Aritmética

Arithmetica ( en griego Ἀριθμητικά ) es untexto griego antiguo sobre matemáticas escrito por el matemático Diofanto (c. 200/214 d. C. – c. 284/298 d. C. ) en el siglo III d. C.^[1] Es una colección de 130 problemas algebraicos que dan soluciones numéricas de ecuaciones determinadas (aquellas con una solución única) y ecuaciones indeterminadas .

Resumen

Las ecuaciones del libro se denominan actualmente ecuaciones diofánticas . El método para resolver estas ecuaciones se conoce como análisis diofántico . La mayoría de los problemas de Arithmetica conducen a ecuaciones cuadráticas .

En el Libro 3, Diofanto resuelve problemas de búsqueda de valores que convierten dos expresiones lineales simultáneamente en cuadrados o cubos. En el Libro 4, encuentra potencias racionales entre números dados. También notó que los números de la forma no pueden ser la suma de dos cuadrados. Diofanto también parece saber que cada número puede escribirse como la suma de cuatro cuadrados . Si conocía este resultado (en el sentido de haberlo demostrado en lugar de simplemente haberlo conjeturado), su realización sería verdaderamente notable: incluso Fermat, quien enunció el resultado, no pudo proporcionar una prueba de él y no se resolvió hasta que Joseph Louis Lagrange lo demostró utilizando resultados debidos a Leonhard Euler . ${\estilo de visualización 4n+3}$

La Aritmética se escribió originalmente en trece libros, pero los manuscritos griegos que han sobrevivido hasta el presente no contienen más de seis libros. ^[2] En 1968, Fuat Sezgin encontró cuatro libros de Aritmética previamente desconocidos en el santuario del imán Rezā en la ciudad sagrada islámica de Mashhad, en el noreste de Irán. ^[3] Se cree que los cuatro libros fueron traducidos del griego al árabe por Qusta ibn Luqa (820-912). ^[2] Norbert Schappacher ha escrito:

[Los cuatro libros desaparecidos] reaparecieron alrededor de 1971 en la Biblioteca Astan Quds en Meshed (Irán) en una copia del año 1198 d. C. No fue catalogada bajo el nombre de Diofanto (sino bajo el de Qusta ibn Luqa ) porque el bibliotecario aparentemente no pudo leer la línea principal de la portada donde aparece el nombre de Diofanto en caligrafía cúfica geométrica . ^[4]

La aritmética llegó a ser conocida por los matemáticos del mundo islámico en el siglo X ^[5] cuando Abu'l-Wefa la tradujo al árabe. ^[6]

Álgebra sincopada

Diofanto fue un matemático helenístico que vivió alrededor del año 250 d. C., pero la incertidumbre sobre esta fecha es tan grande que puede tener un margen de error de más de un siglo. Es conocido por haber escrito Arithmetica , un tratado que originalmente constaba de trece libros, pero del que solo han sobrevivido los primeros seis. ^[7]

Arithmetica es la obra existente más antigua que resuelve problemas aritméticos mediante el álgebra. Sin embargo, Diofanto no inventó el método del álgebra, que existía antes que él. ^[8] El álgebra se practicaba y se difundía oralmente por profesionales, y Diofanto adoptó la técnica para resolver problemas de aritmética. ^[9]

En el álgebra moderna, un polinomio de Laurent es una combinación lineal de algunas variables, elevadas a potencias enteras, que se comporta ante la multiplicación, la suma y la resta. El álgebra de Diofanto, similar al álgebra árabe medieval, es la agregación de objetos de diferentes tipos sin operaciones presentes ^[10].

Por ejemplo, el polinomio de Laurent escrito en notación moderna es escrito por Diofanto como "6 4 ′ potencias inversas, 25 potencias faltantes en 9 unidades", o "una colección de objetos de un tipo con 25 objetos de segundo tipo a los que les faltan 9 objetos de tercer tipo sin ninguna operación presente". ^[11] $6{\tfrac {1}{4}}x^{-1}+25x^{2}-9$ $6{\frac {1}{4}}$

Similar al álgebra árabe medieval, Diofanto utiliza tres etapas para la solución de un problema mediante álgebra:

1) Se nombra una incógnita y se plantea una ecuación.

