En geometría conforme , la construcción ambiental se refiere a una construcción de Charles Fefferman y Robin Graham [1] para la cual una variedad conforme de dimensión n se realiza ( ambientalmente ) como el límite de una cierta variedad de Poincaré , o alternativamente como la esfera celeste de una cierta variedad pseudo-riemanniana .
La construcción ambiental es canónica en el sentido de que se realiza únicamente utilizando la clase conforme de la métrica: es conformemente invariante. Sin embargo, la construcción sólo funciona asintóticamente , hasta un cierto orden de aproximación . Existe, en general, una obstrucción para continuar esta extensión más allá del orden crítico. La obstrucción en sí es de carácter tensorial y se conoce como el tensor de obstrucción (conforme) . Es, junto con el tensor de Weyl , uno de los dos invariantes primitivos en la geometría diferencial conforme.
Además del tensor de obstrucción, la construcción ambiental se puede utilizar para definir una clase de operadores diferenciales conformemente invariantes conocidos como operadores GJMS . [2]
Una construcción relacionada es el haz de tractor .
La geometría plana del modelo para la construcción del ambiente es el futuro cono nulo en el espacio de Minkowski , con el origen eliminado. La esfera celeste en el infinito es la variedad conforme M , y los rayos nulos en el cono determinan un fibrado lineal sobre M. Además, el cono nulo lleva una métrica que degenera en la dirección de las generatrices del cono.
La construcción ambiental en este espacio modelo plano plantea entonces la siguiente pregunta: si se dispone de un fibrado lineal de este tipo, junto con su métrica degenerada, ¿hasta qué punto es posible extender la métrica más allá del cono nulo de manera canónica, recuperando así el espacio de Minkowski ambiental? En términos formales, la métrica degenerada proporciona una condición de contorno de Dirichlet para el problema de extensión y, como sucede, la condición natural es que la métrica extendida sea plana de Ricci (debido a la normalización de la conexión conforme normal ).
La construcción ambiental generaliza esto al caso en que M está curvado conformemente, primero construyendo un fibrado de línea nula natural N con una métrica degenerada y luego resolviendo el problema de Dirichlet asociado en N × (-1,1).
Esta sección proporciona una descripción general de la construcción, primero del haz de línea nula y luego de su extensión ambiental.
Supóngase que M es una variedad conforme, y que [ g ] denota la métrica conforme definida en M . Sea π : N → M el subfibrado tautológico de T * M ⊗ T * M definido por todos los representantes de la métrica conforme. En términos de una métrica de fondo fija g 0 , N consiste en todos los múltiplos positivos ω 2 g 0 de la métrica. Existe una acción natural de R + sobre N , dada por
Además, el espacio total de N lleva una métrica degenerada tautológica, pues si p es un punto de la fibra de π : N → M correspondiente al representante conforme g p , entonces sea
Esta métrica degenera a lo largo de las direcciones verticales. Además, es homogénea de grado 2 bajo la acción de R + sobre N :
Sea X el campo vectorial vertical que genera la acción de escalamiento. Entonces, las siguientes propiedades son inmediatas:
Sea N ~ = N × (-1,1), con la inclusión natural i : N → N ~ . Las dilataciones δ ω se extienden naturalmente a N ~ , y por tanto también lo hace el generador X de dilatación.
Una métrica ambiental en N ~ es una métrica lorentziana h ~ tal que
Supóngase que se eligen en M un representante fijo de la métrica conforme g y un sistema de coordenadas local x = ( x i ) . Estos inducen coordenadas en N identificando un punto en la fibra de N con ( x , t 2 g ( x )) donde t > 0 es la coordenada de la fibra. (En estas coordenadas, X = t ∂ t .) Finalmente, si ρ es una función definitoria de N en N ~ que es homogénea de grado 0 bajo dilataciones, entonces ( x , t , ρ) son coordenadas de N ~ . Además, cualquier métrica de extensión que sea homogénea de grado 2 se puede escribir en estas coordenadas en la forma:
donde g ij son n 2 funciones con g ( x ,0) = g ( x ), el representante conforme dado.
Después de algunos cálculos se demuestra que la planicidad de Ricci es equivalente a la siguiente ecuación diferencial, donde el primo es la diferenciación con respecto a ρ:
Se puede entonces resolver formalmente esta ecuación como una serie de potencias en ρ para obtener el desarrollo asintótico de la métrica ambiental a partir del cono nulo. Por ejemplo, sustituyendo ρ = 0 y resolviendo se obtiene
donde P es el tensor de Schouten . A continuación, derivando de nuevo y sustituyendo el valor conocido de g ij ′ ( x ,0) en la ecuación, se puede encontrar que la segunda derivada es un múltiplo del tensor de Bach . Y así sucesivamente.
