Teoría de Fredholm

En matemáticas , la teoría de Fredholm es una teoría de ecuaciones integrales . En el sentido más estricto, la teoría de Fredholm se ocupa de la solución de la ecuación integral de Fredholm . En un sentido más amplio, la estructura abstracta de la teoría de Fredholm se da en términos de la teoría espectral de los operadores de Fredholm y los núcleos de Fredholm en el espacio de Hilbert . La teoría lleva el nombre de Erik Ivar Fredholm .

Descripción general

Las siguientes secciones proporcionan un esbozo informal del lugar de la teoría de Fredholm en el contexto más amplio de la teoría del operador y el análisis funcional . El esquema que aquí se presenta es amplio, mientras que la dificultad de formalizarlo está, por supuesto, en los detalles.

Ecuación de Fredholm de primer tipo.

Gran parte de la teoría de Fredholm se ocupa de la siguiente ecuación integral para f cuando se dan g y K :

${\displaystyle g(x)=\int _{a}^{b}K(x,y)f(y)\,dy.}$

Esta ecuación surge de forma natural en muchos problemas de física y matemáticas, como la inversa de una ecuación diferencial . Es decir, se pide resolver la ecuación diferencial.

${\displaystyle Lg(x)=f(x)}$

donde se da la función f y g se desconoce. Aquí, L representa un operador diferencial lineal .

Por ejemplo, se podría tomar L como un operador elíptico , como

${\displaystyle L={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\,}$

en cuyo caso la ecuación a resolver pasa a ser la ecuación de Poisson .

Un método general para resolver este tipo de ecuaciones es mediante las funciones de Green , es decir, en lugar de un ataque directo, primero se encuentra la función tal que para un par dado x,y , ${\displaystyle K=K(x,y)}$

${\displaystyle LK(x,y)=\delta (x-y),}$

donde δ ( x ) es la función delta de Dirac .

La solución deseada a la ecuación diferencial anterior se escribe como una integral en la forma de una ecuación integral de Fredholm ,

${\displaystyle g(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy.}$

La función K ( x,y ) se conoce como función de Green o núcleo de una integral . A veces se le llama núcleo de la integral, de donde surge el término operador nuclear .

En la teoría general, xey pueden ser puntos de cualquier variedad ; la recta numérica real o el espacio euclidiano m -dimensional en los casos más simples. La teoría general también requiere a menudo que las funciones pertenezcan a algún espacio funcional dado : a menudo, se estudia el espacio de funciones integrables al cuadrado y los espacios de Sobolev aparecen con frecuencia.

El espacio funcional real utilizado suele estar determinado por las soluciones del problema de valores propios del operador diferencial; es decir, por las soluciones a

${\displaystyle L\psi _{n}(x)=\omega _{n}\psi _{n}(x)}$

donde los ω _n son los valores propios y los ψ _n ( x ) son los vectores propios. El conjunto de vectores propios abarca un espacio de Banach y, cuando hay un producto interno natural , entonces los vectores propios abarcan un espacio de Hilbert , en cuyo punto se aplica el teorema de representación de Riesz . Ejemplos de tales espacios son los polinomios ortogonales que ocurren como soluciones a una clase de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden .

Dado un espacio de Hilbert como el anterior, el núcleo se puede escribir en la forma

${\displaystyle K(x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)}{\omega _{n}}}.}$

De esta forma, el objeto K ( x,y ) a menudo se denomina operador de Fredholm o núcleo de Fredholm . Que éste sea el mismo núcleo que antes se desprende de la integridad de la base del espacio de Hilbert, es decir, que se tiene

${\displaystyle \delta (x-y)=\sum _{n}\psi _{n}(x)\psi _{n}(y).}$

Dado que los ω _n generalmente aumentan, se considera que los valores propios resultantes del operador K ( x,y ) disminuyen hacia cero.

