Hormiga en una cuerda de goma

Problema de matemáticas

La hormiga sobre una cuerda de goma es un acertijo matemático cuya solución parece contraintuitiva o paradójica. A veces se presenta como un gusano, o una lombriz, sobre una goma o una banda elástica, pero los principios del acertijo siguen siendo los mismos.

Los detalles del rompecabezas pueden variar, ^{[1] [2]} pero una forma típica es la siguiente:

Una hormiga comienza a arrastrarse a lo largo de una cuerda de goma tensa de 1 km de longitud a una velocidad de 1 cm por segundo (en relación con la goma sobre la que se arrastra). Al mismo tiempo, la cuerda comienza a estirarse uniformemente a una velocidad constante de 1 km por segundo, de modo que después de 1 segundo tiene 2 km de longitud, después de 2 segundos tiene 3 km de longitud, etc. ¿Llegará alguna vez la hormiga al final de la cuerda?

A primera vista, parece que la hormiga nunca llegará al final de la cuerda, pero sea cual sea la longitud de la cuerda y las velocidades, siempre que la longitud y las velocidades permanezcan constantes, la hormiga siempre podrá llegar al final si se le da el tiempo suficiente; en la forma indicada anteriormente, tardaría8,9 × 10 ^{43 421} años. Hay dos principios clave: primero, dado que la cuerda de goma se estira tanto por delante como por detrás de la hormiga, la proporción de la cuerda que la hormiga ya ha caminado se conserva y, segundo, la velocidad proporcional de la hormiga es inversamente proporcional a la longitud de la cuerda de goma, por lo que la distancia que la hormiga puede recorrer es ilimitada como la serie armónica .

Una hormiga (punto rojo) se arrastra sobre una cuerda elástica a una velocidad constante de 1 cm/s. La cuerda mide inicialmente 4 cm de largo y se estira a una velocidad constante de 2 cm/s.

Una declaración formal del problema

Para facilitar el análisis, la siguiente es una versión formalizada del rompecabezas.

Considere una cuerda elástica ideal en el eje y tal que en el tiempo sus puntos finales están en (el punto de inicio ) y (el punto de destino ) para constantes y . Esto quiere decir que en el punto de destino está en la posición y que a medida que varía el punto de destino se mueve a velocidad constante . Un objeto puntual (la hormiga ) está en la cuerda, y en comienza en el punto de inicio, moviéndose a lo largo de la cuerda a velocidad constante relativa a la cuerda en su posición actual. ¿Hay un tiempo en el que la hormiga se encuentra con el punto de destino? ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=c+vt}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle v>0}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle x=c}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle t}$

El enunciado del rompecabezas de la introducción corresponde a cuando es 1 km, es 1 km/s y es 1 cm/s. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \alpha }$

Soluciones al problema

Una solución matemática discreta

Aunque la solución del problema parece requerir técnicas analíticas, en realidad se puede resolver con un argumento combinatorio considerando una variación en la que la cuerda se estira de repente e instantáneamente cada segundo en lugar de estirarse de forma continua. De hecho, el problema a veces se plantea en estos términos, y el siguiente argumento es una generalización de uno planteado por Martin Gardner , originalmente en Scientific American y posteriormente reimpreso. ^[1]

Consideremos una variación en la que la cuerda se estira repentina e instantáneamente antes de cada segundo, de modo que el punto objetivo se mueve de a en el tiempo , y de a en el tiempo , etc. Muchas versiones del problema tienen la cuerda estirándose al final de cada segundo, pero al tener la cuerda estirándose antes de cada segundo hemos puesto en desventaja a la hormiga en su objetivo, por lo que podemos estar seguros de que si la hormiga puede alcanzar el punto objetivo en esta variación, entonces ciertamente puede hacerlo en el problema original, o de hecho en variantes donde la cuerda se estira al final de cada segundo. ${\displaystyle x=c}$ ${\displaystyle x=c+v}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle x=c+v}$ ${\displaystyle x=c+2v}$ ${\displaystyle t=1}$

