En la relatividad general , el argumento del agujero es una aparente paradoja que preocupó mucho a Albert Einstein mientras desarrollaba sus famosas ecuaciones de campo .
Algunos filósofos de la física toman el argumento para plantear un problema para el sustancialismo múltiple , una doctrina de que la variedad de eventos en el espacio-tiempo es una "sustancia" que existe independientemente del campo métrico definido en ella o de la materia dentro de ella. Otros filósofos y físicos no están de acuerdo con esta interpretación y, en cambio, ven el argumento como una confusión sobre la invariancia del calibre y la fijación del calibre . [ cita necesaria ]
En una ecuación de campo habitual, conocer el origen del campo y las condiciones de contorno determina el campo en todas partes. Por ejemplo, si nos dan la densidad de carga y corriente y las condiciones límite apropiadas, las ecuaciones de Maxwell determinan los campos eléctrico y magnético. Sin embargo, no determinan el potencial vectorial, porque el potencial vectorial depende de una elección arbitraria de calibre.
Einstein notó que si las ecuaciones de la gravedad son generalmente covariantes , entonces la métrica no puede ser determinada únicamente por sus fuentes en función de las coordenadas del espacio-tiempo. Como ejemplo: consideremos una fuente gravitacional, como el Sol. Entonces hay algún campo gravitacional descrito por una métrica g(r). Ahora realice una transformación de coordenadas r r' donde r' es igual que r para puntos que están dentro del Sol pero r' es diferente de r fuera del Sol. La descripción de las coordenadas del interior del Sol no se ve afectada por la transformación, pero la forma funcional de la métrica g' para los nuevos valores de coordenadas fuera del Sol sí cambia. Debido a la covarianza general de las ecuaciones de campo, esta métrica transformada g' también es una solución en el sistema de coordenadas no transformado.
Esto significa que una fuente, el Sol, puede ser la fuente de muchas métricas aparentemente diferentes. La resolución es inmediata: dos campos cualesquiera que sólo difieren por una transformación de "hueco" son físicamente equivalentes, del mismo modo que dos potenciales vectoriales diferentes que difieren por una transformación de calibre son físicamente equivalentes. Entonces todas estas soluciones matemáticamente distintas no son físicamente distinguibles: representan una y la misma solución física de las ecuaciones de campo.
Hay muchas variaciones de esta aparente paradoja. En una versión, considere una superficie de valor inicial con algunos datos y encuentre la métrica en función del tiempo. Luego realice una transformación de coordenadas que mueva puntos en el futuro de la superficie del valor inicial, pero que no afecte la superficie inicial ni ningún punto en el infinito. La conclusión puede ser que las ecuaciones de campo generalmente covariantes no determinan el futuro de forma única, ya que esta nueva métrica transformada de coordenadas es una solución igualmente válida de las mismas ecuaciones de campo en el sistema de coordenadas original. Entonces, el problema del valor inicial no tiene una solución única en la relatividad general. Esto también es cierto en electrodinámica, ya que se puede realizar una transformación de calibre que sólo afectará al potencial del vector mañana. La solución en ambos casos es utilizar condiciones adicionales para arreglar un medidor.
La derivación de Einstein de las ecuaciones del campo gravitacional se retrasó debido al argumento del agujero que creó en 1913. [1] Sin embargo, el problema no era como se plantea en la sección anterior. En 1912, cuando Einstein comenzó lo que llamó su "lucha con el significado de las coordenadas", [2] ya sabía buscar ecuaciones tensoriales, ya que éstas no se ven afectadas por el cambio de coordenadas. Ya había encontrado la forma del campo gravitacional (es decir, como una tétrada o marco de campo o métrica ), y las ecuaciones de movimiento de la materia en un campo gravitacional dado (que se derivan de maximizar el tiempo propio dado por ). [3] Es evidente que esto es invariante bajo transformaciones de coordenadas.
