Descripciones matemáticas de la opacidad

Cuando una onda electromagnética viaja a través de un medio en el que se atenúa (esto se llama un medio " opaco " o " atenuante "), sufre una desintegración exponencial , como se describe en la ley de Beer-Lambert . Sin embargo, existen muchas formas posibles de caracterizar la onda y la rapidez con la que se atenúa. Este artículo describe las relaciones matemáticas entre:

• coeficiente de atenuación ;
• profundidad de penetración y profundidad de la piel ;
• número de onda angular complejo y constante de propagación ;
• índice de refracción complejo ;
• permitividad eléctrica compleja ;
• Conductividad CA ( susceptancia ).

Tenga en cuenta que en muchos de estos casos se utilizan de forma habitual múltiples definiciones y convenciones contradictorias. Este artículo no es necesariamente exhaustivo ni universal.

Antecedentes: onda no atenuada

Descripción

Una onda electromagnética que se propaga en la dirección + z se describe convencionalmente mediante la ecuación: donde $${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,}$$

• E ₀ es un vector en el plano x - y , con las unidades de un campo eléctrico (el vector es en general un vector complejo , para permitir todas las polarizaciones y fases posibles);
• ω es la frecuencia angular de la onda;
• k es el número de onda angular de la onda;
• Re indica parte real ;
• e es el número de Euler .

La longitud de onda es, por definición, Para una frecuencia dada, la longitud de onda de una onda electromagnética se ve afectada por el material en el que se propaga. La longitud de onda en el vacío (la longitud de onda que tendría una onda de esta frecuencia si se propagara en el vacío) es donde c es la velocidad de la luz en el vacío. $${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}.}$$ $${\displaystyle \lambda _{0}={\frac {2\pi \mathrm {c} }{\omega }},}$$

En ausencia de atenuación, el índice de refracción (también llamado índice de refracción ) es el cociente de estas dos longitudes de onda, es decir, La intensidad de la onda es proporcional al cuadrado de la amplitud, promediada en el tiempo a lo largo de muchas oscilaciones de la onda, lo que equivale a: $${\displaystyle n={\frac {\lambda _{0}}{\lambda }}={\frac {\mathrm {c} k}{\omega }}.}$$ $${\displaystyle I(z)\propto \left|\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right|^{2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}.}$$

Nótese que esta intensidad es independiente de la ubicación z , lo que indica que esta onda no se atenúa con la distancia. Definimos I ₀ como igual a esta intensidad constante: $${\displaystyle I(z)=I_{0}\propto |\mathbf {E} _{0}|^{2}.}$$

Ambigüedad conjugada compleja

Porque ambas expresiones se pueden usar indistintamente. ^[1] Generalmente, los físicos y químicos usan la convención de la izquierda (con e ^{− iωt} ), mientras que los ingenieros eléctricos usan la convención de la derecha (con e ^{+ iωt} , por ejemplo, ver impedancia eléctrica ). La distinción es irrelevante para una onda no atenuada, pero se vuelve relevante en algunos casos a continuación. Por ejemplo, hay dos definiciones de índice de refracción complejo , una con una parte imaginaria positiva y otra con una parte imaginaria negativa, derivadas de las dos convenciones diferentes. ^[2] Las dos definiciones son conjugadas complejas entre sí. $${\displaystyle \operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]=\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{0}^{*}e^{-i(kz-\omega t)}\right]\!,}$$

Coeficiente de atenuación

Una forma de incorporar la atenuación en la descripción matemática de la onda es a través de un coeficiente de atenuación : ^[3] donde α es el coeficiente de atenuación. $${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=e^{-\alpha z/2}\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,}$$

Entonces la intensidad de la onda satisface: es decir $${\displaystyle I(z)\propto \left|e^{-\alpha z/2}\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right|^{2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-\alpha z},}$$ $${\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-\alpha z}.}$$

El coeficiente de atenuación, a su vez, está relacionado simplemente con varias otras cantidades:

• El coeficiente de absorción es esencialmente (pero no siempre) sinónimo de coeficiente de atenuación; consulte coeficiente de atenuación para obtener más detalles;
• El coeficiente de absorción molar o coeficiente de extinción molar , también llamado absortividad molar , es el coeficiente de atenuación dividido por la molaridad (y generalmente multiplicado por ln(10), es decir, decimal); consulte la ley de Beer-Lambert y la absortividad molar para obtener más detalles;
• El coeficiente de atenuación de masa , también llamado coeficiente de extinción de masa , es el coeficiente de atenuación dividido por la densidad; consulte coeficiente de atenuación de masa para obtener más detalles;
• La sección transversal de absorción y la sección transversal de dispersión están relacionadas cuantitativamente con el coeficiente de atenuación; consulte la sección transversal de absorción y la sección transversal de dispersión para obtener más detalles;
• El coeficiente de atenuación también se denomina a veces opacidad ; véase opacidad (óptica) .

