Grupo aproximado

Concepto matemático

En matemáticas , un grupo aproximado es un subconjunto de un grupo que se comporta como un subgrupo "hasta un error constante", en un sentido cuantitativo preciso (por lo que el término subgrupo aproximado puede ser más correcto). Por ejemplo, se requiere que el conjunto de productos de elementos en el subconjunto no sea mucho mayor que el subconjunto mismo (mientras que para un subgrupo se requiere que sean iguales). El concepto se introdujo en la década de 2010, pero se puede rastrear hasta fuentes más antiguas en combinatoria aditiva .

Definición formal

Sea un grupo y ; para dos subconjuntos denotamos por el conjunto de todos los productos . Un subconjunto no vacío es un subgrupo aproximado de si: ^[1] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K\geq 1}$ ${\displaystyle X,Y\subset G}$ ${\displaystyle X\cdot Y}$ ${\displaystyle xy,x\in X,y\in Y}$ ${\displaystyle A\subset G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$

1. Es simétrico, es decir si entonces ; ${\displaystyle g\in A}$ ${\displaystyle g^{-1}\in A}$
2. Existe un subconjunto de cardinalidad tal que . ${\displaystyle X\subset G}$ ${\displaystyle |X|\leq K}$ ${\displaystyle A\cdot A\subset X\cdot A}$

Se verifica inmediatamente que un subgrupo 1-aproximado es lo mismo que un subgrupo genuino. Por supuesto, esta definición solo es interesante cuando es pequeño en comparación con (en particular, cualquier subconjunto es un subgrupo -aproximado). En las aplicaciones se utiliza a menudo con el término fijo y tiende al infinito. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle B\subset G}$ ${\displaystyle |B|}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle |A|}$

Ejemplos de subgrupos aproximados que no son grupos se dan mediante intervalos simétricos y, de manera más general, progresiones aritméticas en los números enteros. En efecto, para todos el subconjunto es un subgrupo 2-aproximado: el conjunto está contenido en la unión de los dos traslados y de . Una progresión aritmética generalizada en es un subconjunto en de la forma , y es un subgrupo -aproximado. ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle X=[-N,N]\subset \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle X+X=[-2N,2N]}$ ${\displaystyle X+N}$ ${\displaystyle X-N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \{n_{1}x_{1}+\cdots +n_{d}x_{d}:|n_{i}|\leq N_{i}\}}$ ${\displaystyle 2^{d}}$

Un ejemplo más general lo dan las bolas en la palabra métrica en grupos nilpotentes generados finitamente .

Clasificación de subgrupos aproximados

Los subgrupos aproximados del grupo de números enteros fueron clasificados completamente por Imre Z. Ruzsa y Freiman. ^[2] El resultado se expresa de la siguiente manera: ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Para cualquier hay tales que para cualquier subgrupo -aproximado existe una progresión aritmética generalizada generada por como máximo números enteros y que contiene al menos elementos, tal que . ${\displaystyle K\geq 1}$ ${\displaystyle C_{K},c_{K}>0}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A\subset \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C_{K}}$ ${\displaystyle c_{K}|A|}$ ${\displaystyle A+A+A+A\supset P}$

Las constantes se pueden estimar con precisión. ^[3] En particular, está contenido en la mayoría de las traducciones de : esto significa que los subgrupos aproximados de son progresiones aritméticas "casi" generalizadas. ${\displaystyle C_{K},C_{K}',c_{K}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C_{K}'}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

El trabajo de Breuillard-Green-Tao (culminación de un esfuerzo iniciado unos años antes por varias personas) es una amplia generalización de este resultado. En una forma muy general, su enunciado es el siguiente: ^[4]