Lo que le perturbaba era una consecuencia de su principio de covarianza general y surge de lo siguiente. [4] La covarianza general establece que las leyes de la física deben tomar la misma forma matemática en todos los sistemas de referencia (acelerados o no) y, por lo tanto, en todos los sistemas de coordenadas y, por lo tanto, las ecuaciones diferenciales que son las ecuaciones de campo del campo gravitacional deben tomar la misma forma matemática. forma en todos los sistemas de coordenadas. En otras palabras, dados dos sistemas de coordenadas, digamos coordenadas y coordenadas, uno tiene exactamente la misma ecuación diferencial para resolver en ambos, excepto que en uno la variable independiente es y en el otro la variable independiente es . Esto implica que tan pronto como se encuentra una función métrica en el sistema de coordenadas que resuelve las ecuaciones de campo, se puede simplemente escribir la misma función pero reemplazar todas las 's por 's, que resuelve las ecuaciones de campo en el sistema de coordenadas. Como estas dos soluciones tienen la misma forma funcional pero pertenecen a diferentes sistemas de coordenadas, imponen diferentes geometrías espacio-temporales. Tenga en cuenta que esta segunda solución no está relacionada con la primera mediante una transformación de coordenadas, pero de todos modos es una solución. He aquí el problema que tanto perturbó a Einstein: si estos sistemas de coordenadas difieren sólo después, entonces hay dos soluciones; Tienen las mismas condiciones iniciales pero imponen geometrías diferentes después . Sobre la base de esta observación, Einstein pasó tres años buscando ecuaciones de campo generalmente no covariantes en una carrera frenética contra Hilbert . [5]
Para ser más exactos, Einstein concibió una situación en la que la distribución de la materia se conoce en todas partes fuera de alguna región cerrada del espacio-tiempo desprovista de materia, el agujero. Entonces las ecuaciones de campo junto con las condiciones de contorno supuestamente permiten determinar el campo métrico dentro del agujero. Se toman las coordenadas y para diferir dentro del agujero pero concordar fuera de él. El argumento continúa entonces como en el párrafo anterior.
Como estas dos soluciones tienen la misma forma funcional, asumen los mismos valores; simplemente los asumen en diferentes lugares. Por lo tanto, una solución se obtiene a partir de la otra arrastrando activamente la función métrica sobre la variedad espacio-temporal hacia la nueva configuración. Esto se conoce como difeomorfismo , a veces llamado difeomorfismo activo por los físicos para distinguirlo de las transformaciones de coordenadas (diffeomorfismos pasivos). Einstein no pudo encontrar ecuaciones de campo generalmente no covariantes solo para volver al argumento del agujero y resolverlo. Básicamente implicó aceptar que estas dos soluciones son físicamente equivalentes al afirmar que la forma en que se localiza la métrica sobre la variedad espacio-temporal es físicamente irrelevante y que los puntos individuales del espacio-tiempo definidos en términos de coordenadas espacio-temporales no tienen significado físico en sí mismos (esta es la fuente). del problema del sustancialismo múltiple). Para dar significado a "ubicación", Einstein generalizó la situación dada en los párrafos anteriores introduciendo dos partículas; entonces los puntos físicos (dentro del agujero) se pueden definir en términos de sus líneas mundiales coincidentes. Esto funciona porque la materia se arrastra junto con la métrica bajo difeomorfismos activos. Sin la introducción de estas partículas no sería posible definir puntos físicos del espacio-tiempo (dentro del agujero); consulte las citas de Einstein que figuran a continuación en la sección 'Resolución de Einstein'.
Para los que tienen inclinaciones filosóficas, todavía hay algo de sutileza. Si las componentes métricas se consideran las variables dinámicas de la Relatividad General , la condición de que las ecuaciones sean invariantes de coordenadas no tiene ningún contenido por sí sola. Todas las teorías físicas son invariantes bajo transformaciones de coordenadas si se formulan correctamente. Es posible escribir las ecuaciones de Maxwell en cualquier sistema de coordenadas y predecir el futuro de la misma manera.
Pero para formular el electromagnetismo en un sistema de coordenadas arbitrario, es necesario introducir una descripción de la geometría del espacio-tiempo que no esté ligada a un sistema de coordenadas especial. Esta descripción es un tensor métrico en cada punto, o una conexión que define qué vectores cercanos son paralelos. El objeto matemático introducido, la métrica de Minkowski, cambia de forma de un sistema de coordenadas a otro, pero no forma parte de la dinámica, no obedece a ecuaciones de movimiento. Pase lo que pase con el campo electromagnético, siempre es lo mismo. Actúa sin que se actúe sobre él.
En la Relatividad General, cada cantidad local separada que se utiliza para describir la geometría es en sí misma un campo dinámico local, con su propia ecuación de movimiento. Esto produce severas restricciones, porque la ecuación de movimiento tiene que ser sensata. Debe determinar el futuro a partir de las condiciones iniciales, no debe tener inestabilidades descontroladas para pequeñas perturbaciones, debe definir una energía definida positiva para pequeñas desviaciones. Si se adopta el punto de vista de que la invariancia de las coordenadas es trivialmente cierta, el principio de la invariancia de las coordenadas simplemente establece que la métrica en sí es dinámica y su ecuación de movimiento no implica una geometría de fondo fija.