Profundidad de penetración y profundidad de la piel

Profundidad de penetración

Un enfoque muy similar utiliza la profundidad de penetración : ^[4] donde δ _pen es la profundidad de penetración. $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (z,t)&=e^{-z/(2\delta _{\mathrm {pen} })}\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,\\I(z)&=I_{0}e^{-z/\delta _{\mathrm {pen} }},\end{aligned}}}$$

Profundidad de la piel

La profundidad de la piel se define de modo que la onda satisfaga: ^{[5] [6]} donde δ _piel es la profundidad de la piel. $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (z,t)&=e^{-z/\delta _{\mathrm {skin} }}\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,\\I(z)&=I_{0}e^{-2z/\delta _{\mathrm {skin} }},\end{aligned}}}$$

Físicamente, la profundidad de penetración es la distancia que la onda puede recorrer antes de que su intensidad se reduzca en un factor de 1/ e ≈ 0,37 . La profundidad superficial es la distancia que la onda puede recorrer antes de que su amplitud se reduzca en ese mismo factor.

El coeficiente de absorción está relacionado con la profundidad de penetración y la profundidad de la piel mediante $${\displaystyle \alpha =1/\delta _{\mathrm {pen} }=2/\delta _{\mathrm {skin} }.}$$

Número de onda angular complejo y constante de propagación

Número de onda angular complejo

Otra forma de incorporar la atenuación es utilizar el número de onda angular complejo : ^{[5] [7]} donde k es el número de onda angular complejo. $${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i({\underline {k}}z-\omega t)}\right]\!,}$$

Entonces la intensidad de la onda satisface: es decir $${\displaystyle I(z)\propto \left|\mathbf {E} _{0}e^{i({\underline {k}}z-\omega t)}\right|^{2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-2\operatorname {Im} ({\underline {k}})z},}$$ $${\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-2\operatorname {Im} ({\underline {k}})z}.}$$

Por lo tanto, comparando esto con el enfoque del coeficiente de absorción, ^[3] $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} ({\underline {k}})&=k,&\operatorname {Im} ({\underline {k}})&=\alpha /2.\end{aligned}}}$$

De acuerdo con la ambigüedad señalada anteriormente, algunos autores utilizan la definición de conjugado complejo : ^[8] $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} ({\underline {k}})&=k,&\operatorname {Im} ({\underline {k}})&=-\alpha /2.\end{aligned}}}$$

Constante de propagación

Un enfoque estrechamente relacionado, especialmente común en la teoría de líneas de transmisión , utiliza la constante de propagación : ^{[9] [10]} donde γ es la constante de propagación. $${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{-\gamma z+i\omega t}\right]\!,}$$

Entonces la intensidad de la onda satisface: es decir $${\displaystyle I(z)\propto \left|\mathbf {E} _{0}e^{-\gamma z+i\omega t}\right|^{2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-2\operatorname {Re} (\gamma )z},}$$ $${\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-2\operatorname {Re} (\gamma )z}.}$$

Comparando las dos ecuaciones, la constante de propagación y el número de onda angular complejo están relacionados por: donde * denota conjugación compleja. Esta cantidad también se denomina constante de atenuación , ^{[8] [11]} a veces denotada como α . Esta cantidad también se denomina constante de fase , a veces denotada como β . ^[11] $${\displaystyle \gamma =i{\underline {k}}^{*},}$$ $${\displaystyle \operatorname {Re} (\gamma )=\operatorname {Im} ({\underline {k}})=\alpha /2.}$$ $${\displaystyle \operatorname {Im} (\gamma )=\operatorname {Re} ({\underline {k}})=k.}$$

Lamentablemente, la notación no siempre es consistente. Por ejemplo, a veces se la llama "constante de propagación" en lugar de γ , lo que intercambia las partes real e imaginaria. ^[12] ${\displaystyle {\underline {k}}}$

Índice de refracción complejo

Recuerde que en medios no atenuantes, el índice de refracción y el número de onda angular están relacionados por: donde $${\displaystyle n={\frac {\mathrm {c} }{v}}={\frac {\mathrm {c} k}{\omega }},}$$

• n es el índice de refracción del medio;
• c es la velocidad de la luz en el vacío;
• v es la velocidad de la luz en el medio.

