anillo krüll

En álgebra conmutativa, un anillo de Krull , o dominio de Krull , es un anillo conmutativo con una teoría de factorización prima de buen comportamiento. Fueron introducidos por Wolfgang Krull en 1931. ^[1] Son una generalización de dimensiones superiores de los dominios de Dedekind , que son exactamente los dominios de Krull de dimensión 1 como máximo.

En este artículo, un anillo es conmutativo y tiene unidad.

Definicion formal

Sea un dominio integral y sea el conjunto de todos los ideales primos de altura uno, es decir, el conjunto de todos los ideales primos que propiamente no contienen ningún ideal primo distinto de cero . Entonces es un anillo de Krull si ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

1. ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$es un anillo de valoración discreto para todos , ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in P}$
2. ${\displaystyle A}$es la intersección de estos anillos de valoración discretos (considerados como subanillos del campo cociente de ), ${\displaystyle A}$
3. cualquier elemento distinto de cero está contenido sólo en un número finito de ideales primos de altura 1. ${\displaystyle A}$

También es posible caracterizar los anillos de Krull únicamente mediante valoraciones: ^[2]

Un dominio integral es un anillo de Krull si existe una familia de valoraciones discretas en el campo de fracciones tales que: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{v_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$

1. para todos y cada uno de ellos , excepto posiblemente un número finito de ellos , ${\displaystyle x\in K\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle v_{i}(x)=0}$
2. para cualquiera , pertenece a si y sólo si para todos . ${\displaystyle x\in K\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle v_{i}(x)\geq 0}$ ${\displaystyle i\in I}$

Las valoraciones se denominan valoraciones esenciales de . ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle A}$

El vínculo entre las dos definiciones es el siguiente: para cada , se puede asociar una valoración normalizada única de cuyo anillo de valoración es . ^[3] Entonces el conjunto satisface las condiciones de la definición equivalente. Por el contrario, si el conjunto es como el anterior y se ha normalizado, entonces puede ser mayor que , pero debe contener . En otras palabras, es el conjunto mínimo de valoraciones normalizadas que satisfacen la definición equivalente. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in P}$ ${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}=\{v_{\mathfrak {p}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}'=\{v_{i}\}}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

Propiedades

Con las notaciones anteriores, denotamos la valoración normalizada correspondiente al anillo de valoración , denotamos el conjunto de unidades de y su campo cociente. ${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$

• Un elemento pertenece a si, y sólo si, para cada . ${\displaystyle x\in K}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x)=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in P}$ De hecho, en este caso, para cada , por lo tanto ; por la propiedad de intersección, . Por el contrario, si y están en , entonces , por lo tanto , ya que ambos números deben estar en . ${\displaystyle x\not \in A_{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in P}$ ${\displaystyle x^{-1}\in A_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle x^{-1}\in A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{-1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(xx^{-1})=v_{\mathfrak {p}}(1)=0=v_{\mathfrak {p}}(x)+v_{\mathfrak {p}}(x^{-1})}$ ${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x)=v_{\mathfrak {p}}(x^{-1})=0}$ ${\displaystyle \geq 0}$
• Un elemento está determinado de forma única, hasta una unidad de , por los valores , . ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in P}$ De hecho, si para cada , entonces , por lo tanto, por la propiedad anterior (qed). Esto muestra que la aplicación está bien definida y, dado que solo para un número finito de , es una incrustación de en el grupo abeliano libre generado por los elementos de . Por lo tanto, utilizando la notación multiplicativa " " para el último grupo, se cumple, para cada , , donde están los elementos que contienen a , y . ${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x)=v_{\mathfrak {p}}(y)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in P}$ ${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(xy^{-1})=0}$ ${\displaystyle xy^{-1}\in U}$ ${\displaystyle x\ {\rm {mod}}\ U\mapsto \left(v_{\mathfrak {p}}(x)\right)_{{\mathfrak {p}}\in P}}$ ${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x)\not =0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle A^{\times }/U}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle x\in A^{\times }}$ ${\displaystyle x=1\cdot {\mathfrak {p}}_{1}^{\alpha _{1}}\cdot {\mathfrak {p}}_{2}^{\alpha _{2}}\cdots {\mathfrak {p}}_{n}^{\alpha _{n}}\ {\rm {mod}}\ U}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \alpha _{i}=v_{{\mathfrak {p}}_{i}}(x)}$
• Las valoraciones son independientes por pares. ^[4] Como consecuencia, se cumple el llamado teorema de aproximación débil , ^[5] un homólogo del teorema chino del resto: si son elementos distintos de , pertenecen a (resp. ), y son números naturales, entonces existen ( resp. ) tal que para cada . ${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1},\ldots {\mathfrak {p}}_{n}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots x_{n}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots a_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x\in K}$ ${\displaystyle x\in A_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle v_{{\mathfrak {p}}_{i}}(x-x_{i})=n_{i}}$ ${\displaystyle i}$
• Una consecuencia del teorema de aproximación débil es una caracterización de cuándo los anillos de Krull son noetherianos; es decir, un anillo de Krull es noetheriano si y sólo si todos sus cocientes entre primos de altura 1 son noetherianos. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A/{\mathfrak {p}}}$
• Dos elementos y de son coprimos si y no son ambos para cada . Las propiedades básicas de las valoraciones implican que una buena teoría de la coprimalidad se cumple . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x)}$ ${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(y)}$ ${\displaystyle >0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in P}$ ${\displaystyle A}$
• Todo ideal primo de contiene un elemento de . ^[6] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$
• Cualquier intersección finita de dominios de Krull cuyos campos cocientes sean los mismos es nuevamente un dominio de Krull. ^[7]
• Si es un subcampo de , entonces es un dominio Krull. ^[8] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A\cap L}$
• Si es un conjunto multiplicativamente cerrado que no contiene 0, el anillo de cocientes es nuevamente un dominio de Krull. De hecho, las valoraciones esenciales de son aquellas valoraciones (de ) para las cuales . ^[9] ${\displaystyle S\subset A}$ ${\displaystyle S^{-1}A}$ ${\displaystyle S^{-1}A}$ ${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset }$
• Si es una extensión algebraica finita de y es la clausura integral de en , entonces es un dominio de Krull. ^[10] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle B}$

