En cálculo , una primitiva , derivada inversa , función primitiva , integral primitiva o integral indefinida [Nota 1] de una función f es una función diferenciable F cuya derivada es igual a la función original f . Esto se puede expresar simbólicamente como F' = f . [1] [2] El proceso de resolución de antiderivadas se llama antidiferenciación (o integración indefinida ), y su operación opuesta se llama diferenciación , que es el proceso de encontrar una derivada. Las antiderivadas a menudo se indican con letras romanas mayúsculas como F y G.
Las antiderivadas están relacionadas con las integrales definidas a través del segundo teorema fundamental del cálculo : la integral definida de una función en un intervalo cerrado donde la función es integrable de Riemann es igual a la diferencia entre los valores de una antiderivada evaluada en los puntos finales del intervalo.
La función es una antiderivada de , ya que la derivada de es . Dado que la derivada de una constante es cero , tendrá un número infinito de antiderivadas, como por ejemplo , etc. Así, todas las antiderivadas de se pueden obtener cambiando el valor de c en , donde c es una constante arbitraria conocida como constante de integración . Esencialmente, las gráficas de las primitivas de una función dada son traslaciones verticales entre sí, y la ubicación vertical de cada gráfica depende del valor c .
De manera más general, la función de potencia tiene primitiva si n ≠ −1 y si n = −1 .
En física , la integración de la aceleración produce la velocidad más una constante. La constante es el término de velocidad inicial que se perdería al tomar la derivada de la velocidad, porque la derivada de un término constante es cero. Este mismo patrón se aplica a otras integraciones y derivadas del movimiento (posición, velocidad, aceleración, etc.). [3] Así, la integración produce las relaciones de aceleración, velocidad y desplazamiento :
Debido a esto, cada una de las infinitas primitivas de una función dada f puede denominarse "integral indefinida" de f y escribirse usando el símbolo integral sin límites:
Si F es una primitiva de f , y la función f está definida en algún intervalo, entonces cualquier otra primitiva G de f difiere de F en una constante: existe un número c tal que para todo x . c se llama constante de integración . Si el dominio de F es una unión disjunta de dos o más intervalos (abiertos), entonces se puede elegir una constante de integración diferente para cada uno de los intervalos. Por ejemplo
es la antiderivada más general de en su dominio natural
Cada función continua f tiene una primitiva, y una primitiva F está dada por la integral definida de f con límite superior variable:
para cualquier a en el dominio de f . Variar el límite inferior produce otras antiderivadas, pero no necesariamente todas las antiderivadas posibles. Ésta es otra formulación del teorema fundamental del cálculo .
Encontrar antiderivadas de funciones elementales suele ser considerablemente más difícil que encontrar sus derivadas (de hecho, no existe un método predefinido para calcular integrales indefinidas). [4] Para algunas funciones elementales, es imposible encontrar una antiderivada en términos de otras funciones elementales. Para obtener más información, consulte funciones elementales e integral no elemental .
Existen muchas propiedades y técnicas para encontrar antiderivadas. Estos incluyen, entre otros:
Integración de función inversa (fórmula que expresa la antiderivada de la inversa f −1 de una función invertible y continua f , en términos de la antiderivada de f y de f −1 ).
Los sistemas de álgebra informática se pueden utilizar para automatizar parte o la totalidad del trabajo involucrado en las técnicas simbólicas anteriores, lo cual es particularmente útil cuando las manipulaciones algebraicas involucradas son muy complejas o largas. Las integrales que ya se han obtenido se pueden buscar en una tabla de integrales .
De funciones no continuas
Las funciones no continuas pueden tener antiderivadas. Si bien aún quedan interrogantes abiertos en este ámbito, se sabe que:
En algunos casos, las primitivas de tales funciones patológicas pueden encontrarse mediante integración de Riemann , mientras que en otros casos estas funciones no son integrables de Riemann.
Suponiendo que los dominios de las funciones son intervalos abiertos:
Una condición necesaria, pero no suficiente, para que una función f tenga una primitiva es que f tenga la propiedad de valor intermedio . Es decir, si [ a , b ] es un subintervalo del dominio de f y y es cualquier número real entre f ( a ) y f ( b ) , entonces existe una c entre a y b tal que f ( c ) = y . Esta es una consecuencia del teorema de Darboux .
El conjunto de discontinuidades de f debe ser un conjunto escaso . Este conjunto también debe ser un conjunto F-sigma (ya que el conjunto de discontinuidades de cualquier función debe ser de este tipo). Además, para cualquier conjunto F-sigma escaso, se puede construir alguna función f que tenga una antiderivada, que tenga el conjunto dado como su conjunto de discontinuidades.
