Aceleración adecuada

Aceleración física experimentada por un objeto.

Vistas de mapas y viajeros de 1 g de aceleración adecuada desde el reposo durante un año.

Espacio-tiempo viajero para un viaje de ida y vuelta en aceleración constante.

En la teoría de la relatividad , la aceleración adecuada ^{[1] es la} aceleración física (es decir, la aceleración medible mediante un acelerómetro ) experimentada por un objeto. Por lo tanto, es una aceleración relativa a un observador en caída libre o inercial que está momentáneamente en reposo en relación con el objeto que se está midiendo. Por tanto, la gravitación no provoca una aceleración adecuada, porque la misma gravedad actúa igualmente sobre el observador inercial. Como consecuencia, todos los observadores inerciales siempre tienen una aceleración propia de cero.

La aceleración adecuada contrasta con la aceleración coordinada , que depende de la elección de los sistemas de coordenadas y, por tanto, de la elección de los observadores (ver tres aceleraciones en la relatividad especial ).

En las coordenadas inerciales estándar de la relatividad especial, para el movimiento unidireccional, la aceleración adecuada es la tasa de cambio de la velocidad propia con respecto al tiempo de coordenadas .

En un sistema inercial en el que el objeto está momentáneamente en reposo, el vector 3 de aceleración propia, combinado con un componente de tiempo cero, produce la aceleración cuatro del objeto , lo que hace que la magnitud de la aceleración adecuada sea invariante de Lorentz . Por tanto, el concepto es útil: (i) con sistemas de coordenadas acelerados , (ii) a velocidades relativistas y (iii) en espacio-tiempo curvo .

En un cohete que acelera después del lanzamiento, o incluso en un cohete que se encuentra en la plataforma de lanzamiento, la aceleración adecuada es la que sienten los ocupantes, y que se describe como fuerza g (que no es una fuerza sino más bien una aceleración; vea que artículo para más discusión) entregado solo por el vehículo. ^[2] La "aceleración de la gravedad" (implicada en la "fuerza de la gravedad") nunca contribuye a la aceleración adecuada en ninguna circunstancia y, por lo tanto, la aceleración adecuada que sienten los observadores parados en el suelo se debe a la fuerza mecánica del suelo . no debido a la "fuerza" o "aceleración" de la gravedad. Si se retira el suelo y se permite al observador caer libremente, el observador experimentará una aceleración coordinada, pero no una aceleración adecuada y, por lo tanto, no habrá fuerza g. Generalmente, los objetos en un estado de movimiento inercial, también llamado caída libre o trayectoria balística (incluidos los objetos en órbita) no experimentan una aceleración adecuada (despreciando las pequeñas aceleraciones de marea para trayectorias inerciales en campos gravitacionales). Este estado también se conoce como " gravedad cero " ("cero-g") o "caída libre" y produce una sensación de ingravidez .

La aceleración adecuada se reduce a una aceleración coordinada en un sistema de coordenadas inercial en el espacio-tiempo plano (es decir, en ausencia de gravedad), siempre que la magnitud de la velocidad propia del objeto ^[3] (momento por unidad de masa) sea mucho menor que la velocidad de la luz c. . Sólo en tales situaciones la aceleración coordinada se siente enteramente como una fuerza g (es decir, una aceleración adecuada, también definida como aquella que produce un peso mensurable).

En situaciones en las que la gravitación está ausente pero el sistema de coordenadas elegido no es inercial, sino que se acelera con el observador (como el sistema de referencia acelerado de un cohete en aceleración, o un sistema fijado sobre objetos en una centrífuga), entonces las fuerzas g y Las correspondientes aceleraciones propias que sienten los observadores en estos sistemas de coordenadas son causadas por las fuerzas mecánicas que resisten su peso en tales sistemas. Este peso, a su vez, es producido por fuerzas ficticias o "fuerzas de inercia" que aparecen en todos esos sistemas de coordenadas acelerados, de manera similar al peso producido por la "fuerza de gravedad" en sistemas donde los objetos están fijos en el espacio con respecto a ellos. al cuerpo gravitante (como en la superficie de la Tierra).

