En matemáticas , un cuasi-anillo (también anillo cercano o nearring ) es una estructura algebraica similar a un anillo pero que satisface menos axiomas . Los cuasi-anillos surgen naturalmente de funciones en grupos .
Un conjunto N junto con dos operaciones binarias + (llamada adición ) y ⋅ (llamada multiplicación ) se denomina casi-anillo (derecho) si:
De manera similar, es posible definir un anillo cercano izquierdo reemplazando la ley distributiva derecha por la ley distributiva izquierda correspondiente. En la literatura aparecen anillos cercanos tanto derechos como izquierdos; por ejemplo, el libro de Pilz [2] utiliza anillos cercanos derechos, mientras que el libro de Clay [3] utiliza anillos cercanos izquierdos.
Una consecuencia inmediata de esta ley distributiva unilateral es que es cierto que 0⋅ x = 0 pero no es necesariamente cierto que x ⋅0 = 0 para cualquier x en N . Otra consecuencia inmediata es que (− x )⋅ y = −( x ⋅ y ) para cualquier x , y en N , pero no es necesario que x ⋅(− y ) = −( x ⋅ y ). Un anillo cercano es un anillo cercano si y solo si la suma es conmutativa y la multiplicación también es distributiva sobre la suma por la izquierda . Si el anillo cercano tiene una identidad multiplicativa, entonces la distributividad en ambos lados es suficiente y la conmutatividad de la suma se sigue automáticamente.
Sea G un grupo, escrito aditivamente pero no necesariamente abeliano , y sea M ( G ) el conjunto { f | f : G → G } de todas las funciones de G a G. Se puede definir una operación de adición sobre M ( G ): dado f , g en M ( G ), entonces la aplicación f + g de G a G está dada por ( f + g )( x ) = f ( x )+ g ( x ) para todo x en G. Entonces ( M ( G ),+) es también un grupo, que es abeliano si y solo si G es abeliano. Tomando la composición de aplicaciones como el producto ⋅, M ( G ) se convierte en un cuasi-anillo.
El elemento 0 del anillo cercano M ( G ) es la función cero , es decir, la función que lleva cada elemento de G al elemento identidad de G . La inversa aditiva − f de f en M ( G ) coincide con la definición puntual natural , es decir, (− f )( x ) = −( f ( x )) para todo x en G .
Si G tiene al menos dos elementos, entonces M ( G ) no es un anillo, incluso si G es abeliano. (Considere una aplicación constante g de G a un elemento fijo g ≠ 0 de G ; entonces g ⋅0 = g ≠ 0 .) Sin embargo, hay un subconjunto E ( G ) de M ( G ) que consiste en todos los endomorfismos de grupo de G , es decir, todas las aplicaciones f : G → G tales que f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) para todo x , y en G . Si ( G , +) es abeliano, ambas operaciones cercanas al anillo en M ( G ) están cerradas en E ( G ), y ( E ( G ), +, ⋅) es un anillo. Si ( G , +) es no abeliano, E ( G ) generalmente no está cerrado bajo las operaciones cercanas al anillo; pero el cierre de E ( G ) bajo las operaciones de anillo cercano es un anillo cercano.
Muchos subconjuntos de M ( G ) forman anillos cercanos interesantes y útiles. Por ejemplo: [1]
Se dan más ejemplos si el grupo tiene una estructura adicional, por ejemplo:
Cada anillo cercano es isomorfo a un subanillo cercano de M ( G ) para algún G .
Muchas aplicaciones involucran la subclase de anillos cercanos conocidos como campos cercanos ; para esto, consulte el artículo sobre campos cercanos.
Existen diversas aplicaciones de los anillos cercanos propios, es decir, aquellos que no son ni anillos ni campos cercanos.
La más conocida es la de los diseños de bloques incompletos balanceados [2] que utilizan anillos cercanos planares. Se trata de una forma de obtener familias de diferencias utilizando las órbitas de un grupo de automorfismos libres de punto fijo de un grupo. James R. Clay y otros han extendido estas ideas a construcciones geométricas más generales. [3]