Antiprisma

Poliedro con bases paralelas unidas por triángulos

Antiprisma octogonal

En geometría , un antiprisma n -gonal o n -antiprisma es un poliedro compuesto por dos copias directas paralelas (no imágenes especulares) de un polígono de n lados , conectadas por una banda alternada de 2 n triángulos . Se representan mediante la notación de Conway A n .

Los antiprismas son una subclase de prismatoides y son un tipo (degenerado) de poliedro romo .

Los antiprismas son similares a los prismas , excepto que las bases están torcidas entre sí y que las caras laterales (que conectan las bases) son 2n triángulos , en lugar de n cuadriláteros .

El poliedro dual de un antiprisma n -gonal es un trapezoedro n -gonal .

Historia

En su libro de 1619 Harmonices Mundi , Johannes Kepler observó la existencia de la familia infinita de antiprismas. ^[1] Se ha considerado convencionalmente que este fue el primer descubrimiento de estas formas, pero es posible que se conocieran antes: un bloque de impresión sin firmar para la red de un antiprisma hexagonal se ha atribuido a Hieronymus Andreae , quien murió en 1556. ^[2]

La forma alemana de la palabra "antiprisma" se utilizó para estas formas en el siglo XIX; Karl Heinze atribuye su introducción a Theodor Wittstein  [de] . ^[3] Aunque el término inglés "anti-prism" se había utilizado anteriormente para un prisma óptico utilizado para cancelar los efectos de un elemento óptimo primario, ^[4] el primer uso de "antiprism" en inglés en su sentido geométrico parece ser a principios del siglo XX en las obras de HSM Coxeter . ^[5]

Casos especiales

Antiprisma derecho

Para un antiprisma con bases n- gonos regulares , generalmente se considera el caso en el que estas dos copias están torcidas en un ángulo de ⁠180/norte⁠ grados.

El eje de un polígono regular es la línea perpendicular al plano del polígono y que se encuentra en el centro del polígono.

Para un antiprisma con bases n- gonos regulares congruentes , torcido en un ángulo de ⁠ 180/norte⁠ grados, se obtiene más regularidad si las bases tienen el mismo eje: son coaxiales ; es decir (para bases no coplanares ): si la línea que une los centros de las bases es perpendicular a los planos de las bases. Entonces el antiprisma se llama antiprisma recto , y sus 2 n caras laterales son triángulos isósceles .

Antiprisma uniforme

Un n -antiprisma uniforme tiene dos n -gonos regulares congruentes como caras de base y 2 n triángulos equiláteros como caras laterales.

Los antiprismas uniformes forman una clase infinita de poliedros transitivos por vértices, al igual que los prismas uniformes. Para n = 2 , tenemos el antiprisma digonal (antiprisma degenerado), que es visualmente idéntico al tetraedro regular ; para n = 3 , el octaedro regular como un antiprisma triangular (antiprisma no degenerado).

Los diagramas de Schlegel de estos antiprismas semirregulares son los siguientes:

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas para los vértices de un n- antiprisma rectángulo (es decir, con bases n -gonos regulares y 2 n caras laterales de triángulos isósceles, circunradio de las bases igual a 1) son:

${\displaystyle \left(\cos {\frac {k\pi }{n}},\sin {\frac {k\pi }{n}},(-1)^{k}h\right)}$

donde 0 ≤ k ≤ 2 n – 1 ;

Si el n -antiprisma es uniforme (es decir, si los triángulos son equiláteros), entonces: $${\displaystyle 2h^{2}=\cos {\frac {\pi }{n}}-\cos {\frac {2\pi }{n}}.}$$

Volumen y área de superficie

Sea a la longitud del borde de un antiprisma n -gonal uniforme ; entonces el volumen es: $${\displaystyle V={\frac {n{\sqrt {4\cos ^{2}{\frac {\pi }{2n}}-1}}\sin {\frac {3\pi }{2n}}}{12\sin ^{2}{\frac {\pi }{n}}}}~a^{3},}$$

y el área de la superficie es: $${\displaystyle A={\frac {n}{2}}\left(\cot {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}.}$$

Además, el volumen de un antiprisma recto n-gonal regular con longitud de lado de sus bases l y altura h viene dado por: $${\displaystyle V={\frac {nhl^{2}}{12}}\left(\csc {\frac {\pi }{n}}+2\cot {\frac {\pi }{n}}\right).}$$

Derivación

El radio circunscrito del círculo circunscrito horizontal del -gono regular en la base es ${\displaystyle n}$

${\displaystyle R(0)={\frac {l}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}.}$

Los vértices en la base están en

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}R(0)\cos {\frac {2\pi m}{n}}\\R(0)\sin {\frac {2\pi m}{n}}\\0\end{array}}\right),\quad m=0..n-1;}$

