El análisis infinitesimal suave es una reformulación moderna del cálculo en términos de infinitesimales . Basado en las ideas de FW Lawvere y empleando los métodos de la teoría de categorías , considera que todas las funciones son continuas e incapaces de expresarse en términos de entidades discretas . Como teoría, es un subconjunto de la geometría diferencial sintética . Terence Tao se ha referido a este concepto con el nombre de "análisis barato no estándar". [1]
Los nilcuadrados o infinitesimales nilpotentes son números ε donde ε ² = 0 es verdadero, pero ε = 0 no tiene por qué serlo al mismo tiempo. Calculus Made Easy utiliza notablemente infinitesimales nilpotentes.
Este enfoque se aparta de la lógica clásica utilizada en matemáticas convencionales al negar la ley del tercero excluido , por ejemplo, NOT ( a ≠ b ) no implica a = b . En particular, en una teoría de análisis infinitesimal fluido se puede demostrar que para todos los infinitesimales ε , NOT ( ε ≠ 0); sin embargo, es demostrablemente falso que todos los infinitesimales sean iguales a cero. [2] Se puede ver que la ley del tercero excluido no puede cumplirse a partir del siguiente teorema básico (nuevamente, entendido en el contexto de una teoría de análisis infinitesimal fluido):
A pesar de este hecho, se podría intentar definir una función discontinua f ( x ) especificando que f ( x ) = 1 para x = 0, y f ( x ) = 0 para x ≠ 0. Si se cumpliera la ley del tercero excluido , entonces esta sería una función discontinua completamente definida. Sin embargo, hay muchos x , es decir, los infinitesimales, de modo que ni x = 0 ni x ≠ 0 se cumplen, por lo que la función no está definida en los números reales.
En los modelos típicos de análisis infinitesimal fluido, los infinitesimales no son invertibles y, por tanto, la teoría no contiene números infinitos. Sin embargo, también existen modelos que incluyen infinitesimales invertibles.
Existen otros sistemas matemáticos que incluyen infinitesimales, incluido el análisis no estándar y los números surrealistas . El análisis infinitesimal suave es como un análisis no estándar en el sentido de que (1) está destinado a servir como base para el análisis y (2) las cantidades infinitesimales no tienen tamaños concretos (a diferencia de los surreales, en los que un infinitesimal típico es 1/ ω , donde ω es un ordinal de von Neumann ). Sin embargo, el análisis infinitesimal fluido difiere del análisis no estándar en el uso de lógica no clásica y en la falta del principio de transferencia . Algunos teoremas del análisis estándar y no estándar son falsos en el análisis infinitesimal fluido, incluido el teorema del valor intermedio y la paradoja de Banach-Tarski . Las afirmaciones del análisis no estándar se pueden traducir en afirmaciones sobre límites , pero no siempre ocurre lo mismo en el análisis infinitesimal fluido.
Intuitivamente, el análisis infinitesimal fluido puede interpretarse como una descripción de un mundo en el que las líneas están formadas por segmentos infinitamente pequeños, no por puntos. Se puede considerar que estos segmentos son lo suficientemente largos para tener una dirección definida, pero no lo suficientemente largos como para curvarse. La construcción de funciones discontinuas falla porque una función se identifica con una curva y la curva no se puede construir puntualmente. Podemos imaginar el fracaso del teorema del valor intermedio como resultado de la capacidad de un segmento infinitesimal para abarcar una línea. De manera similar, la paradoja de Banach-Tarski falla porque un volumen no se puede dividir en puntos.