es un subconjunto de . Si es un subconjunto de entonces se llama extensión o superteoría de
Se dice que una teoría es deductiva si es una clase inductiva , es decir, que su contenido se basa en algún sistema deductivo formal y que algunos de sus enunciados elementales se toman como axiomas . En una teoría deductiva, cualquier oración que sea consecuencia lógica de uno o más axiomas también es una oración de esa teoría. [1] Más formalmente, si es una relación de consecuencias al estilo de Tarski , entonces está cerrada bajo (y por lo tanto cada uno de sus teoremas es una consecuencia lógica de sus axiomas) si y sólo si, para todas las oraciones en el lenguaje de la teoría , si , entonces ; o, de manera equivalente, si es un subconjunto finito de (posiblemente el conjunto de axiomas de en el caso de teorías finitamente axiomatizables) y , entonces , y por lo tanto .
Una teoría sintácticamente consistente es una teoría a partir de la cual no se pueden probar todas las oraciones del lenguaje subyacente (con respecto a algún sistema deductivo , que generalmente queda claro por el contexto). En un sistema deductivo (como la lógica de primer orden) que satisface el principio de explosión , esto equivale a exigir que no exista una oración φ tal que tanto φ como su negación puedan demostrarse a partir de la teoría.
Una teoría satisfactoria es una teoría que tiene un modelo . Esto significa que hay una estructura M que satisface cada oración de la teoría. Cualquier teoría satisfactoria es sintácticamente consistente, porque la estructura que satisface la teoría satisfará exactamente uno de φ y la negación de φ, para cada oración φ.
Una teoría consistente a veces se define como una teoría sintácticamente consistente y otras veces se define como una teoría satisfactoria. Para la lógica de primer orden , el caso más importante, del teorema de completitud se deduce que los dos significados coinciden. [2] En otras lógicas, como la lógica de segundo orden , existen teorías sintácticamente consistentes que no son satisfacibles, como las teorías ω-inconsistentes .
Una teoría completamente consistente (o simplemente una teoría completa ) es una teoría consistente tal que para cada oración φ en su lenguaje, φ es demostrable o {φ} es inconsistente. Para las teorías cerradas bajo consecuencia lógica, esto significa que para cada oración φ, φ o su negación están contenidos en la teoría. [3] Una teoría incompleta es una teoría consistente que no está completa.
(Ver también teoría ω-consistente para una noción más sólida de consistencia).
Una interpretación de una teoría es la relación entre una teoría y algún tema cuando existe una correspondencia de muchos a uno entre ciertos enunciados elementales de la teoría y ciertos enunciados relacionados con el tema. Si cada enunciado elemental de la teoría tiene un correspondiente se llama interpretación completa , en caso contrario se llama interpretación parcial . [4]
Cada estructura tiene varias teorías asociadas. La teoría completa de una estructura A es el conjunto de todas las oraciones de primer orden sobre la firma de A que son satisfechas por A. Se denota por Th( A ). De manera más general, la teoría de K , una clase de σ-estructuras, es el conjunto de todas las oraciones σ de primer orden que satisfacen todas las estructuras en K , y se denota por Th( K ). Claramente Th( A ) = Th({ A }). Estas nociones también pueden definirse con respecto a otras lógicas.
Para cada σ-estructura A , hay varias teorías asociadas en una firma más grande σ' que extiende σ agregando un nuevo símbolo constante para cada elemento del dominio de A. (Si los nuevos símbolos constantes se identifican con los elementos de A que representan, se puede considerar que σ' es σ A.) La cardinalidad de σ' es , por tanto, la mayor entre la cardinalidad de σ y la cardinalidad de A. [ Se necesita más explicación ]
El diagrama de A consta de todas las oraciones σ' atómicas o atómicas negadas que se satisfacen con A y se denotan con diag A. El diagrama positivo de A es el conjunto de todas las oraciones σ' atómicas que A satisface. Se denota por diag + A . El diagrama elemental de A es el conjunto eldiag A de todas las oraciones σ' de primer orden que son satisfechas por A o, de manera equivalente, la teoría completa (de primer orden) de la expansión natural de A hasta la firma σ'.
Una teoría de primer orden es un conjunto de oraciones en un lenguaje formal de primer orden .
Existen muchos sistemas formales de derivación ("prueba") para la lógica de primer orden. Estos incluyen los sistemas deductivos al estilo de Hilbert , la deducción natural , el cálculo del secuente , el método de cuadros y la resolución .
Una fórmula A es una consecuencia sintáctica de una teoría de primer orden si hay una derivación de A utilizando sólo fórmulas como axiomas no lógicos. Esta fórmula A también se denomina teorema de . La notación " " indica que A es un teorema de .
Una interpretación de una teoría de primer orden proporciona una semántica para las fórmulas de la teoría. Se dice que una interpretación satisface una fórmula si la fórmula es verdadera según la interpretación. Un modelo de teoría de primer orden es una interpretación en la que se satisface cada fórmula de.
Una teoría de primer orden es una teoría de primer orden con identidad si incluye el símbolo de relación de identidad "=" y los esquemas de axiomas de reflexividad y sustitución para este símbolo.
Una forma de especificar una teoría es definir un conjunto de axiomas en un lenguaje particular. Se puede considerar que la teoría incluye sólo esos axiomas, o sus consecuencias lógicas o demostrables, según se desee. Las teorías obtenidas de esta manera incluyen la aritmética ZFC y Peano .
Una segunda forma de especificar una teoría es comenzar con una estructura y dejar que la teoría sea el conjunto de oraciones que satisface la estructura. Este es un método para producir teorías completas a través de la ruta semántica, con ejemplos que incluyen el conjunto de oraciones verdaderas bajo la estructura ( N , +, ×, 0, 1, =), donde N es el conjunto de números naturales y el conjunto de oraciones verdaderas bajo la estructura ( R , +, ×, 0, 1, =), donde R es el conjunto de números reales. La primera de ellas, llamada teoría de la aritmética verdadera , no puede escribirse como el conjunto de consecuencias lógicas de cualquier conjunto enumerable de axiomas. Tarski demostró que la teoría de ( R , +, ×, 0, 1, =) era decidible ; es la teoría de campos cerrados reales (ver Decidibilidad de las teorías de primer orden de los números reales para obtener más información).