Los vértices en la parte superior están en

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}R(0)\cos {\frac {2\pi (m+1/2)}{n}}\\R(0)\sin {\frac {2\pi (m+1/2)}{n}}\\h\end{array}}\right),\quad m=0..n-1.}$

Mediante interpolación lineal, los puntos en los bordes triangulares externos del antiprisma que conectan los vértices en la parte inferior con los vértices en la parte superior están en

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}{\frac {R(0)}{h}}[(h-z)\cos {\frac {2\pi m}{n}}+z\cos {\frac {\pi (2m+1)}{n}}]\\{\frac {R(0)}{h}}[(h-z)\sin {\frac {2\pi m}{n}}+z\sin {\frac {\pi (2m+1)}{n}}]\\\\z\end{array}}\right),\quad 0\leq z\leq h,m=0..n-1}$

y en

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}{\frac {R(0)}{h}}[(h-z)\cos {\frac {2\pi (m+1)}{n}}+z\cos {\frac {\pi (2m+1)}{n}}]\\{\frac {R(0)}{h}}[(h-z)\sin {\frac {2\pi (m+1)}{n}}+z\sin {\frac {\pi (2m+1)}{n}}]\\\\z\end{array}}\right),\quad 0\leq z\leq h,m=0..n-1.}$

Construyendo las sumas de los cuadrados de las coordenadas y en uno de los dos vectores anteriores, el radio circunscrito al cuadrado de esta sección en altitud es ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle R(z)^{2}={\frac {R(0)^{2}}{h^{2}}}[h^{2}-2hz+2z^{2}+2z(h-z)\cos {\frac {\pi }{n}}].}$

La sección horizontal en altura sobre la base es un -gono ( -gono truncado) con lados de longitud alternados con lados de longitud . (Estos se derivan de la longitud de la diferencia de los dos vectores anteriores). Puede diseccionarse en triángulos isósceles de aristas y (semiperímetro ) más triángulos isósceles de aristas y (semiperímetro ). Según la fórmula de Heron, las áreas de estos triángulos son ${\displaystyle 0\leq z\leq h}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle l_{1}(z)=l(1-z/h)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle l_{2}(z)=lz/h}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R(z),R(z)}$ ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle R(z)+l_{1}(z)/2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R(z),R(z)}$ ${\displaystyle l_{2}(z)}$ ${\displaystyle R(z)+l_{2}(z)/2}$

${\displaystyle Q_{1}(z)={\frac {R(0)^{2}}{h^{2}}}(h-z)\left[(h-z)\cos {\frac {\pi }{n}}+z\right]\sin {\frac {\pi }{n}}}$

y

${\displaystyle Q_{2}(z)={\frac {R(0)^{2}}{h^{2}}}z\left[z\cos {\frac {\pi }{n}}+h-z\right]\sin {\frac {\pi }{n}}.}$

El área de la sección es y el volumen es ${\displaystyle n[Q_{1}(z)+Q_{2}(z)]}$

${\displaystyle V=n\int _{0}^{h}[Q_{1}(z)+Q_{2}(z)]dz={\frac {nh}{3}}R(0)^{2}\sin {\frac {\pi }{n}}(1+2\cos {\frac {\pi }{n}})={\frac {nh}{12}}l^{2}{\frac {1+2\cos {\frac {\pi }{n}}}{\sin {\frac {\pi }{n}}}}.}$

Nótese que el volumen de un prisma n -gonal recto con los mismos l y h es: que es menor que el de un antiprisma. $${\displaystyle V_{\mathrm {prism} }={\frac {nhl^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}}$$

Simetría

El grupo de simetría de un n -antiprisma recto (es decir, con bases regulares y caras laterales isósceles) es D _{n d} = D _{n v} de orden 4 n , excepto en los casos de:

• n = 2 : el tetraedro regular , que tiene el grupo de simetría más grande T _d de orden 24 = 3 × (4 × 2) , que tiene tres versiones de D _2d como subgrupos;

• n = 3 : el octaedro regular , que tiene el grupo de simetría más grande O _h de orden 48 = 4 × (4 × 3) , que tiene cuatro versiones de D _3d como subgrupos.

El grupo de simetría contiene inversión si y sólo si n es impar.

El grupo de rotación es D _n de orden 2 n , excepto en los casos de:

• n = 2 : el tetraedro regular, que tiene el grupo de rotación más grande T de orden 12 = 3 × (2 × 2) , que tiene tres versiones de D ₂ como subgrupos;

• n = 3 : el octaedro regular, que tiene el grupo de rotación más grande O de orden 24 = 4 × (2 × 3) , que tiene cuatro versiones de D ₃ como subgrupos.

Nota: Los n -antiprismas rectos tienen bases de n -gonos regulares congruentes y caras laterales de triángulos isósceles congruentes, por lo tanto tienen el mismo grupo de simetría (diédrico) que el n -antiprisma uniforme, para n ≥ 4 .