La fuerza total (mecánica) que se calcula para inducir la aceleración adecuada sobre una masa en reposo en un sistema de coordenadas que tiene una aceleración adecuada, mediante la ley de Newton F = ma , se llama fuerza propia . Como se vio arriba, la fuerza adecuada es igual a la fuerza de reacción opuesta que se mide como el "peso operativo" de un objeto (es decir, su peso medido por un dispositivo como una báscula de resorte, en el vacío, en el sistema de coordenadas del objeto). Por tanto, la fuerza propia sobre un objeto es siempre igual y opuesta a su peso medido.

Ejemplos

Al sostener un carrusel que gira a velocidad angular constante , un observador experimenta una aceleración propia radialmente hacia adentro ( centrípeta ) debido a la interacción entre el asidero y la mano del observador. Esto cancela la aceleración geométrica radialmente hacia afuera asociada con su marco de coordenadas giratorio . Esta aceleración hacia afuera (desde la perspectiva del marco giratorio) se convertirá en la aceleración coordinada cuando se suelten, lo que hará que salgan volando a lo largo de una trayectoria de aceleración propia cero ( geodésica ). Los observadores no acelerados, por supuesto, en su marco simplemente ven que sus aceleraciones iguales propias y coordinadas desaparecen cuando se sueltan.

De manera similar, estando en un planeta que no gira (y en la Tierra a efectos prácticos), los observadores experimentan una aceleración adecuada hacia arriba debido a la fuerza normal ejercida por la Tierra en la suela de sus zapatos. Esto anula la aceleración geométrica descendente debida a la elección del sistema de coordenadas (el llamado marco de concha ^[4] ). Esa aceleración descendente se vuelve coordinada si, sin darse cuenta, se caen de un acantilado y entran en una trayectoria de aceleración propia cero (geodésica o de marco de lluvia).

Las aceleraciones geométricas (debido al término de conexión en la derivada covariante del sistema de coordenadas a continuación) actúan sobre cada gramo de nuestro ser , mientras que las aceleraciones propias generalmente son causadas por una fuerza externa. Los cursos de introducción a la física a menudo tratan la aceleración descendente (geométrica) de la gravedad como debida a una fuerza proporcional a la masa . Esto, junto con evitar diligentemente los fotogramas no acelerados, les permite tratar la aceleración adecuada y coordinada como la misma cosa.

Incluso entonces, si un objeto mantiene una aceleración propia constante desde el reposo durante un período prolongado en el espacio-tiempo plano, los observadores en el marco de reposo verán disminuir la aceleración coordinada del objeto a medida que su velocidad coordinada se acerca a la velocidad de la luz. Sin embargo, la velocidad a la que aumenta la velocidad propia del objeto permanece constante.

Así, la distinción entre aceleración adecuada y aceleración coordinada ^[5] permite seguir la experiencia de los viajeros acelerados desde varias perspectivas no newtonianas. Estas perspectivas incluyen las de sistemas de coordenadas acelerados (como un carrusel), de altas velocidades (donde los tiempos propios y de coordenadas difieren) y del espacio-tiempo curvo (como el asociado con la gravedad en la Tierra).

Aplicaciones clásicas

A bajas velocidades en los sistemas de coordenadas inerciales de la física newtoniana , la aceleración adecuada simplemente es igual a la aceleración coordenada a  = d ² x /d t ² . Sin embargo, como se analizó anteriormente, difiere de la aceleración coordinada si uno elige (en contra del consejo de Newton) describir el mundo desde la perspectiva de un sistema de coordenadas acelerado como un vehículo de motor que acelera desde el reposo o una piedra que gira en una honda. Si uno decide reconocer que la gravedad es causada por la curvatura del espacio-tiempo (ver más abajo), la aceleración adecuada difiere de la aceleración coordinada en un campo gravitacional .

