Módulo de corte

Relación entre el esfuerzo cortante y la deformación cortante

Deformación cortante

En la ciencia de los materiales , el módulo de corte o módulo de rigidez , denotado por G , o a veces S o μ , es una medida de la rigidez elástica al corte de un material y se define como la relación entre la tensión de corte y la deformación de corte : ^[1]

${\displaystyle G\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\tau _{xy}}{\gamma _{xy}}}={\frac {F/A}{\Delta x/l}}={\frac {Fl}{A\Delta x}}}$

dónde

${\displaystyle \tau _{xy}=F/A\,}$= esfuerzo cortante

${\displaystyle F}$es la fuerza que actúa

${\displaystyle A}$es el área sobre la cual actúa la fuerza

${\displaystyle \gamma _{xy}}$= deformación cortante. En ingeniería , en otros lugares ${\displaystyle :=\Delta x/l=\tan \theta }$ ${\displaystyle :=\theta }$

${\displaystyle \Delta x}$es el desplazamiento transversal

${\displaystyle l}$es la longitud inicial del área.

La unidad derivada del SI del módulo de corte es el pascal (Pa), aunque normalmente se expresa en gigapascales (GPa) o en miles de libras por pulgada cuadrada (ksi). Su forma dimensional es M ¹ L ⁻¹ T ⁻² , reemplazando la fuerza por masa por aceleración .

Explicación

El módulo de corte es una de las diversas magnitudes que se utilizan para medir la rigidez de los materiales. Todas ellas surgen de la ley de Hooke generalizada :

• El módulo de Young E describe la respuesta de deformación del material a la tensión uniaxial en la dirección de esta tensión (como tirar de los extremos de un cable o poner un peso sobre una columna, con el cable alargándose y la columna perdiendo altura).
• El coeficiente de Poisson ν describe la respuesta en las direcciones ortogonales a esta tensión uniaxial (el cable se vuelve más delgado y la columna más gruesa),
• El módulo volumétrico K describe la respuesta del material a la presión hidrostática (uniforme) (como la presión en el fondo del océano o en una piscina profunda),
• El módulo de corte G describe la respuesta del material al esfuerzo cortante (como cortarlo con tijeras sin filo).

Estos módulos no son independientes y, para materiales isótropos, están conectados a través de las ecuaciones ^[9].

${\displaystyle E=2G(1+\nu )=3K(1-2\nu )}$

El módulo de corte se ocupa de la deformación de un sólido cuando experimenta una fuerza paralela a una de sus superficies mientras que su cara opuesta experimenta una fuerza opuesta (como la fricción). En el caso de un objeto con forma de prisma rectangular, se deformará hasta convertirse en un paralelepípedo . Los materiales anisotrópicos como la madera , el papel y también esencialmente todos los monocristales muestran una respuesta material diferente a la tensión o la deformación cuando se prueban en diferentes direcciones. En este caso, es posible que sea necesario utilizar la expresión tensorial completa de las constantes elásticas, en lugar de un único valor escalar.

Una posible definición de un fluido sería un material con módulo de corte cero.

Ondas transversales

Influencias de la adición de componentes de vidrio seleccionados en el módulo de corte de un vidrio base específico. ^[10]

En sólidos homogéneos e isótropos , existen dos tipos de ondas, ondas de presión y ondas de corte . La velocidad de una onda de corte está controlada por el módulo de corte. ${\displaystyle (v_{s})}$

${\displaystyle v_{s}={\sqrt {\frac {G}{\rho }}}}$

dónde

G es el módulo de corte

${\displaystyle \rho }$es la densidad del sólido .

Módulo de corte de los metales

Módulo de corte del cobre en función de la temperatura. Los datos experimentales ^{[11] [12]} se muestran con símbolos de colores.

