Arco circular

Parte de un círculo entre dos puntos

Un sector circular está sombreado en verde. Su límite curvo de longitud L es un arco circular.

Un arco circular es el arco de un círculo entre un par de puntos distintos . Si los dos puntos no están directamente opuestos entre sí, uno de estos arcos, el arco menor , subtiende un ángulo en el centro del círculo que es menor que π radianes (180 grados ); y el otro arco, el arco mayor , subtiende un ángulo mayor que π radianes. El arco de un círculo se define como la parte o segmento de la circunferencia de un círculo. Una línea recta que conecta los dos extremos del arco se conoce como cuerda de un círculo. Si la longitud de un arco es exactamente la mitad del círculo, se conoce como arco semicircular .

Longitud

La longitud (más precisamente, la longitud del arco ) de un arco de un círculo con radio r y que subtiende un ángulo θ (medido en radianes) con el centro del círculo, es decir, el ángulo central , es

${\displaystyle L=\theta r.}$

Esto es porque

${\displaystyle {\frac {L}{\mathrm {circumference} }}={\frac {\theta }{2\pi }}.}$

Sustituyendo en la circunferencia

${\displaystyle {\frac {L}{2\pi r}}={\frac {\theta }{2\pi }},}$

y, siendo α el mismo ángulo medido en grados, ya que θ  =  ⁠alfa/180⁠ π , la longitud del arco es igual a

${\displaystyle L={\frac {\alpha \pi r}{180}}.}$

Una forma práctica de determinar la longitud de un arco en un círculo es trazar dos líneas desde los extremos del arco hasta el centro del círculo, medir el ángulo donde las dos líneas se encuentran con el centro y luego resolver para L multiplicando de forma cruzada la afirmación:

medida de ángulo en grados/360° = L /circunferencia.

Por ejemplo, si la medida del ángulo es de 60 grados y la circunferencia es de 24 pulgadas, entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {60}{360}}&={\frac {L}{24}}\\[6pt]360L&=1440\\[6pt]L&=4.\end{aligned}}}$

Esto es así porque la circunferencia de un círculo y los grados de un círculo, que siempre son 360, son directamente proporcionales.

La mitad superior de un círculo se puede parametrizar como

${\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}.}$

Entonces la longitud del arco desde hasta es ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle x=b}$

${\displaystyle L=r{\Big [}\arcsin \left({\frac {x}{r}}\right){\Big ]}_{a}^{b}.}$

Área sectorial

El área del sector formado por un arco y el centro de un círculo (delimitado por el arco y los dos radios trazados hasta sus extremos) es

${\displaystyle A={\frac {r^{2}\theta }{2}}.}$

El área A tiene la misma proporción con el área del círculo que el ángulo θ con un círculo completo:

${\displaystyle {\frac {A}{\pi r^{2}}}={\frac {\theta }{2\pi }}.}$

Podemos cancelar π en ambos lados:

${\displaystyle {\frac {A}{r^{2}}}={\frac {\theta }{2}}.}$

Al multiplicar ambos lados por r ² , obtenemos el resultado final:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}r^{2}\theta .}$

Utilizando la conversión descrita anteriormente, encontramos que el área del sector para un ángulo central medido en grados es

${\displaystyle A={\frac {\alpha }{360}}\pi r^{2}.}$

Área de segmento

El área de la figura delimitada por el arco y la línea recta entre sus dos puntos finales es

${\displaystyle {\frac {1}{2}}r^{2}(\theta -\sin \theta ).}$

Para obtener el área del segmento de arco , debemos restar el área del triángulo, determinada por el centro del círculo y los dos puntos extremos del arco, del área . Consulte Segmento circular para obtener más detalles. ${\displaystyle A}$

Radio

El producto de los segmentos AP y PB es igual al producto de los segmentos CP y PD. Si el arco tiene un ancho AB y una altura CP, entonces el diámetro del círculo ${\displaystyle CD={\frac {AP\cdot PB}{CP}}+CP}$

Utilizando el teorema de las cuerdas intersecantes (también conocido como teorema de la potencia de un punto o teorema de la tangente secante) es posible calcular el radio r de un círculo dada la altura H y el ancho W de un arco:

Considere la cuerda con los mismos puntos finales que el arco. Su bisectriz perpendicular es otra cuerda, que es un diámetro del círculo. La longitud de la primera cuerda es W , y está dividida por la bisectriz en dos mitades iguales, cada una con longitud ⁠Yo/2⁠ . La longitud total del diámetro es 2 r , y está dividida en dos partes por la primera cuerda. La longitud de una parte es la sagitta del arco, H , y la otra parte es el resto del diámetro, con longitud 2 r  −  H . Al aplicar el teorema de las cuerdas que se cortan a estas dos cuerdas se obtiene

${\displaystyle H(2r-H)=\left({\frac {W}{2}}\right)^{2},}$

De dónde

${\displaystyle 2r-H={\frac {W^{2}}{4H}},}$

entonces

${\displaystyle r={\frac {W^{2}}{8H}}+{\frac {H}{2}}.}$

El arco, la cuerda y la sagitta derivan sus nombres respectivamente de las palabras latinas para arco, cuerda de arco y flecha .

Véase también

• Biarco
• Círculo de una esfera
• Gráfica de arco circular
• Interpolación circular
• Limón (geometría)
• Arco meridiano
• Circunferencia
• Movimiento circular
• Velocidad tangencial

Enlaces externos

• Tabla de contenidos de las páginas del Círculo de referencia abierta de matemáticas
• Página de referencia abierta de matemáticas sobre arcos circulares con animación interactiva
• Página de referencia abierta de matemáticas sobre el radio de un arco o segmento circular con animación interactiva
• Weisstein, Eric W. "Arco". MathWorld .