2) Una ecuación se simplifica a una forma estándar (al-jabr y al-muqābala en árabe)

3) Se resuelve la ecuación simplificada ^[12]

Diofanto no ofrece una clasificación de ecuaciones en seis tipos como Al-Khwarizmi en las partes existentes de Arithmetica. Dice que daría solución a ecuaciones de tres términos más tarde, por lo que es posible que esta parte del trabajo se haya perdido ^[9].

En Aritmética , Diofanto es el primero en utilizar símbolos para números desconocidos, así como abreviaturas para potencias de números, relaciones y operaciones; ^[13] por lo que utilizó lo que ahora se conoce como álgebra sincopada . La principal diferencia entre el álgebra sincopada diofántica y la notación algebraica moderna es que la primera carecía de símbolos especiales para operaciones, relaciones y exponentes. ^[14] Así, por ejemplo, lo que se escribiría en la notación moderna como que puede reescribirse como se escribiría en la notación sincopada de Diofanto como $x^{3}-2x^{2}+10x-1=5,$ $\left({x^{3}}1+{x}10\right)-\left({x^{2}}2+{x^{0}}1\right)={x^{0}}5,$

\mathrm {K} ^{\upsilon }{\overline {\alpha }}\;\zeta {\overline {\iota }}\;\,\pitchfork \;\,\Delta ^{\upsilon } {\overline {\beta }}\;\mathrm {M} {\overline {\alpha }}\,\;

ἴ

\sigma \;\,\mathrm {M} {\overline {\varepsilon }}

donde los símbolos representan lo siguiente: ^[15]^[16]

A diferencia de la notación moderna, los coeficientes vienen después de las variables y la adición se representa por la yuxtaposición de términos. Una traducción literal símbolo por símbolo de la ecuación sincopada de Diofanto en una ecuación simbólica moderna sería la siguiente: ^[16] donde para aclarar, si se utilizan los paréntesis modernos y el signo más, la ecuación anterior se puede reescribir como: ^[16] Sin embargo, Jeffrey Oaks y Jean Christianidis consideran que la distinción entre "álgebra retórica", "álgebra sincopada" y "álgebra simbólica" está obsoleta. Los problemas se resolvieron en un tablero de polvo utilizando alguna notación, mientras que en los libros las soluciones se escribieron en "estilo retórico". ^[17] ${x^{3}}1{x}10-{x^{2}}2{x^{0}}1={x^{0}}5$ $\left({x^{3}}1+{x}10\right)-\left({x^{2}}2+{x^{0}}1\right)={x^{0}}5$

Arithmetica también hace uso de las identidades: ^[18] ${\begin{alignedat}{4}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&=(ac+db)^{2}+(bc-ad)^{2}\\&=(ad+bc)^{2}+(ac-bd)^{2}\\\end{alignedat}}$

