Extensión simple

En teoría de campos , una extensión simple es una extensión de campo que se genera mediante la adición de un solo elemento, llamado elemento primitivo . Las extensiones simples son bien entendidas y pueden clasificarse por completo.

El teorema del elemento primitivo proporciona una caracterización de las extensiones simples finitas .

Definición

Una extensión de campo L / K se denomina extensión simple si existe un elemento θ en L con

${\displaystyle L=K(\theta ).}$

Esto significa que cada elemento de L puede expresarse como una fracción racional en θ , con coeficientes en K ; es decir, se produce a partir de θ y elementos de K mediante las operaciones de campo +, −, •, / . Equivalentemente, L es el campo más pequeño que contiene tanto a K como a θ .

Hay dos tipos diferentes de extensiones simples (ver Estructura de extensiones simples a continuación).

El elemento θ puede ser trascendental sobre K , lo que significa que no es raíz de ningún polinomio con coeficientes en K . En este caso es isomorfo al cuerpo de funciones racionales ${\displaystyle K(\theta )}$ ${\displaystyle K(X).}$

De lo contrario, θ es algebraico sobre K ; es decir, θ es una raíz de un polinomio sobre K . El polinomio mónico de grado mínimo n , con θ como raíz, se llama polinomio mínimo de θ . Su grado es igual al grado de la extensión del cuerpo , es decir, la dimensión de L visto como un espacio vectorial K . En este caso, cada elemento de puede expresarse de forma única como un polinomio en θ de grado menor que n , y es isomorfo al anillo de cocientes ${\displaystyle p(X)}$ ${\displaystyle K(\theta )}$ ${\displaystyle K(\theta )}$ ${\displaystyle K[X]/(p(X)).}$

En ambos casos, el elemento θ se llama elemento generador o elemento primitivo de la extensión; se dice también que L es generado sobre K por θ .

Por ejemplo, todo cuerpo finito es una extensión simple del cuerpo primo de la misma característica . Más precisamente, si p es un número primo y el cuerpo de q elementos es una extensión simple de grado n de De hecho, L se genera como un cuerpo por cualquier elemento θ que sea raíz de un polinomio irreducible de grado n en . ${\displaystyle q=p^{n},}$ ${\displaystyle L=\mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle K=\mathbb {F} _{p}.}$ ${\displaystyle K[X]}$

Sin embargo, en el caso de cuerpos finitos, el término elemento primitivo suele reservarse para una noción más fuerte, un elemento γ que genera como un grupo multiplicativo , de modo que cada elemento distinto de cero de L es una potencia de γ , es decir, se produce a partir de γ utilizando solo la operación de grupo • . Para distinguir estos significados, se utiliza el término "generador" o elemento primitivo de cuerpo para el significado más débil, reservando "elemento primitivo" o elemento primitivo de grupo para el significado más fuerte. ^[1] (Véase Cuerpo finito § Estructura multiplicativa y Elemento primitivo (cuerpo finito) ). ${\displaystyle L^{\times }=L-\{0\}}$

Estructura de extensiones simples

Sea L una extensión simple de K generada por θ . Para el anillo polinómico K [ X ], una de sus principales propiedades es el homomorfismo de anillo único

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi :K[X]&\rightarrow L\\f(X)&\mapsto f(\theta )\,.\end{aligned}}}$

Pueden darse dos casos:

Si es inyectiva , puede extenderse inyectivamente al campo de fracciones K ( X ) de K [ X ]. Como L es generada por θ , esto implica que es un isomorfismo de K ( X ) en L . Esto implica que cada elemento de L es igual a una fracción irreducible de polinomios en θ , y que dos de esas fracciones irreducibles son iguales si y solo si se puede pasar de una a la otra multiplicando el numerador y el denominador por el mismo elemento distinto de cero de K . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Si no es inyectiva, sea p ( X ) un generador de su núcleo , que es por tanto el polinomio mínimo de θ . La imagen de es un subanillo de L , y por tanto un dominio integral . Esto implica que p es un polinomio irreducible y, por tanto, que el anillo cociente es un cuerpo. Como L es generado por θ , es sobreyectiva , e induce un isomorfismo de sobre L . Esto implica que cada elemento de L es igual a un polinomio único en θ de grado menor que el grado . Es decir, tenemos una base K de L dada por . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle K[X]/\langle p(X)\rangle }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle K[X]/\langle p(X)\rangle }$ ${\displaystyle n=\operatorname {deg} p(X)}$ ${\displaystyle 1,\theta ,\theta ^{2},\ldots ,\theta ^{n-1}}$

Ejemplos

• C / R generado por . ${\displaystyle \theta =i={\sqrt {-1}}}$
• Q ( ) / Q generado por . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \theta ={\sqrt {2}}}$
• Cualquier cuerpo numérico (es decir, una extensión finita de Q ) es una extensión simple Q ( θ ) para algún θ . Por ejemplo, se genera mediante . ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {3}},{\sqrt {7}})}$ ${\displaystyle \theta ={\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}}$
• F ( X ) / F, un campo de funciones racionales, es generado por la variable formal X .

Véase también

• Matriz complementaria para el mapa de multiplicación en una extensión de campo simple

Referencias

1. (Romano 1995)

Literatura

• Roman, Steven (1995). Teoría de campos . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 158. Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 0-387-94408-7.Zbl 0816.12001  .