Por ejemplo, los observadores en un sistema de coordenadas que experimenta una aceleración constante verán un objeto sometido a una aceleración física o propia a _o como _si tuviera una aceleración coordinada:

$${\displaystyle {\vec {a}}_{\text{acc}}={\vec {a}}_{\text{o}}-{\vec {a}}_{\text{frame}}.}$$

De manera similar, los observadores verán un objeto que experimenta una aceleración física o propia a _{o en un marco que gira con velocidad angular} ω para tener una aceleración coordinada:

$${\displaystyle {\vec {a}}_{\text{rot}}={\vec {a}}_{\text{o}}-{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})-2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{\text{rot}}-{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r}}.}$$

rv _rot

En cada uno de estos casos, la aceleración física o propia difiere de la aceleración coordinada porque esta última puede verse afectada por la elección del sistema de coordenadas, así como por las fuerzas físicas que actúan sobre el objeto. Aquellos componentes de la aceleración coordinada que no son causados ​​por fuerzas físicas (como el contacto directo o la atracción electrostática) a menudo se atribuyen (como en el ejemplo newtoniano anterior) a fuerzas que: (i) actúan sobre cada gramo del objeto, (ii) causan masa- aceleraciones independientes, y (iii) no existen desde todos los puntos de vista. Estas fuerzas geométricas (o impropias) incluyen las fuerzas de Coriolis , las fuerzas de Euler , las fuerzas g , las fuerzas centrífugas y (como veremos a continuación) también las fuerzas de gravedad .

Visto desde una porción plana del espacio-tiempo

Dinámica de fotograma propio en el espacio-tiempo (1+1)D.

Las relaciones de aceleración adecuada para coordinar la aceleración en una porción específica de espacio-tiempo plano se siguen ^[6] de la ecuación métrica de espacio plano de Minkowski ( c d τ ) ² = ( c d t ) ² − (d x ) ² . Aquí, un único marco de referencia de criterios y relojes sincronizados define la posición del mapa x y el tiempo del mapa t respectivamente, los relojes del objeto que viaja definen el tiempo adecuado τ y la "d" que precede a una coordenada significa un cambio infinitesimal. Estas relaciones permiten abordar diversos problemas de "ingeniería a cualquier velocidad", aunque sólo desde el punto de vista de un observador cuyo marco de mapa extendido define la simultaneidad.

Aceleración en (1+1)D

Este gráfico muestra cómo una nave espacial capaz de alcanzar una aceleración de 1 g (10 m/s ² o aproximadamente 1,0 año luz por año al cuadrado) durante 100 años podría impulsar un viaje a casi cualquier parte del universo visible y regresar en el transcurso de su vida.

En el caso unidireccional, es decir, cuando la aceleración del objeto es paralela o antiparalela a su velocidad en el segmento de espacio-tiempo del observador, la aceleración propia α y la aceleración coordinada a están relacionadas ^[7] a través del factor de Lorentz γ por α = γ ³ a . Por lo tanto, el cambio en la velocidad propia w=dx/dτ es la integral de la aceleración adecuada durante el tiempo del mapa t, es decir, Δ w = α Δ t para α constante . A bajas velocidades, esto se reduce a la conocida relación entre la velocidad coordinada y la aceleración coordinada multiplicada por el tiempo del mapa, es decir, Δ v = a Δ t .

Para una aceleración adecuada unidireccional constante, existen relaciones similares entre la rapidez η y el tiempo propio transcurrido Δ τ , así como entre el factor de Lorentz γ y la distancia recorrida Δ x . Ser especifico:

$${\displaystyle \alpha ={\frac {\Delta w}{\Delta t}}=c{\frac {\Delta \eta }{\Delta \tau }}=c^{2}{\frac {\Delta \gamma }{\Delta x}},}$$

$${\displaystyle \eta =\sinh ^{-1}\left({\frac {w}{c}}\right)=\tanh ^{-1}\left({\frac {v}{c}}\right)=\pm \cosh ^{-1}\left(\gamma \right).}$$

Estas ecuaciones describen algunas consecuencias del viaje acelerado a alta velocidad. Por ejemplo, imagine una nave espacial que puede acelerar a sus pasajeros a "1 ge" (10 m/s ² o aproximadamente 1,0 año luz por año al cuadrado) a mitad de camino hacia su destino, y luego desacelerarlos a "1 ge" durante la mitad restante, de modo que para proporcionar una gravedad artificial similar a la terrestre desde el punto A al punto B en el menor tiempo posible. ^{[8] [9]} Para una distancia de mapa de Δ x _AB , la primera ecuación anterior predice un factor de Lorentz de punto medio (por encima de su valor de reposo unitario) de γ _mid = 1 + α (Δ x _AB /2)/c ² . Por lo tanto, el tiempo de ida y vuelta en los relojes de viajero será Δ τ = 4( c / α ) cosh ⁻¹ ( γ _mid ) , durante el cual el tiempo transcurrido en los relojes de mapa será Δ t = 4( c / α ) sinh[cosh ⁻¹ ( γ _medio )] .