Sea la proporción de la distancia desde el punto de partida hasta el punto de destino que la hormiga ha cubierto en el tiempo t . Por lo tanto . En el primer segundo, la hormiga recorre la distancia , que es de la distancia desde el punto de partida hasta el punto de destino (que es durante todo el primer segundo). Cuando la cuerda se estira de repente e instantáneamente, permanece inalterada, porque la hormiga se mueve junto con la goma donde está en ese momento. Por lo tanto . En el segundo siguiente, la hormiga recorre de nuevo la distancia, que es de la distancia desde el punto de partida hasta el punto de destino (que es durante todo ese segundo). Por lo tanto . Del mismo modo, para cualquier , . ${\displaystyle \theta (t)}$ ${\displaystyle \theta (0)=0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\frac {\alpha }{c+v}}}$ ${\displaystyle c+v}$ ${\displaystyle \theta (t)}$ ${\displaystyle \theta (1)={\frac {\alpha }{c+v}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\frac {\alpha }{c+2v}}}$ ${\displaystyle c+2v}$ ${\displaystyle \theta (2)={\frac {\alpha }{c+v}}+{\frac {\alpha }{c+2v}}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \theta (n)={\frac {\alpha }{c+v}}+{\frac {\alpha }{c+2v}}+\cdots +{\frac {\alpha }{c+nv}}}$

Tenga en cuenta que para cualquier , , entonces podemos escribir . ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\frac {\alpha }{c+kv}}\geqslant {\frac {\alpha }{kc+kv}}=\left({\frac {\alpha }{c+v}}\right)\left({\frac {1}{k}}\right)}$ $${\displaystyle \theta (n)\geqslant \left({\frac {\alpha }{c+v}}\right)\left(1+{\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{n}}\right)}$$

El término es una serie armónica parcial , que diverge , por lo que podemos encontrar tal que , lo que significa que . ${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{n}}\right)}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{N}}\geqslant {\frac {c+v}{\alpha }}}$ ${\displaystyle \theta (N)\geqslant 1}$

Por lo tanto, si se le da tiempo suficiente, la hormiga completará el viaje hasta el punto de destino. Esta solución se podría utilizar para obtener un límite superior para el tiempo necesario, pero no da una respuesta exacta para el tiempo que tardará.

Una solución analítica

Gráfica de la posición absoluta x vs tiempo t de la animación anterior: una hormiga se arrastra a 1 cm/s (rojo) en relación con y a lo largo de una cuerda elástica de 4 cm de largo inicialmente, que se estira a 2 cm/s, pintada en ochos (fondo sombreado). La asíntota (púrpura discontinua) muestra la posición de la hormiga si la cuerda no se estirara. Como la posición de la hormiga tiene un componente exponencial, eventualmente alcanza el extremo de la cuerda (verde) independientemente de la relación de sus velocidades iniciales. Los límites entre las franjas del fondo se pueden visualizar como trayectorias que tomaría la hormiga si se detuviera repentinamente cuando llega a la franja. Sin embargo, como la hormiga se arrastra, atraviesa las franjas hasta que llega a la última al final.

Una observación clave es que la velocidad de la hormiga en un momento dado es su velocidad relativa a la cuerda, es decir , más la velocidad de la cuerda en el punto donde se encuentra la hormiga. El punto objetivo se mueve con velocidad , por lo que en el momento está en . Otros puntos a lo largo de la cuerda se mueven con velocidad proporcional, por lo que en el momento el punto de la cuerda en se mueve con velocidad . Entonces, si escribimos la posición de la hormiga en el momento como , y la velocidad de la hormiga en el momento como , podemos escribir: ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x=c+vt}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x=X}$ ${\displaystyle {\frac {vX}{c+vt}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle y'(t)}$

$${\displaystyle y'(t)=\alpha +{\frac {v\,y(t)}{c+vt}}}$$

Se trata de una ecuación diferencial lineal de primer orden que se puede resolver con métodos estándar. Sin embargo, para ello se requieren algunos cálculos moderadamente avanzados. Un enfoque mucho más simple considera la posición de la hormiga como una proporción de la distancia desde el punto de partida hasta el punto de destino. ^[2]

