Rigidez de las medidas

Concepto en teoría de la medida.

En matemáticas , la estanqueidad es un concepto de la teoría de la medida . La idea intuitiva es que una determinada colección de medidas no "escapa al infinito ".

Definiciones

Sea un espacio de Hausdorff y sea una σ-álgebra que contenga la topología . (Por lo tanto, cada subconjunto abierto de es un conjunto medible y es al menos tan fino como el álgebra σ de Borel en .) Sea una colección de medidas (posiblemente con signo o complejas ) definidas en . La colección se llama ajustada (o a veces uniformemente ajustada ) si, para cualquiera , hay un subconjunto compacto de tal que, para todas las medidas , ${\displaystyle (X,T)}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle K_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu \in M}$

${\displaystyle |\mu |(X\setminus K_{\varepsilon })<\varepsilon .}$

donde es la medida de variación total de . Muy a menudo, las medidas en cuestión son medidas de probabilidad , por lo que la última parte se puede escribir como ${\displaystyle |\mu |}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu (K_{\varepsilon })>1-\varepsilon .\,}$

Si una colección apretada consta de una sola medida , entonces (dependiendo del autor) se puede decir que es una medida apretada o una medida regular interna . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

Si es una variable aleatoria valorada cuya distribución de probabilidad es una medida estricta , entonces se dice que es una variable aleatoria separable o una variable aleatoria de radón . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Otro criterio equivalente de la estanqueidad de una colección es secuencialmente débilmente compacto. Decimos que la familia de medidas de probabilidad es secuencialmente débilmente compacta si para cada secuencia de la familia hay una subsecuencia de medidas que converge débilmente a alguna medida de probabilidad . Se puede demostrar que una familia de medidas es ajustada si y sólo si es secuencialmente débilmente compacta. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \left\{\mu _{n}\right\}}$ ${\displaystyle \mu }$

Ejemplos

Espacios compactos

Si es un espacio compacto metrizable , entonces cada conjunto de medidas (posiblemente complejas) es ajustado. Esto no es necesariamente así en el caso de espacios compactos no metrizables. Si tomamos su topología de orden , entonces existe una medida que no es regular internamente. Por lo tanto, el singleton no es ajustado. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,\omega _{1}]}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \{\mu \}}$

espacios polacos

Si es un espacio polaco , entonces todas las medidas de probabilidad son estrictas. Además, según el teorema de Prokhorov , un conjunto de medidas de probabilidad es ajustado si y sólo si es precompacto en la topología de convergencia débil . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Una colección de masas puntuales.

Considere la línea real con su topología Borel habitual. Denotemos la medida de Dirac , una unidad de masa en el punto en . La colección ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \delta _{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle M_{1}:=\{\delta _{n}|n\in \mathbb {N} \}}$

no es ajustado, ya que los subconjuntos compactos de son precisamente los subconjuntos cerrados y acotados , y cualquier conjunto de este tipo, dado que está acotado, tiene -medida cero para lo suficientemente grande . Por otra parte, la colección ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \delta _{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle M_{2}:=\{\delta _{1/n}|n\in \mathbb {N} \}}$

es ajustado: el intervalo compacto funcionará como para cualquier . En general, un conjunto de medidas delta de Dirac es ajustado si, y sólo si, el conjunto de sus soportes es acotado. ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle K_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Una colección de medidas gaussianas.

Considere el espacio euclidiano de dimensiones con su topología de Borel habitual y σ-álgebra. Considere una colección de medidas gaussianas. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \Gamma =\{\gamma _{i}|i\in I\},}$

donde la medida tiene valor esperado ( media ) y matriz de covarianza . Entonces la colección es apretada si, y sólo si, las colecciones y están acotadas. ${\displaystyle \gamma _{i}}$ ${\displaystyle m_{i}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C_{i}\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \{m_{i}|i\in I\}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \{C_{i}|i\in I\}\subseteq \mathbb {R} ^{n\times n}}$

Rigidez y convergencia

La estanqueidad es a menudo un criterio necesario para demostrar la convergencia débil de una secuencia de medidas de probabilidad, especialmente cuando el espacio de medidas tiene una dimensión infinita . Ver

• Distribución de dimensión finita
• Teorema de Prokhorov
• Métrica de Lévy-Prokhorov
• Débil convergencia de medidas
• Estanqueidad en el espacio clásico de Wiener
• Estanqueidad en el espacio Skorokhod

Estanqueidad exponencial

Un fortalecimiento de la estanqueidad es el concepto de estanqueidad exponencial, que tiene aplicaciones en la teoría de las grandes desviaciones . Se dice que una familia de medidas de probabilidad en un espacio topológico de Hausdorff es exponencialmente ajustada si, para cualquiera , existe un subconjunto compacto de tal que ${\displaystyle (\mu _{\delta })_{\delta >0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle K_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \limsup _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(X\setminus K_{\varepsilon })<-\varepsilon .}$

Referencias

• Billingsley, Patricio (1995). Probabilidad y Medida . Nueva York, Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2.
• Billingsley, Patricio (1999). Convergencia de medidas de probabilidad . Nueva York, Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-19745-9.
• Ledoux, Michel; Talagrand, Michel (1991). Probabilidad en espacios de Banach . Berlín: Springer-Verlag. págs. xii+480. ISBN 3-540-52013-9. MR 1102015 (Ver capítulo 2)