Por lo tanto, un índice de refracción complejo puede definirse en términos del número de onda angular complejo definido anteriormente: donde n es el índice de refracción del medio. $${\displaystyle {\underline {n}}={\frac {\mathrm {c} {\underline {k}}}{\omega }}.}$$

En otras palabras, se requiere que la onda satisfaga $${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i\omega ({\underline {n}}z/\mathrm {c} -t)}\right]\!.}$$

Entonces la intensidad de la onda satisface: es decir $${\displaystyle I(z)\propto \left|\mathbf {E} _{0}e^{i\omega ({\underline {n}}z/\mathrm {c} -t)}\right|^{2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-2\omega \operatorname {Im} ({\underline {n}})z/\mathrm {c} },}$$ $${\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-2\omega \operatorname {Im} ({\underline {n}})z/\mathrm {c} }.}$$

En comparación con la sección anterior, tenemos que esta cantidad a menudo se denomina (ambiguamente) simplemente índice de refracción . Esta cantidad se llama coeficiente de extinción y se denota κ . $${\displaystyle \operatorname {Re} ({\underline {n}})={\frac {\mathrm {c} k}{\omega }}.}$$ $${\displaystyle \operatorname {Im} ({\underline {n}})={\frac {\mathrm {c} \alpha }{2\omega }}={\frac {\lambda _{0}\alpha }{4\pi }}.}$$

De acuerdo con la ambigüedad señalada anteriormente, algunos autores utilizan la definición conjugada compleja, donde el coeficiente de extinción (aún positivo) es menos la parte imaginaria de . ^{[2] [13]} ${\displaystyle {\underline {n}}}$

Permitividad eléctrica compleja

En medios no atenuantes, la permitividad eléctrica y el índice de refracción están relacionados por: donde $${\displaystyle n=\mathrm {c} {\sqrt {\mu \varepsilon }}\quad {\text{(SI)}},\qquad n={\sqrt {\mu \varepsilon }}\quad {\text{(cgs)}},}$$

• μ es la permeabilidad magnética del medio;
• ε es la permitividad eléctrica del medio.
• "SI" se refiere al sistema SI de unidades , mientras que "cgs" se refiere a unidades gaussianas-cgs .

En medios atenuantes, se utiliza la misma relación, pero se permite que la permitividad sea un número complejo , llamado permitividad eléctrica compleja : ^[3] donde ε es la permitividad eléctrica compleja del medio. $${\displaystyle {\underline {n}}=\mathrm {c} {\sqrt {\mu {\underline {\varepsilon }}}}\quad {\text{(SI)}},\qquad {\underline {n}}={\sqrt {\mu {\underline {\varepsilon }}}}\quad {\text{(cgs)}},}$$

Elevando al cuadrado ambos lados y utilizando los resultados de la sección anterior obtenemos: ^[7] $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} ({\underline {\varepsilon }})&={\frac {\mathrm {c} ^{2}\varepsilon _{0}}{\omega ^{2}\mu /\mu _{0}}}\!\left(k^{2}-{\frac {\alpha ^{2}}{4}}\right)\quad {\text{(SI)}},\quad &\operatorname {Re} ({\underline {\varepsilon }})&={\frac {\mathrm {c} ^{2}}{\omega ^{2}\mu }}\!\left(k^{2}-{\frac {\alpha ^{2}}{4}}\right)\quad {\text{(cgs)}},\\\operatorname {Im} ({\underline {\varepsilon }})&={\frac {\mathrm {c} ^{2}\varepsilon _{0}}{\omega ^{2}\mu /\mu _{0}}}k\alpha \quad {\text{(SI)}},&\operatorname {Im} ({\underline {\varepsilon }})&={\frac {\mathrm {c} ^{2}}{\omega ^{2}\mu }}k\alpha \quad {\text{(cgs)}}.\end{aligned}}}$$

Conductividad de CA

Otra forma de incorporar la atenuación es a través de la conductividad eléctrica, de la siguiente manera. ^[14]