Consideremos las coordenadas medidas a lo largo de la cuerda con el punto de partida en y el punto de destino en . En estas coordenadas, todos los puntos de la cuerda permanecen en una posición fija (en términos de ) a medida que la cuerda se estira. En el momento , un punto en está en , y una velocidad de relativa a la cuerda en términos de , es equivalente a una velocidad en términos de . Entonces, si escribimos la posición de la hormiga en términos de en el momento como , y la velocidad de la hormiga en términos de en el momento como , podemos escribir: ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi =0}$ ${\displaystyle \psi =1}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle t\geqslant 0}$ ${\displaystyle x=X}$ ${\displaystyle \psi ={\frac {X}{c+vt}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\frac {\alpha }{c+vt}}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \phi (t)}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \phi '(t)}$

$${\displaystyle \phi '(t)={\frac {\alpha }{c+vt}}}$$ $${\displaystyle \therefore \phi (t)=\int {{\frac {\alpha }{c+vt}}\,dt}={\frac {\alpha }{v}}\ln(c+vt)+\kappa }$$donde es una constante de integración. ${\displaystyle \kappa }$

Ahora, lo que da , entonces . ${\displaystyle \phi (0)=0}$ ${\displaystyle \kappa =-{\frac {\alpha }{v}}\ln {c}}$ ${\displaystyle \phi (t)={\frac {\alpha }{v}}\ln {\left({\frac {c+vt}{c}}\right)}}$

Si la hormiga alcanza el punto objetivo (que está en ) en el tiempo , debemos tener lo que nos da: ${\displaystyle \psi =1}$ ${\displaystyle t=T}$ ${\displaystyle \phi (T)=1}$

$${\displaystyle {\frac {\alpha }{v}}\ln {\left({\frac {c+vT}{c}}\right)}=1}$$

$${\displaystyle \therefore T={\frac {c}{v}}\left(e^{v/\alpha }-1\right)}$$

y por lo tanto para la longitud de la banda elástica cuando la hormiga atrapa el punto objetivo (es decir, la distancia recorrida por la hormiga): $${\displaystyle y\left(T\right)=c+vT=c\times e^{v/\alpha }.}$$

(Para el caso simple de v = 0 , podemos considerar el límite y obtener la solución simple .) Como esto da un valor finito para todos los , , ( , ), esto significa que, dado el tiempo suficiente, la hormiga completará el viaje al punto de destino. Esta fórmula se puede utilizar para averiguar cuánto tiempo se requiere. ${\displaystyle \lim _{v\rightarrow 0}T(v)}$ ${\displaystyle T={\tfrac {c}{\alpha }}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle v>0}$ ${\displaystyle \alpha >0}$

Para el problema tal como se planteó originalmente, , y , lo que da . Este es un período de tiempo muy amplio, incluso comparado con la edad estimada del universo , que es de sólo alrededor de ${\displaystyle c=1\,\mathrm {km} }$ ${\displaystyle v=1\,\mathrm {km} /\mathrm {s} }$ ${\displaystyle \alpha =1\,\mathrm {cm} /\mathrm {s} }$ ${\displaystyle T=(e^{100\,000}-1)\,\mathrm {s} \,\!\approx 2.8\times 10^{43\,429}\,\mathrm {s} }$4 × 10 ¹⁷  s . Además, la longitud de la cuerda después de ese tiempo es igualmente enorme, 2,8 × 10^{43 429}  km, por lo que solo en sentido matemático la hormiga podrá llegar al final de esta particular cuerda.