Si f tiene una primitiva, está acotada por subintervalos finitos cerrados del dominio y tiene un conjunto de discontinuidades de medida de Lebesgue 0, entonces se puede encontrar una antiderivada mediante integración en el sentido de Lebesgue. De hecho, al utilizar integrales más potentes como la integral de Henstock-Kurzweil , toda función para la que existe una antiderivada es integrable y su integral general coincide con su antiderivada.
Si f tiene una primitiva F en un intervalo cerrado , entonces, para cualquier elección de partición, si se eligen puntos muestrales como lo especifica el teorema del valor medio , entonces la correspondiente suma de Riemann se ajusta al valor . Sin embargo, si f no está acotada, o si f está acotada pero el conjunto de discontinuidades de f tiene una medida de Lebesgue positiva, una elección diferente de puntos muestrales puede dar un valor significativamente diferente para la suma de Riemann, sin importar cuán fina sea la partición. Vea el Ejemplo 4 a continuación.
Algunos ejemplos
la funcion
con no es continua en pero tiene la primitiva
con . Dado que f está acotada en intervalos finitos cerrados y sólo es discontinua en 0, la primitiva F puede obtenerse por integración: .
La función
con no es continua en pero tiene la primitiva
con . A diferencia del ejemplo 1, f ( x ) no está acotada en cualquier intervalo que contenga 0, por lo que la integral de Riemann no está definida.
Si f ( x ) es la función del ejemplo 1 y F es su antiderivada, y es un subconjunto contable denso del intervalo abierto, entonces la función
tiene una antiderivada.
El conjunto de discontinuidades de g es precisamente el conjunto . Dado que g está acotado en intervalos finitos cerrados y el conjunto de discontinuidades tiene medida 0, la antiderivada G puede encontrarse por integración.
Sea un subconjunto contable denso del intervalo abierto. Considere la función continua estrictamente creciente en todas partes.
Se puede demostrar que
para todos los valores x donde la serie converge, y que la gráfica de F ( x ) tiene rectas tangentes verticales en todos los demás valores de x . En particular, la gráfica tiene líneas tangentes verticales en todos los puntos del conjunto .
Además, para todo x donde se define la derivada. De ello se deduce que la función inversa es derivable en todas partes y que
para todo x en el conjunto que es denso en el intervalo Por tanto, g tiene una primitiva G. Por otra parte, no puede ser cierto que
ya que para cualquier partición de , se pueden elegir puntos de muestra para la suma de Riemann del conjunto , dando un valor de 0 para la suma. De ello se deduce que g tiene un conjunto de discontinuidades de medida de Lebesgue positiva. La Figura 1 a la derecha muestra una aproximación a la gráfica de g ( x ) donde y la serie está truncada a 8 términos. La Figura 2 muestra la gráfica de una aproximación a la antiderivada G ( x ) , también truncada a 8 términos. Por otro lado, si la integral de Riemann se reemplaza por la integral de Lebesgue , entonces el lema de Fatou o el teorema de convergencia dominada muestra que g satisface el teorema fundamental del cálculo en ese contexto.
En los ejemplos 3 y 4, los conjuntos de discontinuidades de las funciones g son densos sólo en un intervalo abierto finito. Sin embargo, estos ejemplos se pueden modificar fácilmente para tener conjuntos de discontinuidades que sean densos en toda la recta real . Let
Then tiene un denso conjunto de discontinuidades y tiene antiderivada
Usando un método similar al del Ejemplo 5, se puede modificar g en el Ejemplo 4 para que desaparezca en todos los números racionales . Si se utiliza una versión ingenua de la integral de Riemann definida como el límite de las sumas de Riemann por la izquierda o por la derecha sobre particiones regulares, se obtendrá que la integral de dicha función g en un intervalo es 0 siempre que a y b sean ambos racional, en lugar de . Por tanto, el teorema fundamental del cálculo fracasará espectacularmente.
Una función que tiene una primitiva aún puede no ser integrable con Riemann. La derivada de la función de Volterra es un ejemplo.
^ Las antiderivadas también se llaman integrales generales y, a veces, integrales . Este último término es genérico y se refiere no sólo a integrales indefinidas (antiderivadas), sino también a integrales definidas . Cuando la palabra integral se usa sin especificación adicional, se supone que el lector debe deducir del contexto si se refiere a una integral definida o indefinida. Algunos autores definen la integral indefinida de una función como el conjunto de sus infinitas antiderivadas posibles. Otros lo definen como un elemento seleccionado arbitrariamente de ese conjunto. Este artículo adopta este último enfoque. En los libros de texto de Matemáticas de nivel A en inglés se puede encontrar el término primitivo completo : L. Bostock y S. Chandler (1978) Pure Mathematics 1 ; La solución de una ecuación diferencial que incluye la constante arbitraria se llama solución general (o, a veces, primitiva completa) .