Generalizaciones

En dimensiones superiores

Los antiprismas de cuatro dimensiones pueden definirse como aquellos que tienen dos poliedros duales como caras opuestas paralelas, de modo que cada cara tridimensional entre ellos proviene de dos partes duales de los poliedros: un vértice y un polígono dual, o dos aristas duales. Todo poliedro convexo tridimensional es combinatoriamente equivalente a una de las dos caras opuestas de un antiprisma de cuatro dimensiones, construido a partir de su poliedro canónico y su dual polar. ^[6] Sin embargo, existen policoros de cuatro dimensiones que no pueden combinarse con sus duales para formar antiprismas de cinco dimensiones. ^[7]

Poliedros autocruzados

Aquí se muestran todos los antiprismas no estelares y estelares de hasta 15 lados, junto con los de un 29-ágono.

Los antiprismas estelares uniformes se nombran por sus bases de polígono estelar , { p / q }, y existen en soluciones progradas y retrógradas (cruzadas). Las formas cruzadas tienen figuras de vértices que se intersecan y se denotan por fracciones "invertidas": p / ( p – q ) en lugar de p / q ; ejemplo: 5/3 en lugar de 5/2.

Un antiprisma estelar recto tiene dos caras base congruentes coaxiales de polígono convexo regular o estrellado y 2 caras laterales de triángulos isósceles n .

Cualquier antiprisma estelar con bases convexas regulares o polígonos estelares se puede transformar en un antiprisma estelar recto (trasladando y/o girando una de sus bases, si es necesario).

En las formas retrógradas, pero no en las progradas, los triángulos que unen las bases convexas o estelares intersecan el eje de simetría rotacional. Por lo tanto:

• Los antiprismas estelares retrógrados con bases de polígonos convexos regulares no pueden tener todas las aristas con la misma longitud, y por lo tanto no pueden ser uniformes. "Excepción": un antiprisma estelar retrógrado con bases de triángulos equiláteros (configuración de vértices: 3.3/2.3.3) puede ser uniforme; pero entonces, tiene la apariencia de un triángulo equilátero: es un poliedro estelar degenerado.

• De manera similar, algunos antiprismas estelares retrógrados con bases de polígonos estelares regulares no pueden tener todas las aristas con la misma longitud y, por lo tanto, no pueden ser uniformes. Ejemplo: un antiprisma estelar retrógrado con bases de polígonos estelares regulares (configuración de vértices: 3.3.3.7/5) no puede ser uniforme.

Además, se pueden construir compuestos de antiprismas en estrella con bases p / q -gon en estrella regulares si p y q tienen factores comunes. Ejemplo: un antiprisma en estrella 10/4 es el compuesto de dos antiprismas en estrella 5/2.

Véase también

• Gran antiprisma , un politopo de cuatro dimensiones
• Polígono oblicuo , un polígono tridimensional cuya envoltura convexa es un antiprisma.

Referencias

1. Kepler, Johannes (1619). "Libro II, Definición X". Harmonices Mundi (en latín). pág. 49.Véase también la ilustración A, de un antiprisma heptagonal.
2. Schreiber, Peter; Fischer, Gisela ; Sternath, Maria Luise (julio de 2008). «Nueva luz sobre el redescubrimiento de los sólidos de Arquímedes durante el Renacimiento». Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 62 (4): 457–467. JSTOR  41134285.
3. Heinze, Karl (1886). Lucke, Franz (ed.). Genetische Stereometrie (en alemán). BG Teubner. pag. 14.
4. Smyth, Piazzi (1881). «XVII. Sobre la constitución de las líneas que forman el espectro de baja temperatura del oxígeno». Transacciones de la Royal Society de Edimburgo . 30 (1): 419–425. doi :10.1017/s0080456800029112.
5. Coxeter, HSM (enero de 1928). "Los politopos arquimedianos puros en seis y siete dimensiones". Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 24 (1): 1–9. doi :10.1017/s0305004100011786.
6. Grünbaum, Branko (2005). "¿Son los prismas y antiprismas realmente aburridos? (Parte 3)" (PDF) . Geombinatorics . 15 (2): 69–78. MR  2298896.
7. Dobbins, Michael Gene (2017). "Sin antiprismas, o: reduciendo la equivalencia combinatoria a la equivalencia proyectiva en problemas de realizabilidad para politopos". Geometría discreta y computacional . 57 (4): 966–984. doi :10.1007/s00454-017-9874-y. MR  3639611.

Lectura adicional

• Anthony Pugh (1976). Poliedros: un enfoque visual . California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.Capítulo 2: Poliedros, prismas y antiprismas arquimedianos

Enlaces externos

• Medios relacionados con Antiprismas en Wikimedia Commons
• Weisstein, Eric W. "Antiprisma". MathWorld .
• Prismas y antiprismas no convexos
• Modelos de papel de prismas y antiprismas.