Ejemplos

1. Cualquier dominio de factorización único es un dominio de Krull. Por el contrario, un dominio de Krull es un dominio de factorización único si (y sólo si) todo ideal primo de altura uno es principal. ^{[11] [12]}
2. Todo dominio noetheriano integralmente cerrado es un dominio de Krull. ^[13] En particular, los dominios de Dedekind son dominios de Krull. Por el contrario, los dominios de Krull están integralmente cerrados, por lo que un dominio noetheriano es Krull si y sólo si está integralmente cerrado.
3. Si es un dominio de Krull, también lo es el anillo polinómico y el anillo formal de series de potencias . ^[14] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A[x]}$ ${\displaystyle A[[x]]}$
4. El anillo polinomial en infinitas variables sobre un dominio de factorización único es un dominio de Krull que no es noetheriano. ${\displaystyle R[x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]}$ ${\displaystyle R}$
5. Sea un dominio noetheriano con campo cociente y una extensión algebraica finita de . Entonces la clausura integral de in es un dominio de Krull ( teorema de Mori-Nagata ). ^[15] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L}$
6. Sea un anillo de Zariski (por ejemplo, un anillo noetheriano local). Si la finalización es un dominio Krull, entonces es un dominio Krull (Mori). ^{[16] [17]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\widehat {A}}}$ ${\displaystyle A}$
7. Sea un dominio de Krull y sea el conjunto multiplicativamente cerrado que consta de las potencias de un elemento primo . Entonces es un dominio Krull (Nagata). ^[18] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p\in A}$ ${\displaystyle S^{-1}A}$

El grupo de clases divisor de un anillo de Krull.

Supongamos que es un dominio de Krull y es su campo cociente. Un divisor primo de es un ideal primo de altura 1 de . El conjunto de divisores primos de se indicará en lo sucesivo. Un divisor (Weil) de es una combinación lineal integral formal de divisores primos. Forman un grupo abeliano, señaló . Un divisor de la forma , para algún valor distinto de cero , se llama divisor principal. Los divisores principales de forman un subgrupo del grupo de divisores (se ha demostrado anteriormente que este grupo es isomorfo a , donde está el grupo de unidades de ). Al cociente del grupo de divisores por el subgrupo de divisores principales se le llama grupo de clases de divisores de ; normalmente se denota . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D(A)}$ ${\displaystyle div(x)=\sum _{p\in P}v_{p}(x)\cdot p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\times }/U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C(A)}$

Supongamos que es un dominio Krull que contiene . Como siempre, decimos que un ideal primo de se encuentra por encima de un ideal primo de if ; esto se abrevia en . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {P}}\cap A={\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {P}}|{\mathfrak {p}}}$

Denota el índice de ramificación de over por y por el conjunto de divisores primos de . Definir la aplicación por ${\displaystyle v_{\mathfrak {P}}}$ ${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle e({\mathfrak {P}},{\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle P(B)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle P(A)\to D(B)}$

${\displaystyle j({\mathfrak {p}})=\sum _{{\mathfrak {P}}|{\mathfrak {p}},\ {\mathfrak {P}}\in P(B)}e({\mathfrak {P}},{\mathfrak {p}}){\mathfrak {P}}}$

(la suma anterior es finita ya que cada está contenido en un número finito de elementos de como máximo ). Extendamos la aplicación por linealidad a una aplicación lineal . Cabe ahora preguntarse en qué casos se induce un morfismo . Esto lleva a varios resultados. ^[19] Por ejemplo, lo siguiente generaliza un teorema de Gauss: ${\displaystyle x\in {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle P(B)}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle D(A)\to D(B)}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle {\bar {j}}:C(A)\to C(B)}$