En 1915, Einstein se dio cuenta de que el argumento del agujero hace una suposición sobre la naturaleza del espacio-tiempo: supone que tiene sentido hablar del valor del campo gravitacional (hasta meras transformaciones de coordenadas) en un punto del espacio-tiempo definido por una coordenada del espacio-tiempo. más precisamente, supone que tiene sentido hablar de las propiedades físicas del campo gravitacional, por ejemplo, si es plano o curvo (esta es una propiedad independiente de las coordenadas del campo gravitacional), en un punto del espacio-tiempo. Al abandonar este supuesto, la covarianza general se volvió compatible con el determinismo. Mientras que dos campos gravitacionales que difieren por un difeomorfismo activo parecen diferentes geométricamente, después de recalcular las trayectorias de todas las partículas, sus interacciones definen manifiestamente ubicaciones "físicas" con respecto a las cuales el campo gravitacional toma el mismo valor bajo todos los difeomorfismos activos. [6] (Tenga en cuenta que si las dos métricas estuvieran relacionadas entre sí mediante una mera transformación de coordenadas, las líneas mundiales de las partículas no se transpondrían; esto se debe a que ambas métricas imponen la misma geometría espacio-temporal y porque las líneas mundiales se definen geométricamente como trayectorias de tiempo máximo propio (es sólo con un difeomorfismo activo que se cambia la geometría y se alteran las trayectorias). Esta fue la primera declaración clara del principio de invariancia de calibre en la ley física.
Einstein creía que el argumento completo implica que la única definición significativa de ubicación y tiempo es a través de la materia. Un punto en el espacio-tiempo no tiene sentido en sí mismo, porque la etiqueta que se le da a tal punto es indeterminada. Los puntos del espacio-tiempo sólo adquieren su significado físico porque la materia se mueve a través de ellos. En sus palabras:
Consideró que ésta era la visión más profunda de la relatividad general. Según esta idea, el contenido físico de cualquier teoría se agota en el catálogo de coincidencias espacio-temporales que autoriza. John Stachel llamó a este principio argumento de coincidencia puntual . [1]
Generalmente, lo que es invariante bajo difeomorfismos activos, y por lo tanto invariante de calibre, son las coincidencias entre el valor que tienen el campo gravitacional y el valor del campo de materia en el mismo "lugar" porque el campo gravitacional y el campo de materia se arrastran entre sí. bajo un difeomorfismo activo. De estas coincidencias se puede formar una idea de que la materia está situada con respecto al campo gravitacional. Como dice Carlo Rovelli : "No más campos en el espacio-tiempo: sólo campos sobre campos". [4] Este es el verdadero significado [ se necesita aclaración ] del dicho "El escenario desaparece y se convierte en uno de los actores"; El espacio-tiempo como "contenedor" sobre el que se desarrolla la física no tiene ningún significado físico objetivo y, en cambio, la interacción gravitacional se representa simplemente como uno de los campos que forman el mundo.
Einstein se refirió a su resolución como "más allá de mis expectativas más descabelladas".
La gravedad cuántica de bucles (LQG) es un enfoque de la gravedad cuántica que intenta unir los principios fundamentales de la GR clásica con las características mínimas esenciales de la mecánica cuántica y sin exigir nuevas hipótesis. Los físicos de la gravedad cuántica de bucles consideran la independencia del fondo como un principio central en su enfoque para cuantificar la gravedad, una simetría clásica que la teoría cuántica debería preservar si queremos verdaderamente cuantificar la geometría (= gravedad). Una consecuencia inmediata es que LQG es UV-finito porque las distancias pequeñas y grandes son equivalentes en calibre, ya que se puede reemplazar una función métrica por otra relacionada con la primera mediante un difeomorfismo activo. Se puede dar un argumento más preciso. [8] Thiemann ha proporcionado la prueba directa de la finitud del LQG canónico en presencia de todas las formas de materia. [9] Sin embargo, se ha sugerido [ ¿quién? ] que la gravedad cuántica de bucles viola la independencia del fondo al introducir un marco de referencia preferido (" espumas de espín "). [ cita necesaria ]
La teoría de cuerdas perturbativa (además de una serie de formulaciones no perturbativas) no es "obviamente" independiente del fondo, porque depende de condiciones de contorno en el infinito, de manera similar a como la relatividad general perturbativa no es "obviamente" dependiente del fondo. Sin embargo, algunos sectores de la teoría de cuerdas admiten formulaciones en las que la independencia de fondo es manifiesta, incluido el AdS/CFT . Se cree que la teoría de cuerdas es independiente del trasfondo en general, incluso si muchas formulaciones útiles no lo manifiestan. [10] Para una opinión contraria, véase Smolin. [11]