Se observa que el módulo de corte de los metales suele disminuir con el aumento de la temperatura. A presiones elevadas, el módulo de corte también parece aumentar con la presión aplicada. Se han observado correlaciones entre la temperatura de fusión, la energía de formación de vacantes y el módulo de corte en muchos metales. ^[13]

Existen varios modelos que intentan predecir el módulo de corte de los metales (y posiblemente el de las aleaciones). Los modelos de módulo de corte que se han utilizado en los cálculos de flujo plástico incluyen:

1. el modelo Varshni-Chen-Gray desarrollado por ^[14] y utilizado junto con el modelo de tensión de flujo plástico de esfuerzo umbral mecánico (MTS). ^{[15] [16]}
2. el modelo de módulo de corte de Steinberg-Cochran-Guinan (SCG) desarrollado por ^[17] y utilizado junto con el modelo de tensión de flujo de Steinberg-Cochran-Guinan-Lund (SCGL).
3. el modelo de módulo de corte de Nadal y LePoac (NP) ^[12] que utiliza la teoría de Lindemann para determinar la dependencia de la temperatura y el modelo SCG para la dependencia de la presión del módulo de corte.

Modelo Varshni-Chen-Gray

El modelo de Varshni-Chen-Gray (a veces denominado ecuación de Varshni) tiene la forma:

${\displaystyle \mu (T)=\mu _{0}-{\frac {D}{\exp(T_{0}/T)-1}}}$

donde es el módulo de corte en , y y son constantes del material. ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle T=0K}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle T_{0}}$

Modelo SCG

El modelo de módulo de corte de Steinberg-Cochran-Guinan (SCG) depende de la presión y tiene la forma

${\displaystyle \mu (p,T)=\mu _{0}+{\frac {\partial \mu }{\partial p}}{\frac {p}{\eta ^{\frac {1}{3}}}}+{\frac {\partial \mu }{\partial T}}(T-300);\quad \eta :={\frac {\rho }{\rho _{0}}}}$

donde, μ ₀ es el módulo de corte en el estado de referencia ( T = 300 K, p = 0, η = 1), p es la presión y T es la temperatura.

Modelo NP

El modelo de módulo de corte de Nadal-Le Poac (NP) es una versión modificada del modelo SCG. La dependencia empírica de la temperatura del módulo de corte en el modelo SCG se reemplaza con una ecuación basada en la teoría de fusión de Lindemann . El modelo de módulo de corte NP tiene la forma:

${\displaystyle \mu (p,T)={\frac {1}{{\mathcal {J}}\left({\hat {T}}\right)}}\left[\left(\mu _{0}+{\frac {\partial \mu }{\partial p}}{\frac {p}{\eta ^{\frac {1}{3}}}}\right)\left(1-{\hat {T}}\right)+{\frac {\rho }{Cm}}~T\right];\quad C:={\frac {\left(6\pi ^{2}\right)^{\frac {2}{3}}}{3}}f^{2}}$

dónde

${\displaystyle {\mathcal {J}}({\hat {T}}):=1+\exp \left[-{\frac {1+1/\zeta }{1+\zeta /\left(1-{\hat {T}}\right)}}\right]\quad {\text{for}}\quad {\hat {T}}:={\frac {T}{T_{m}}}\in [0,6+\zeta ],}$

y μ ₀ es el módulo de corte en cero absoluto y presión ambiental, ζ es un área, m es la masa atómica y f es la constante de Lindemann .

Módulo de relajación de corte

El módulo de relajación de corte es la generalización dependiente del tiempo del módulo de corte ^[18] : ${\displaystyle G(t)}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G=\lim _{t\to \infty }G(t)}$.

