Armónicos esféricos zonales

En el estudio matemático de la simetría rotacional , los armónicos esféricos zonales son armónicos esféricos especiales que son invariantes bajo la rotación a través de un eje fijo particular. Las funciones esféricas zonales son una extensión amplia de la noción de armónicos esféricos zonales para permitir un grupo de simetría más general .

En la esfera bidimensional, el armónico esférico zonal único de grado ℓ invariante bajo rotaciones que fijan el polo norte se representa en coordenadas esféricas por donde P _ℓ es el polinomio de Legendre normalizado de grado ℓ , . El armónico esférico zonal genérico de grado ℓ se denota por , donde x es un punto en la esfera que representa el eje fijo e y es la variable de la función. Esto se puede obtener mediante la rotación del armónico zonal básico $${\displaystyle Z^{(\ell )}(\theta ,\phi )={\frac {2\ell +1}{4\pi }}P_{\ell }(\cos \theta )}$$ ${\displaystyle P_{\ell }(1)=1}$ ${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )}$ ${\displaystyle Z^{(\ell )}(\theta ,\phi ).}$

En el espacio euclidiano de dimensión n , los armónicos esféricos zonales se definen de la siguiente manera. Sea x un punto en la ( n −1)-esfera. Definamos como la representación dual de la funcional lineal en el espacio de Hilbert de dimensión finita H _ℓ de los armónicos esféricos de grado ℓ con respecto a la medida de Haar en la esfera con masa total (véase Esfera unitaria ). En otras palabras, se cumple la siguiente propiedad de reproducción : para todo Y ∈ H _ℓ donde es la medida de Haar de arriba. ${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}}$ $${\displaystyle P\mapsto P(\mathbf {x} )}$$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$ ${\displaystyle A_{n-1}}$ $${\displaystyle Y(\mathbf {x} )=\int _{S^{n-1}}Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )Y(\mathbf {y} )\,d\Omega (y)}$$ ${\displaystyle \Omega }$

Relación con los potenciales armónicos

Los armónicos zonales aparecen naturalmente como coeficientes del núcleo de Poisson para la bola unitaria en R ⁿ : para los vectores unitarios x e y , donde es el área de superficie de la esfera (n-1)-dimensional. También están relacionados con el núcleo de Newton a través de donde x , y ∈ R ⁿ y las constantes c _{n , k} están dadas por $${\displaystyle {\frac {1}{\omega _{n-1}}}{\frac {1-r^{2}}{|\mathbf {x} -r\mathbf {y} |^{n}}}=\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}Z_{\mathbf {x} }^{(k)}(\mathbf {y} ),}$$ ${\displaystyle \omega _{n-1}}$ $${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{n-2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }c_{n,k}{\frac {|\mathbf {x} |^{k}}{|\mathbf {y} |^{n+k-2}}}Z_{\mathbf {x} /|\mathbf {x} |}^{(k)}(\mathbf {y} /|\mathbf {y} |)}$$ $${\displaystyle c_{n,k}={\frac {1}{\omega _{n-1}}}{\frac {2k+n-2}{(n-2)}}.}$$

Los coeficientes de la serie de Taylor del núcleo de Newton (con la normalización adecuada) son precisamente los polinomios ultrasféricos . Por lo tanto, los armónicos esféricos zonales se pueden expresar de la siguiente manera. Si α = ( n −2)/2 , entonces donde c _{n , ℓ} son las constantes anteriores y es el polinomio ultrasférico de grado ℓ. $${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )={\frac {n+2\ell -2}{n-2}}C_{\ell }^{(\alpha )}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )}$$ ${\displaystyle C_{\ell }^{(\alpha )}}$

Propiedades

• Los armónicos esféricos zonales son invariantes rotacionalmente, lo que significa que para cada transformación ortogonal R . Por el contrario, cualquier función f ( x , y ) en S ^{n −1} × S ^{n −1} que sea un armónico esférico en y para cada x fijo , y que satisfaga esta propiedad de invariancia, es un múltiplo constante del armónico zonal de grado ℓ . $${\displaystyle Z_{R\mathbf {x} }^{(\ell )}(R\mathbf {y} )=Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )}$$
• Si Y ₁ , ..., Y _d es una base ortonormal de H _ℓ , entonces $${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )=\sum _{k=1}^{d}Y_{k}(\mathbf {x} ){\overline {Y_{k}(\mathbf {y} )}}.}$$
• Evaluando en x = y se obtiene $${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {x} )=\omega _{n-1}^{-1}\dim \mathbf {H} _{\ell }.}$$

Referencias

• Stein, Elias ; Weiss, Guido (1971), Introducción al análisis de Fourier en espacios euclidianos , Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9.