Véase también

Citas

↑ «Diófanto de Alejandría (matemático griego)». Encyclopædia Britannica . Consultado el 11 de abril de 2013 .
^ ab Magill, Frank N., ed. (1998). Diccionario de biografías mundiales. Vol. 1. Salem Press. pág. 362. ISBN 9781135457396.
^ Hogendijk, Jan P. (1985). "Reseña de J. Sesiano, Libros IV a VII de la Aritmética de Diofanto" . Consultado el 6 de julio de 2014. Solo seis de los trece libros de la Aritmética de Diofanto (ca. 250 d. C.) se conservan en griego. Se creía que los libros restantes estaban perdidos, hasta el reciente descubrimiento de una traducción árabe medieval de cuatro de los libros restantes en un manuscrito en la Biblioteca del Santuario en Meshed en Irán (véase el catálogo [Gulchin-i Ma'ani 1971-1972, pp. 235-236]. El manuscrito fue descubierto en 1968 por F. Sezgin).
^ Schappacher, Norbert (abril de 2005). "Diofanto de Alejandría: un texto y su historia" (PDF) . pag. 18 . Consultado el 9 de octubre de 2015 .
^ (Boyer 1991, "Renacimiento y decadencia de las matemáticas griegas", pág. 234) "Nótese la omisión de Diofanto y Pappus, autores que evidentemente no eran conocidos al principio en Arabia, aunque la Aritmética Diofántica se volvió familiar antes de fines del siglo X".
^ (Boyer 1991, "Renacimiento y decadencia de las matemáticas griegas", pág. 239) "Abu'l-Wefa era un hábil algebrista además de trigonometrista. Comentó el Álgebra de al-Khwarizmi y tradujo del griego uno de los últimos grandes clásicos, la Aritmética de Diofanto".
^ (Boyer 1991, "Renacimiento y decadencia de las matemáticas griegas", p. 178) "La incertidumbre sobre la vida de Diofanto es tan grande que no sabemos con certeza en qué siglo vivió. Generalmente se supone que floreció alrededor del año 250 d. C., pero a veces se sugieren fechas un siglo o más antes o después [...] Si este enigma es históricamente exacto, Diofanto vivió hasta los ochenta y cuatro años. [...] La principal obra diofántica que conocemos es la Arithmetica , un tratado originalmente en trece libros, del cual solo han sobrevivido los primeros seis".
^ Robles, Jeffrey; Christianidis, Jean. La Aritmética de Diofanto Una traducción y comentario completos . pag. 80.
^ ab Oaks, Jeffrey; Christianidis, Jean (2013). "Practicar el álgebra en la antigüedad tardía: la resolución de problemas de Diofanto de Alejandría". Historia Matemática . 40 (2): 158–160. doi : 10.1016/j.hm.2012.09.001 .
^ Robles, Jeffrey; Christianidis, Jean (2013). "Practicar el álgebra en la antigüedad tardía: la resolución de problemas de Diofanto de Alejandría". Historia Matemática . 40 : 150.
^ Robles, Jeffrey; Christianidis, Jean (2023). La Aritmética de Diofanto Una traducción y comentario completos . págs. 51–52.
^ Robles, Jeffrey; Christianidis, Jean (2021). La Aritmética de Diofanto Una traducción y comentario completos . págs. 53–66.
^ (Boyer 1991, "Renacimiento y decadencia de las matemáticas griegas", pp. 180-182) "En este sentido, puede compararse con los grandes clásicos de la época alejandrina anterior; sin embargo, prácticamente no tiene nada en común con estos o, de hecho, con ninguna matemática griega tradicional. Representa esencialmente una nueva rama y hace uso de un enfoque diferente. Al estar divorciada de los métodos geométricos, se parece en gran medida al álgebra babilónica. Pero mientras que los matemáticos babilónicos se habían preocupado principalmente por soluciones aproximadas de ecuaciones determinadas hasta el tercer grado, la Aritmética de Diofanto (tal como la tenemos) está casi enteramente dedicada a la solución exacta de ecuaciones, tanto determinadas como indeterminadas . [...] A lo largo de los seis libros supervivientes de Aritmética hay un uso sistemático de abreviaturas para potencias de números y para relaciones y operaciones. Un número desconocido se representa mediante un símbolo parecido a la letra griega (quizás para la última letra de arithmos). [...] Se trata, en cambio, de una colección de unos 150 problemas, todos ellos resueltos en términos de ejemplos numéricos específicos, aunque tal vez se pretendiera generalizar el método. No se desarrolla ninguna postulación ni se hace ningún esfuerzo por encontrar todas las soluciones posibles. En el caso de ecuaciones cuadráticas con dos raíces positivas, sólo se da la mayor, y no se reconocen las raíces negativas. No se hace una distinción clara entre problemas determinados e indeterminados, e incluso para estos últimos, para los que el número de soluciones es generalmente ilimitado, sólo se da una única respuesta. Diofanto resolvió problemas que implicaban varios números desconocidos expresando hábilmente todas las cantidades desconocidas, cuando era posible, en términos de sólo una de ellas." $\zeta$
^ (Boyer 1991, "Renacimiento y decadencia de las matemáticas griegas", pág. 178) "La principal diferencia entre la síncopa diofántica y la notación algebraica moderna es la falta de símbolos especiales para operaciones y relaciones, así como de la notación exponencial".
^ (Cooke 1997, "Las matemáticas en el Imperio Romano", págs. 167-168)
^ abc (Derbyshire 2006, "El padre del álgebra", págs. 35-36)
^ Oaks, Jeffrey; Christianidis, Jean (2023). La Aritmética de Diofanto: traducción completa y comentario . págs. 78-79. Esta tricotomía tiene dos defectos importantes. En primer lugar, el lenguaje escrito en los libros no siempre es el lenguaje en el que se resolvieron los problemas. En árabe, los problemas se resolvían a menudo en notación sobre una pizarra o alguna otra superficie temporal, y luego, para incluirlos en un libro, se componía una versión retórica. Además, debido al carácter bidimensional de la notación árabe, se habría escrito y leído visualmente, independientemente del habla real o imaginaria. Por lo tanto, encaja perfectamente en la categoría "simbólica" de Nesselmann. La versión retórica de la misma obra, por otro lado, se categorizó como "retórica". Estas dos formas de escribir el álgebra no reflejan dos etapas del desarrollo del álgebra, sino que son formas diferentes de expresar las mismas ideas. En segundo lugar, Nesselmann desconocía las diferencias conceptuales entre el álgebra premoderna y el álgebra moderna y, por tanto, no podía apreciar el salto producido en la época de Viète y Descartes, que incluyó un cambio radical en el modo de interpretar la notación.
^ (Boyer 1991, "Europa en la Edad Media", pág. 257) "El libro hace uso frecuente de las identidades [...] que habían aparecido en Diofanto y habían sido ampliamente utilizadas por los árabes".