Esta nave espacial imaginada podría ofrecer viajes de ida y vuelta a Próxima Centauri que durarían aproximadamente 7,1 años de viajero (~12 años en los relojes terrestres), viajes de ida y vuelta al agujero negro central de la Vía Láctea de aproximadamente 40 años (~54.000 años transcurridos en los relojes terrestres), y viajes de ida y vuelta a la galaxia de Andrómeda que duran alrededor de 57 años (más de 5 millones de años en los relojes de la Tierra). Desafortunadamente, mantener una aceleración de 1 g durante años es más fácil de decir que de hacer, como lo ilustra la carga útil máxima para lanzar relaciones de masa que se muestran en la figura de la derecha.

En el espacio-tiempo curvo

En el lenguaje de la relatividad general , los componentes de la aceleración de un objeto de cuatro vectores A (cuya magnitud es la aceleración propia) están relacionados con elementos de las cuatro velocidades a través de una derivada covariante D con respecto al tiempo propio τ :

$${\displaystyle A^{\lambda }:={\frac {DU^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dU^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }}$$

Aquí U son las cuatro velocidades del objeto y Γ representa los 64 coeficientes de conexión del sistema de coordenadas o símbolos de Christoffel . Tenga en cuenta que los subíndices griegos toman cuatro valores posibles, a saber, 0 para el eje de tiempo y 1 a 3 para los ejes de coordenadas espaciales, y que se utilizan índices repetidos para indicar la suma de todos los valores de ese índice. Las trayectorias con aceleración propia cero se denominan geodésicas .

El lado izquierdo de este conjunto de cuatro ecuaciones (una para los valores temporales y tres espaciales del índice λ) es el 3-vector de aceleración propia del objeto combinado con un componente de tiempo nulo visto desde el punto de vista de una referencia. o sistema de coordenadas contable en el que el objeto está en reposo. El primer término del lado derecho enumera la velocidad a la que cambian los componentes temporales (energía/ mc ) y espaciales (momento/ m ) de las cuatro velocidades U del objeto , por unidad de tiempo τ en los relojes de viajero.

Resolvamos el primer término de la derecha, ya que a bajas velocidades sus componentes espaciales representan la aceleración coordinada. De manera más general, cuando ese primer término llega a cero, la aceleración coordinada del objeto llega a cero. Esto produce

$${\displaystyle {\frac {dU^{\lambda }}{d\tau }}=A^{\lambda }-\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }.}$$

Por lo tanto, como se ejemplifica con las dos primeras animaciones anteriores, la aceleración coordinada llega a cero siempre que el término de conexión (o aceleración geométrica ) en el extremo derecho cancela exactamente la aceleración propia . ^[10] Precaución: Este término puede ser una suma de hasta dieciséis términos separados que dependen de la velocidad y la posición, ya que los índices repetidos μ y ν se suman por convención sobre todos los pares de sus cuatro valores permitidos.

Fuerza y ​​equivalencia

La ecuación anterior también ofrece cierta perspectiva sobre las fuerzas y el principio de equivalencia . Considere las coordenadas del contable local ^[4] para la métrica (por ejemplo, una tétrada local de Lorentz ^[5] como la que proporcionan información los sistemas de posicionamiento global ) para describir el tiempo en segundos y el espacio en unidades de distancia a lo largo de ejes perpendiculares. Si multiplicamos la ecuación anterior por la masa en reposo m del objeto que viaja y la dividimos por el factor de Lorentz γ  = d t /d τ , los componentes espaciales expresan la tasa de cambio de impulso para ese objeto desde la perspectiva de las coordenadas utilizadas para describir la métrica. .

