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Borde (geometría)

En geometría , una arista es un tipo particular de segmento de línea que une dos vértices en un polígono , poliedro o politopo de dimensiones superiores . [1] En un polígono, una arista es un segmento de línea en el límite, [2] y a menudo se llama lado del polígono . En un poliedro o, de manera más general, un politopo, una arista es un segmento de línea donde se encuentran dos caras (o lados del poliedro). [3] Un segmento que une dos vértices mientras pasa por el interior o el exterior no es una arista, sino que se llama diagonal .

Relación con los bordes en los gráficos

En teoría de grafos , una arista es un objeto abstracto que conecta dos vértices de grafos , a diferencia de las aristas de polígonos y poliedros que tienen una representación geométrica concreta como un segmento de línea. Sin embargo, cualquier poliedro puede representarse por su esqueleto o arista-esqueleto, un grafo cuyos vértices son los vértices geométricos del poliedro y cuyas aristas corresponden a las aristas geométricas. [4] Por el contrario, los grafos que son esqueletos de poliedros tridimensionales pueden caracterizarse por el teorema de Steinitz como exactamente los grafos planos conexos de 3 vértices . [5]

Número de aristas en un poliedro

La superficie de cualquier poliedro convexo tiene característica de Euler.

donde V es el número de vértices , E es el número de aristas y F es el número de caras . Esta ecuación se conoce como fórmula del poliedro de Euler . Por lo tanto, el número de aristas es 2 menos que la suma de los números de vértices y caras. Por ejemplo, un cubo tiene 8 vértices y 6 caras, y por lo tanto 12 aristas.

Incidencias con otras caras

En un polígono, dos aristas se encuentran en cada vértice ; de ​​manera más general, por el teorema de Balinski , al menos d aristas se encuentran en cada vértice de un politopo convexo de dimensión d . [6] De manera similar, en un poliedro, exactamente dos caras bidimensionales se encuentran en cada arista, [7] mientras que en politopos de dimensiones superiores tres o más caras bidimensionales se encuentran en cada arista.

Terminología alternativa

En la teoría de politopos convexos de alta dimensión , una faceta o lado de un politopo de dimensión d es una de sus  características de dimensión ( d − 1), una cresta es una característica de dimensión ( d  − 2) y un pico es una característica de dimensión ( d − 3). Por lo tanto, los bordes de un polígono son sus facetas, los bordes de un poliedro convexo  tridimensional son sus crestas y los bordes de un politopo tetradimensional son sus picos. [8]

Véase también

Referencias

  1. ^ Ziegler, Günter M. (1995), Lecciones sobre politopos, Textos de posgrado en matemáticas , vol. 152, Springer, Definición 2.1, pág. 51, ISBN 9780387943657.
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Arista del polígono". De Wolfram MathWorld.
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Arista de politopo". De Wolfram MathWorld.
  4. ^ Senechal, Marjorie (2013), Dar forma al espacio: explorar los poliedros en la naturaleza, el arte y la imaginación geométrica, Springer, pág. 81, ISBN 9780387927145.
  5. ^ Pisanski, Tomaž ; Randić, Milan (2000), "Puentes entre la geometría y la teoría de grafos", en Gorini, Catherine A. (ed.), Geometry at work , MAA Notes, vol. 53, Washington, DC: Math. Assoc. America, págs. 174–194, MR  1782654. Véase en particular el Teorema 3, pág. 176.
  6. ^ Balinski, ML (1961), "Sobre la estructura gráfica de poliedros convexos en el espacio n", Pacific Journal of Mathematics , 11 (2): 431–434, doi : 10.2140/pjm.1961.11.431 , MR  0126765.
  7. ^ Wenninger, Magnus J. (1974), Modelos de poliedros, Cambridge University Press, pág. 1, ISBN 9780521098595.
  8. ^ Seidel, Raimund (1986), "Construcción de cascos convexos de mayor dimensión a un costo logarítmico por cara", Actas del Decimoctavo Simposio Anual de la ACM sobre Teoría de la Computación (STOC '86) , págs. 404-413, doi :10.1145/12130.12172, S2CID  8342016.

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