Una de las ecuaciones que gobiernan la propagación de ondas electromagnéticas es la ley de Maxwell-Ampere : donde es el campo de desplazamiento . $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J_{f}} +{\frac {\mathrm {d} \mathbf {D} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(SI)}},\qquad \nabla \times \mathbf {H} ={\frac {4\pi }{\mathrm {c} }}\mathbf {J_{f}} +{\frac {1}{\mathrm {c} }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {D} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(cgs)}},}$$ ${\displaystyle \mathbf {D} }$

Introduciendo la ley de Ohm y la definición de permitividad (real) , donde σ es la conductividad eléctrica (real, pero dependiente de la frecuencia), denominada conductividad de CA. $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\sigma \mathbf {E} +\varepsilon {\frac {\mathrm {d} \mathbf {E} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(SI)}},\qquad \nabla \times \mathbf {H} ={\frac {4\pi \sigma }{\mathrm {c} }}\mathbf {E} +{\frac {\varepsilon }{\mathrm {c} }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {E} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(cgs)}},}$$

Con dependencia temporal sinusoidal de todas las magnitudes, es decir, el resultado es $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {H} &=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {H} _{0}e^{-i\omega t}\right]\!,\\\mathbf {E} &=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{-i\omega t}\right]\!,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} _{0}=-i\omega \mathbf {E} _{0}\!\left(\varepsilon +i{\frac {\sigma }{\omega }}\right)\quad {\text{(SI)}},\qquad \nabla \times \mathbf {H} _{0}={\frac {-i\omega }{\mathrm {c} }}\mathbf {E} _{0}\!\left(\varepsilon +i{\frac {4\pi \sigma }{\omega }}\right)\quad {\text{(cgs)}}.}$$

Si la corriente no se incluyera explícitamente (a través de la ley de Ohm), sino solo implícitamente (a través de una permitividad compleja), la cantidad entre paréntesis sería simplemente la permitividad eléctrica compleja. Por lo tanto, en comparación con la sección anterior, la conductividad de CA satisface ${\displaystyle \mathbf {J_{f}} }$ $${\displaystyle {\underline {\varepsilon }}=\varepsilon +i{\frac {\sigma }{\omega }}\quad {\text{(SI)}},\qquad {\underline {\varepsilon }}=\varepsilon +i{\frac {4\pi \sigma }{\omega }}\quad {\text{(cgs)}}.}$$ $${\displaystyle \sigma ={\frac {k\alpha }{\omega \mu }}\quad {\text{(SI)}},\qquad \sigma ={\frac {k\alpha \mathrm {c} ^{2}}{4\pi \omega \mu }}\quad {\text{(cgs)}}.}$$

Notas

1. Notas complementarias de MIT OpenCourseWare 6.007: Convenciones de signos en ondas electromagnéticas (EM)
2. Para la definición de índice de refracción complejo con una parte imaginaria positiva, véase Propiedades ópticas de sólidos, de Mark Fox, pág. 6. Para la definición de índice de refracción complejo con una parte imaginaria negativa, véase Manual de materiales ópticos infrarrojos, de Paul Klocek, pág. 588.
3. Griffiths, sección 9.4.3.
4. Compendio de terminología química de la IUPAC
5. Griffiths, sección 9.4.1.
6. Jackson, Sección 5.18A
7. Jackson, Sección 7.5.B
8. Lifante, Ginés (2003). Fotónica integrada. pag. 35.ISBN​ 978-0-470-84868-5.
9. "Constante de propagación", en ATIS Telecom Glossary 2007
10. PW Hawkes; B. Kazan (27 de marzo de 1995). Imágenes avanzadas y física electrónica. Vol. 92. pág. 93. ISBN 978-0-08-057758-6.
11. S. Sivanagaraju (1 de septiembre de 2008). Transmisión y distribución de energía eléctrica. pág. 132. ISBN 9788131707913.
12. Véase, por ejemplo, Enciclopedia de física y tecnología láser.
13. Pankove, págs. 87-89
14. Jackson, sección 7.5C

Referencias

• Jackson, John David (1999). Electrodinámica clásica (3.ª ed.). Nueva York: Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
• Griffiths, David J. (1998). Introducción a la electrodinámica (3.ª ed.) . Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• JI Pankove (1971). Procesos ópticos en semiconductores . Nueva York: Dover Publications Inc.