Esto, a su vez, se puede dividir en partes debido a los componentes geométricos y propios de la aceleración y la fuerza. Si multiplicamos aún más el componente temporal por la velocidad de la luz c y definimos la velocidad de las coordenadas como v = d x /d t , también obtenemos una expresión para la tasa de cambio de energía:

${\displaystyle {\frac {dE}{dt}}={\vec {v}}\cdot {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}}$(temporal) y (espacial). ${\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=\sum {\vec {f_{o}}}+\sum {\vec {f_{g}}}=m({\vec {a_{o}}}+{\vec {a_{g}}})}$

Aquí a _o es una aceleración debida a fuerzas propias y a _g es, por defecto, una aceleración geométrica que vemos aplicada al objeto debido a nuestra elección del sistema de coordenadas. A bajas velocidades estas aceleraciones se combinan para generar una aceleración coordinada como a = d ² x /d t ² , mientras que para un movimiento unidireccional a cualquier velocidad la magnitud de a _o es la de la aceleración adecuada α como en la sección anterior donde α  = γ ³ a cuando a _g es cero. En general, expresar estas aceleraciones y fuerzas puede resultar complicado.

No obstante, si utilizamos este desglose para describir el término del coeficiente de conexión (Γ) anterior en términos de fuerzas geométricas, entonces el movimiento de los objetos desde el punto de vista de cualquier sistema de coordenadas (al menos a bajas velocidades) puede verse como localmente newtoniano. . Esto ya es una práctica común, por ejemplo con la fuerza centrífuga y la gravedad. Así, el principio de equivalencia extiende la utilidad local de las leyes de Newton a los sistemas de coordenadas acelerados y más allá.

Habitantes de la superficie de un planeta

Para observadores de baja velocidad que se mantienen a un radio fijo desde el centro de un planeta o estrella esférico, la aceleración coordinada de una _capa está aproximadamente relacionada con la aceleración adecuada a _o por:

$${\displaystyle {\vec {a}}_{\text{shell}}={\vec {a}}_{\text{o}}-{\sqrt {\frac {r}{r-r_{s}}}}{\frac {GM}{r^{2}}}{\hat {r}}}$$

donde el radio de Schwarzschildr _s = 2 GM / c ²a _o

Por otro lado, para r ≫ r _s , se necesita una fuerza propia hacia arriba de sólo GMm / r ² para evitar que se acelere hacia abajo. En la superficie de la Tierra esto se convierte en:

$${\displaystyle {\vec {a}}_{\text{shell}}={\vec {a}}_{o}-g{\hat {r}}}$$

g² ${\displaystyle {\hat {r}}}$

Derivaciones de cuatro vectores

Las ecuaciones de espacio-tiempo de esta sección permiten abordar todas las desviaciones entre la aceleración adecuada y la coordinada en un solo cálculo. Por ejemplo, calculemos los símbolos de Christoffel : ^[11]

$${\displaystyle \left({\begin{array}{llll}\left\{\Gamma _{tt}^{t},\Gamma _{tr}^{t},\Gamma _{t\theta }^{t},\Gamma _{t\phi }^{t}\right\}&\left\{\Gamma _{rt}^{t},\Gamma _{rr}^{t},\Gamma _{r\theta }^{t},\Gamma _{r\phi }^{t}\right\}&\left\{\Gamma _{\theta t}^{t},\Gamma _{\theta r}^{t},\Gamma _{\theta \theta }^{t},\Gamma _{\theta \phi }^{t}\right\}&\left\{\Gamma _{\phi t}^{t},\Gamma _{\phi r}^{t},\Gamma _{\phi \theta }^{t},\Gamma _{\phi \phi }^{t}\right\}\\\left\{\Gamma _{tt}^{r},\Gamma _{tr}^{r},\Gamma _{t\theta }^{r},\Gamma _{t\phi }^{r}\right\}&\left\{\Gamma _{rt}^{r},\Gamma _{rr}^{r},\Gamma _{r\theta }^{r},\Gamma _{r\phi }^{r}\right\}&\left\{\Gamma _{\theta t}^{r},\Gamma _{\theta r}^{r},\Gamma _{\theta \theta }^{r},\Gamma _{\theta \phi }^{r}\right\}&\left\{\Gamma _{\phi t}^{r},\Gamma _{\phi r}^{r},\Gamma _{\phi \theta }^{r},\Gamma _{\phi \phi }^{r}\right\}\\\left\{\Gamma _{tt}^{\theta },\Gamma _{tr}^{\theta },\Gamma _{t\theta }^{\theta },\Gamma _{t\phi }^{\theta }\right\}&\left\{\Gamma _{rt}^{\theta },\Gamma _{rr}^{\theta },\Gamma _{r\theta }^{\theta },\Gamma _{r\phi }^{\theta }\right\}&\left\{\Gamma _{\theta t}^{\theta },\Gamma _{\theta r}^{\theta },\Gamma _{\theta \theta }^{\theta },\Gamma _{\theta \phi }^{\theta }\right\}&\left\{\Gamma _{\phi t}^{\theta },\Gamma _{\phi r}^{\theta },\Gamma _{\phi \theta }^{\theta },\Gamma _{\phi \phi }^{\theta }\right\}\\\left\{\Gamma _{tt}^{\phi },\Gamma _{tr}^{\phi },\Gamma _{t\theta }^{\phi },\Gamma _{t\phi }^{\phi }\right\}&\left\{\Gamma _{rt}^{\phi },\Gamma _{rr}^{\phi },\Gamma _{r\theta }^{\phi },\Gamma _{r\phi }^{\phi }\right\}&\left\{\Gamma _{\theta t}^{\phi },\Gamma _{\theta r}^{\phi },\Gamma _{\theta \theta }^{\phi },\Gamma _{\theta \phi }^{\phi }\right\}&\left\{\Gamma _{\phi t}^{\phi },\Gamma _{\phi r}^{\phi },\Gamma _{\phi \theta }^{\phi },\Gamma _{\phi \phi }^{\phi }\right\}\end{array}}\right)}$$