Véase también

• Tensor de elasticidad
• Módulo dinámico
• Técnica de excitación por impulsos
• Resistencia al corte
• Momento sísmico

Referencias

1. IUPAC , Compendio de terminología química , 2.ª ed. (el "Libro de oro") (1997). Versión corregida en línea: (2006–) "módulo de corte, G". doi :10.1351/goldbook.S05635
2. McSkimin, HJ; Andreatch, P. (1972). "Módulos elásticos del diamante en función de la presión y la temperatura". J. Appl. Phys . 43 (7): 2944–2948. Bibcode :1972JAP....43.2944M. doi :10.1063/1.1661636.
3. Crandall, Dahl, Lardner (1959). Introducción a la mecánica de los sólidos . Boston: McGraw-Hill. ISBN 0-07-013441-3.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
4. Rayne, JA (1961). "Constantes elásticas del hierro desde 4,2 hasta 300 °K". Physical Review . 122 (6): 1714–1716. Código Bibliográfico :1961PhRv..122.1714R. doi :10.1103/PhysRev.122.1714.
5. Propiedades del material
6. Spanos, Pete (2003). "Efecto del sistema de curado en el módulo de corte dinámico a baja temperatura del caucho natural". Rubber World .
7. Hoek, Evert y Jonathan D. Bray. Ingeniería de taludes rocosos. CRC Press, 1981.
8. Pariseau, William G. Análisis de diseño en mecánica de rocas. CRC Press, 2017.
9. [Landau LD, Lifshitz EM. Teoría de la elasticidad , vol. 7. Curso de física teórica. (2.ª ed.) Pergamon: Oxford 1970 pág. 13]
10. Cálculo del módulo de corte de vidrios
11. Overton, W.; Gaffney, John (1955). "Variación de la temperatura de las constantes elásticas de elementos cúbicos. I. Cobre". Physical Review . 98 (4): 969. Bibcode :1955PhRv...98..969O. doi :10.1103/PhysRev.98.969.
12. Nadal, Marie-Hélène; Le Poac, Philippe (2003). "Modelo continuo para el módulo de corte en función de la presión y la temperatura hasta el punto de fusión: análisis y validación ultrasónica". Journal of Applied Physics . 93 (5): 2472. Bibcode :2003JAP....93.2472N. doi :10.1063/1.1539913.
13. March, NH, (1996), Correlación electrónica en moléculas y fases condensadas, Springer, ISBN 0-306-44844-0 pág. 363 
14. Varshni, Y. (1970). "Dependencia de la temperatura de las constantes elásticas". Physical Review B . 2 (10): 3952–3958. Código Bibliográfico :1970PhRvB...2.3952V. doi :10.1103/PhysRevB.2.3952.
15. Chen, Shuh Rong; Gray, George T. (1996). "Comportamiento constitutivo del tantalio y de las aleaciones de tantalio y tungsteno". Metallurgical and Materials Transactions A . 27 (10): 2994. Bibcode :1996MMTA...27.2994C. doi :10.1007/BF02663849. S2CID  136695336.
16. Goto, DM; Garrett, RK; Bingert, JF; Chen, SR; Gray, GT (2000). "Descripción del modelo de resistencia constitutiva de la tensión umbral mecánica del acero HY-100" (PDF) . Metallurgical and Materials Transactions A . 31 (8): 1985–1996. Bibcode :2000MMTA...31.1985G. doi :10.1007/s11661-000-0226-8. S2CID  136118687. Archivado desde el original el 25 de septiembre de 2017.
17. Guinan, M; Steinberg, D (1974). "Derivadas de presión y temperatura del módulo de corte policristalino isotrópico para 65 elementos". Journal of Physics and Chemistry of Solids . 35 (11): 1501. Bibcode :1974JPCS...35.1501G. doi :10.1016/S0022-3697(74)80278-7.
18. Rubinstein, Michael, 20 de diciembre de 1956 (2003). Física de polímeros . Colby, Ralph H. Oxford: Oxford University Press. pág. 284. ISBN 019852059X.OCLC 50339757  .{{cite book}}: CS1 maint: nombres múltiples: lista de autores ( enlace ) CS1 maint: nombres numéricos: lista de autores ( enlace )