Ecuaciones no homogéneas

La ecuación integral de Fredholm no homogénea

${\displaystyle f(x)=-\omega \varphi (x)+\int K(x,y)\varphi (y)\,dy}$

puede escribirse formalmente como

${\displaystyle f=(K-\omega )\varphi }$

que tiene la solución formal

${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{K-\omega }}f.}$

Una solución de esta forma se conoce como formalismo resolutivo , donde el resolutivo se define como el operador.

${\displaystyle R(\omega )={\frac {1}{K-\omega I}}.}$

Dada la colección de vectores propios y valores propios de K , al resolutivo se le puede dar una forma concreta como

${\displaystyle R(\omega ;x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}(y)\psi _{n}(x)}{\omega _{n}-\omega }}}$

siendo la solución

${\displaystyle \varphi (x)=\int R(\omega ;x,y)f(y)\,dy.}$

Una condición necesaria y suficiente para que exista tal solución es uno de los teoremas de Fredholm . El resolutivo comúnmente se expande en potencias de , en cuyo caso se conoce como serie de Liouville-Neumann . En este caso, la ecuación integral se escribe como ${\displaystyle \lambda =1/\omega }$

${\displaystyle g(x)=\varphi (x)-\lambda \int K(x,y)\varphi (y)\,dy}$

y el resolutivo se escribe en la forma alternativa como

${\displaystyle R(\lambda )={\frac {1}{I-\lambda K}}.}$

determinante de Fredholm

El determinante de Fredholm se define comúnmente como

${\displaystyle \det(I-\lambda K)=\exp \left[-\sum _{n}{\frac {\lambda ^{n}}{n}}\operatorname {Tr} \,K^{n}\right]}$

dónde

${\displaystyle \operatorname {Tr} \,K=\int K(x,x)\,dx}$

y

${\displaystyle \operatorname {Tr} \,K^{2}=\iint K(x,y)K(y,x)\,dx\,dy}$

etcétera. La función zeta correspondiente es

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\det(I-sK)}}.}$

La función zeta puede considerarse como el determinante del resolutivo .

La función zeta juega un papel importante en el estudio de sistemas dinámicos . Tenga en cuenta que este es el mismo tipo general de función zeta que la función zeta de Riemann ; sin embargo, en este caso, se desconoce el núcleo correspondiente. La existencia de tal núcleo se conoce como conjetura de Hilbert-Pólya .

Resultados principales

Los resultados clásicos de la teoría son los teoremas de Fredholm , uno de los cuales es la alternativa de Fredholm .

Uno de los resultados importantes de la teoría general es que el núcleo es un operador compacto cuando el espacio de funciones es equicontinuo .

Un resultado célebre relacionado es el teorema del índice de Atiyah-Singer , relativo al índice (dim ker – dim coker) de operadores elípticos en variedades compactas .

Historia

El artículo de Fredholm de 1903 en Acta Mathematica se considera uno de los hitos más importantes en el establecimiento de la teoría del operador . David Hilbert desarrolló la abstracción del espacio de Hilbert en asociación con la investigación sobre ecuaciones integrales impulsada por la de Fredholm (entre otras cosas).

Ver también

• funciones del verde
• Teoría espectral
• Alternativa a Fredholm

Referencias

• Fredholm, EI (1903). "Sur una clase de ecuaciones funcionales" (PDF) . Acta Matemática . 27 : 365–390. doi : 10.1007/bf02421317 .
• Edmunds, DE; Evans, WD (1987). Teoría espectral y operadores diferenciales . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-853542-2.
• BV Khvedelidze, GL Litvinov (2001) [1994], "Fredholm kernel", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Driver, Bruce K. "Operadores compactos y de Fredholm y el teorema espectral" (PDF) . Herramientas de Análisis con Aplicaciones . págs. 579–600.
• Mateo, Jon; Walker, Robert L. (1970). Métodos matemáticos de la física (2ª ed.). Nueva York: WA Benjamín. ISBN 0-8053-7002-1.
• McOwen, Robert C. (1980). "Teoría de Fredholm de ecuaciones diferenciales parciales en variedades de Riemann completas". Pacífico J. Matemáticas . 87 (1): 169–185. doi : 10.2140/pjm.1980.87.169 . Zbl  0457.35084.