para la métrica de Schwarzschild( c d τ ) ² = (1− r _s / r )( c d t ) ² − (1/(1− r _s / r ))d r ² − r ² d θ ² − ( r sin θ ) ² d φ ²r _sradio de SchwarzschildGMc ²

$${\displaystyle \left({\begin{array}{llll}\left\{0,{\frac {r_{s}}{2r(r-r_{s})}},0,0\right\}&\left\{{\frac {r_{s}}{2r(r-r_{s})}},0,0,0\right\}&\{0,0,0,0\}&\{0,0,0,0\}\\\left\{{\frac {r_{s}c^{2}(r-r_{s})}{2r^{3}}},0,0,0\right\}&\left\{0,{\frac {r_{s}}{2r(r_{s}-r)}},0,0\right\}&\{0,0,r_{s}-r,0\}&\left\{0,0,0,(r_{s}-r)\sin ^{2}\theta \right\}\\\{0,0,0,0\}&\left\{0,0,{\frac {1}{r}},0\right\}&\left\{0,{\frac {1}{r}},0,0\right\}&\{0,0,0,-\cos \theta \sin \theta \}\\\{0,0,0,0\}&\left\{0,0,0,{\frac {1}{r}}\right\}&\{0,0,0,\cot(\theta )\}&\left\{0,{\frac {1}{r}},\cot \theta ,0\right\}\end{array}}\right).}$$

A partir de esto, puede obtener la aceleración adecuada del marco del armazón estableciendo la aceleración coordinada en cero y, por lo tanto, requiriendo que la aceleración adecuada cancele la aceleración geométrica de un objeto estacionario, es decir . Esto no resuelve el problema todavía, ya que las coordenadas de Schwarzschild en el espacio-tiempo curvo son coordenadas contables ^[4] pero no las de un observador local. Sin embargo, la magnitud del 4-vector de aceleración propia anterior, es decir , es precisamente lo que queremos, es decir, la aceleración propia invariante del marco ascendente necesaria para contrarrestar la aceleración geométrica descendente que sienten los habitantes de la superficie de un planeta. ${\displaystyle A^{\lambda }=\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }=\{0,GM/r^{2},0,0\}}$ ${\textstyle \alpha ={\sqrt {1/(1-r_{s}/r)}}GM/r^{2}}$