La aplicación es biyectiva. En particular, si es un dominio de factorización único, entonces también lo es . ${\displaystyle {\bar {j}}:C(A)\to C(A[X])}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A[X]}$^[20]

El grupo de clases divisor de los anillos de Krull también se utiliza para establecer poderosos métodos de descenso , y en particular el descenso Galoisiano. ^[21]

Divisor Cartier

Un divisor Cartier de un anillo Krull es un divisor localmente principal (Weil). Los divisores Cartier forman un subgrupo del grupo de divisores que contiene los divisores principales. El cociente de los divisores Cartier por los divisores principales es un subgrupo del grupo de clases de divisores, isomorfo al grupo Picard de gavillas invertibles en Spec ( A ).

Ejemplo: en el anillo k [ x , y , z ]/( xy – z ² ) el grupo de clase divisor tiene orden 2, generado por el divisor y = z , pero el subgrupo Picard es el grupo trivial. ^[22]

Referencias

1. Wolfgang Krull  (1931).
2. P. Samuel, Conferencias sobre el dominio de factorización única , Teorema 3.5.
3. Se dice que una valoración discreta está normalizada si , ¿dónde está el anillo de valoración ? Por tanto, cada clase de valoraciones discretas equivalentes contiene una valoración normalizada única. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v(O_{v})=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle O_{v}}$ ${\displaystyle v}$
4. Si y fueran ambos más finos que una valoración común de , los ideales y sus correspondientes anillos de valoración contendrían adecuadamente el ideal principal, por lo tanto , y contendrían el ideal principal de , que está prohibido por definición. ${\displaystyle v_{{\mathfrak {p}}_{1}}}$ ${\displaystyle v_{{\mathfrak {p}}_{2}}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A_{{\mathfrak {p}}_{1}}{\mathfrak {p}}_{1}}$ ${\displaystyle A_{{\mathfrak {p}}_{2}}{\mathfrak {p}}_{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{w}=\{x\in K:\ w(x)>0\},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{w}\cap A}$ ${\displaystyle A}$
5. Véase Moshe Jarden, Intersecciones de extensiones algebraicas locales de un campo hilbertiano , en A. Barlotti et al., Generators and Relations in Groups and Geometries, Dordrecht, Kluwer, coll., NATO ASI Series C (no 333), 1991, p. . 343-405. Leer en línea: archivo, p. 17, Proposición 4.4, 4.5 y Rmk 4.6.
6. P. Samuel, Conferencias sobre dominios de factorización únicos , Lema 3.3.
7. Ídem, Proposición 4.1 y Corolario (a).
8. Ídem, Proposición 4.1 y Corolario (b).
9. Ídem, Proposición 4.2.
10. Ídem, Proposición 4.5.
11. P. Samuel, Conferencias sobre anillos factoriales , Thm. 5.3.
12. "Anillo Krull", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994] , consultado el 14 de abril de 2016
13. P. Samuel, Conferencias sobre dominios de factorización únicos , Teorema 3.2.
14. Ídem, Proposición 4.3 y 4.4.
15. Huneke, Craig; Swanson, Irena (12 de octubre de 2006). Cierre Integral de Ideales, Anillos y Módulos. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521688604.
16. Bourbaki, 7.1, no 10, Proposición 16.
17. P. Samuel, Conferencias sobre dominios de factorización únicos , Thm. 6.5.
18. P. Samuel, Conferencias sobre dominios de factorización únicos , Thm. 6.3.
19. P. Samuel, Conferencias sobre dominios de factorización únicos , p. 14-25.
20. Ídem, Thm. 6.4.
21. Véase P. Samuel, Conferencias sobre dominios de factorización únicos , págs. 45-64.
22. Hartshorne, GTM52, Ejemplo 6.5.2, p.133 y Ejemplo 6.11.3, p.142.

• N. Bourbaki. Álgebra conmutativa .
• "Anillo Krull", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Krull, Wolfgang (1931), "Allgemeine Bewertungstheorie", J. Reine Angew. Matemáticas. , 167 : 160–196, archivado desde el original el 6 de enero de 2013.
• Hideyuki Matsumura, Álgebra conmutativa . Segunda edicion. Serie de notas de conferencias de matemáticas, 56. Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass., 1980. xv+313 págs. ISBN 0-8053-7026-9 
• Hideyuki Matsumura, Teoría del anillo conmutativo . Traducido del japonés por M. Reid. Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv+320 págs. ISBN 0-521-25916-9 
• Samuel, Pierre (1964), Murthy, M. Pavman (ed.), Conferencias sobre dominios de factorización únicos, Conferencias del Instituto Tata de Investigación Fundamental sobre Matemáticas, vol. 30, Bombay: Instituto Tata de Investigación Fundamental, MR  0214579