Intuición

Consideremos la situación de la introducción, que es una cuerda de 1 km de longitud que se estira a 1 km/s, a lo largo de la cual una hormiga camina con una velocidad relativa de 1 cm/s. En cualquier momento, podemos imaginar que ponemos dos marcas en la cuerda: una en la posición actual de la hormiga y otra 1 mm más cerca del punto de destino. Si la hormiga se detuviera por un momento, desde su punto de vista la primera marca estaría estacionaria y la segunda marca se alejaría a una velocidad constante de 1 mm/s o menos (dependiendo del tiempo de partida). Está claro que la hormiga podrá alcanzar esta segunda marca; para una simple sobreestimación del tiempo que tarda, imaginemos que "apagamos" la fuerza que la cuerda aplica a la hormiga en el momento exacto en que alcanza la primera marca (dejando que la hormiga continúe hacia adelante a velocidad constante). Con respecto al marco de referencia de la primera marca en este momento, la hormiga se mueve a 1 cm/s y la segunda marca está inicialmente a 1 mm de distancia y se mueve a 1 mm/s, y la hormiga aún alcanzaría la marca en 1/9 s.

Lo que tenemos que hacer es pensar en la posición de la hormiga como una fracción de la longitud de la cuerda. El razonamiento anterior muestra que esta fracción siempre está aumentando, pero esto aún no es suficiente. (La hormiga podría acercarse asintóticamente a una fracción de la cuerda y nunca acercarse a alcanzar el punto objetivo). Lo que el razonamiento también muestra es que cada 1/9 s, la fracción de la cuerda por la que camina la hormiga es (al menos tan grande como un número que sea) inversamente proporcional al tiempo actual, ya que el punto objetivo se está moviendo proporcionalmente al tiempo, y la fracción de la cuerda a la que corresponde este intervalo de 1 mm es inversamente proporcional a eso.

Las cantidades que crecen a un ritmo inversamente proporcional al tiempo presentan un crecimiento logarítmico , que crece sin límites, por muy lento que sea. Esto significa que la hormiga, finalmente, alcanzará el punto objetivo.

Si la velocidad a la que se estira la cuerda aumenta con el tiempo, entonces la hormiga podría no alcanzar el objetivo. Por ejemplo, imaginemos que un extremo de la cuerda está atado a un peso que está en caída libre en un campo gravitatorio uniforme, sin que la cuerda aplique fuerza alguna al peso (en otras palabras, la posición del punto objetivo está dada por una función de la forma ). Si es 1 m, es 9,81 m/s2 ^, y la hormiga se mueve a 1 cm/s, entonces la hormiga no cubrirá ni siquiera el 0,71% de la longitud de la cuerda, a pesar de que siempre está avanzando. Sin embargo, si la hormiga se mueve a una velocidad mayor de 1,41 m/s, alcanzará el final de la cuerda en un tiempo finito. Además, hay escenarios en los que la velocidad de la hormiga disminuye exponencialmente mientras que la longitud de la cuerda aumenta exponencialmente y la hormiga también alcanzará el final de la cuerda en un tiempo finito. ^[3] ${\displaystyle x=c+{\tfrac {1}{2}}at^{2}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$

Véase también

• Aquiles y la tortuga
• Teorema de Goodstein

Referencias

1. Gardner, Martin (1982). ¡Ah! Te pillé: paradojas que desconciertan y deleitan. WH Freeman and Company. págs. 145-146. ISBN 0-7167-1361-6.
2. Graeme (1 de octubre de 2002). «La larga marcha». The Problem Site . Archivado desde el original el 24 de abril de 2008. Consultado el 6 de abril de 2008 .
3. McCartney, Mark (2013). Extendiendo la cuerda de goma: series convergentes, series divergentes y el factor de integración, Int. J. Math. Ed. en Sci. & Tech., 44:4, 554-559. https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/0020739X.2012.729615