Un caso especial del conjunto de símbolos de Christoffel anterior es el conjunto de coordenadas esféricas de espacio plano obtenido estableciendo r _s o M arriba en cero:

$${\displaystyle \left({\begin{array}{llll}\left\{0,0,0,0\right\}&\left\{0,0,0,0\right\}&\{0,0,0,0\}&\{0,0,0,0\}\\\left\{0,0,0,0\right\}&\left\{0,0,0,0\right\}&\{0,0,-r,0\}&\left\{0,0,0,-r\sin ^{2}\theta \right\}\\\{0,0,0,0\}&\left\{0,0,{\frac {1}{r}},0\right\}&\left\{0,{\frac {1}{r}},0,0\right\}&\{0,0,0,-\cos \theta \sin \theta \}\\\{0,0,0,0\}&\left\{0,0,0,{\frac {1}{r}}\right\}&\{0,0,0,\cot \theta \}&\left\{0,{\frac {1}{r}},\cot \theta ,0\right\}\end{array}}\right).}$$

De esto podemos obtener, por ejemplo, la aceleración propia del pétalo centrífugo necesaria para cancelar la aceleración geométrica centrífuga de un objeto que se mueve a velocidad angular constante ω = d φ /d τ en el ecuador donde θ = π /2 . Formar la misma suma de 4 vectores que arriba para el caso de d θ /d τ y d r /d τ cero no produce nada más que la aceleración clásica para el movimiento de rotación dada anteriormente, es decir, de modo que a _o = ω ² r . Los efectos de Coriolis también residen en estos coeficientes de conexión y, de manera similar, surgen únicamente de la geometría del marco de coordenadas. ${\displaystyle A^{\lambda }=\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }=\{0,-r(d\phi /d\tau )^{2},0,0\}}$

Ver también

• Aceleración : cambio de velocidad.
• Velocidad adecuada : impulso por masa en relatividad especial; compuesto por los componentes espaciales de las 4 velocidades
• Marco de referencia propio (espacio-tiempo plano) : marco de referencia acelerado en relatividad especial (espacio de Minkowski)
• Fuerza ficticia : un nombre para masa multiplicada por aceleración geométrica
• Cuatro vectores : hacer explícita la conexión entre el espacio y el tiempo
• Cinemática : para estudiar formas en que la posición cambia con el tiempo.
• Aceleración uniforme : manteniendo fija la aceleración coordinada

Notas a pie de página

1. Edwin F. Taylor y John Archibald Wheeler (1966, 1.ª ed. únicamente) Física del espacio-tiempo (WH Freeman, San Francisco) ISBN  0-7167-0336-X , Capítulo 1 Ejercicio 51 páginas 97–98: "Paradoja del reloj III" (pdf Archivado el 21 de julio de 2017 en Wayback Machine ).
2. Relatividad por Wolfgang Rindler pág. 71
3. Francis W. Sears y Robert W. Brehme (1968) Introducción a la teoría de la relatividad (Addison-Wesley, NY) LCCN 680019344, sección 7-3
4. Edwin F. Taylor y John Archibald Wheeler (2000) Explorando los agujeros negros (Addison Wesley Longman, Nueva York) ISBN 0-201-38423-X 
5. cf. CW Misner, KS Thorne y JA Wheeler (1973) Gravitación (WH Freeman, NY) ISBN 978-0-7167-0344-0 , sección 1.6 
6. P. Fraundorf (1996) "Un enfoque de un mapa y dos relojes para enseñar la relatividad en la introducción a la física" ( arXiv :physics/9611011)
7. A. John Mallinckrodt (1999) ¿Qué sucede cuando a*t>c? Archivado el 30 de junio de 2012 en archive.today (Reunión de verano de AAPT, San Antonio TX)
8. E. Eriksen y Ø. Grøn (1990) Dinámica relativista en sistemas de referencia uniformemente acelerados con aplicación a la paradoja del reloj, Eur. J. Física. 39 : 39–44
9. C. Lagoute y E. Davoust (1995) El viajero interestelar, Am. J. Física. 63 : 221–227
10. cf. RJ Cook (2004) Tiempo físico y espacio físico en la relatividad general, Am. J. Física. 72 : 214–219
11. Hartle, James B. (2003). Gravedad: una introducción a la relatividad general de Einstein. San Francisco: Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8662-9 . 

enlaces externos

• Extractos de la primera edición de Spacetime Physics y otros recursos publicados por Edwin F. Taylor
• Página del libro sobre gravedad de James Hartle que incluye programas de Mathematica para calcular símbolos de Christoffel.
• Notas y programas de Andrew Hamilton para trabajar con tétradas locales en la U. Colorado, Boulder.