Referencias

Boyer, Carl B. (1991). Una historia de las matemáticas (segunda edición). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-54397-7.
Christianidis, Jean; Robles, Jeffrey A. (2023). La Arithmetica de Diofanto: una traducción y comentario completos . Abingdon, Oxon Nueva York, Nueva York: Routledge. ISBN 1138046353.
Cooke, Roger (1997). La historia de las matemáticas: un breve curso . Wiley-Interscience. ISBN 0-471-18082-3.
Derbyshire, John (2006). Cantidad desconocida: Una historia real e imaginaria del álgebra . Joseph Henry Press. ISBN 0-309-09657-X.
Salud, señor Thomas L. (2009). Diofanto de Alejandría: un estudio de la historia del álgebra griega . Libros finos de Martino. ISBN 978-1-57898-754-2.
Katz, Victor J.; Parshall, Karen Hunger (2014). Domando lo desconocido: una historia del álgebra desde la Antigüedad hasta principios del siglo XX . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14905-9.
Sesiano, Jacques (2011). Libros IV a VII de la Arithmetica de Diofanto en la traducción árabe atribuida a Qusṭā ibn Lūqā . Nueva York Heidelberg Berlín: Springer-Verlag. ISBN 1461381762.

Enlaces externos

Diofanto Alexandrino, Pierre de Fermat, Claude Gaspard Bachet de Meziriac, Diofanti Alexandrini Arithmeticorum libri 6, et De numeris multangulis liber unus . Cum com. C(laude) G(aspar) Bacheti et observeibus P(ierre) de Fermat. Acc. doctrinae analyticae inventum novum, coll. ex variis eiu. Tolosae 1670, doi :10.3931/e-rara-9423.