Sea ; existe tal que se cumple lo siguiente. Sea un grupo y un subgrupo -aproximado en . Existen subgrupos con finito y nilpotente tales que , el subgrupo generado por contiene a , y con . ${\displaystyle K\geq 1}$ ${\displaystyle C_{K}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H\triangleleft G_{0}\leq G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G_{0}/H}$ ${\displaystyle A^{4}\supset H}$ ${\displaystyle A^{4}}$ ${\displaystyle G_{0}}$ ${\displaystyle A\subset X\cdot G_{0}}$ ${\displaystyle |X|\leq C_{K}}$

La declaración también proporciona cierta información sobre las características (rango y paso) del grupo nilpotente . ${\displaystyle G_{0}/H}$

En el caso donde se trata de un grupo de matrices finitas los resultados se pueden hacer más precisos, por ejemplo: ^[5] ${\displaystyle G}$

Sea . Para cualquier hay una constante tal que para cualquier cuerpo finito , cualquier subgrupo simple y cualquier subgrupo -aproximado entonces o está contenido en un subgrupo propio de , o , o . ${\displaystyle K\geq 1}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle C_{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle G\subset \mathrm {GL} _{d}(\mathbb {F} _{q})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A\subset G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle |A|\leq K^{C_{d}}}$ ${\displaystyle |A|\geq |G|/K^{C_{d}}}$

El teorema se aplica, por ejemplo, a ; el punto es que la constante no depende de la cardinalidad del cuerpo. En cierto sentido, esto dice que no hay subgrupos aproximados interesantes (además de los subgrupos genuinos) en grupos lineales simples finitos (son o bien "triviales", es decir, muy pequeños, o bien "no propios", es decir, casi iguales a todo el grupo). ${\displaystyle \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {F} _{q})}$ ${\displaystyle q}$

Aplicaciones

El teorema de Breuillard-Green-Tao sobre la clasificación de grupos aproximados puede utilizarse para dar una nueva prueba del teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinómico . El resultado obtenido es en realidad un poco más contundente, ya que establece que existe una " brecha de crecimiento " entre grupos virtualmente nilpotentes (de crecimiento polinómico) y otros grupos; es decir, existe una función (superpolinómica) tal que cualquier grupo con función de crecimiento acotada por un múltiplo de es virtualmente nilpotente. ^[6] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Otras aplicaciones son la construcción de gráficos expansores a partir de los gráficos de Cayley de grupos simples finitos y el tema relacionado de la aproximación superfuerte . ^{[7] [8]}

Notas

1. Verde 2012.
2. Ruzsa, IZ (1994). "Progresiones aritméticas generalizadas y conjuntos de sumas". Acta Mathematica Hungarica . 65 (4): 379–388. doi :10.1007/bf01876039. S2CID  121469006.
3. Breuillard, Tao y Green 2012, Teorema 2.1.
4. Breuillard, Tao y Green 2012, Teorema 1.6.
5. Breuillard 2012, Teorema 4.8.
6. Breuillard, Tao y Green 2012, Teorema 1.11.
7. Breuillard 2012.
8. Helfgott, Harald; Seress, Ákos; Zuk, Andrzej (2015). "Expansión en los grupos simétricos". Revista de Álgebra . 421 : 349–368. arXiv : 1311.6742 . doi : 10.1016/j.jalgebra.2014.08.033 . S2CID  119315830.

Referencias

• Breuillard, Emmanuel (2012). "Gráficos expansores, propiedad (τ) y grupos aproximados". En Bestvina, Mladen; Sageev, Michah; Vogtmann, Karen (eds.). Teoría de grupos geométricos (PDF) . Serie de matemáticas IAS/Park City. Vol. 21. American Math. Soc. págs. 325–378.
• Breuillard, Emmanuel; Tao, Terencia; Verde, Ben (2012). "La estructura de grupos aproximados". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 116 : 115–221. arXiv : 1110.5008 . doi : 10.1007/s10240-012-0043-9 . S2CID  119603959.
• Green, Ben (mayo de 2012). “¿Qué es... un grupo aproximado?” (PDF) . Avisos de la AMS . 59 (5).