Ecuaciones de Yang-Mills-Higgs

Yang-Mills acoplado a un campo de Higgs

En matemáticas, las ecuaciones de Yang-Mills-Higgs son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales no lineales para un campo de Yang-Mills , dado por una conexión, y un campo de Higgs , dado por una sección de un fibrado vectorial (específicamente, el fibrado adjunto ). Estas ecuaciones son

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{A}*F_{A}+*[\Phi ,D_{A}\Phi ]&=0,\\D_{A}*D_{A}\Phi &=0\end{aligned}}}$

con una condición de contorno

${\displaystyle \lim _{|x|\rightarrow \infty }|\Phi |(x)=1}$

dónde

A es una conexión en un fibrado vectorial,

D _A es la derivada covariante exterior,

F _A es la curvatura de esa conexión,

Φ es una sección de ese fibrado vectorial,

∗ es la estrella de Hodge, y

[·,·] es el corchete natural y graduado.

Estas ecuaciones reciben su nombre de Chen Ning Yang , Robert Mills y Peter Higgs . Están estrechamente relacionadas con las ecuaciones de Ginzburg-Landau , cuando se expresan en un contexto geométrico general.

MV Goganov y LV Kapitanskii han demostrado que el problema de Cauchy para ecuaciones de Yang–Mills–Higgs hiperbólicas en un calibre hamiltoniano en un espacio de Minkowski de cuatro dimensiones tiene una solución global única sin restricciones en el infinito espacial. Además, la solución tiene la propiedad de velocidad de propagación finita.

Lagrangiano

Las ecuaciones surgen como ecuaciones de movimiento de la densidad lagrangiana.

Densidad lagrangiana de Yang-Mills-Higgs

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}\left\langle F_{\mu \nu },F^{\mu \nu }\right\rangle +{\frac {1}{2}}\left\langle D_{\mu }\phi ,D^{\mu }\phi \right\rangle -V(\phi )}$

donde es una forma bilineal simétrica invariante en el fibrado adjunto. Esto a veces se escribe como debido al hecho de que dicha forma puede surgir de la traza en bajo alguna representación; en particular, aquí nos ocupamos de la representación adjunta , y la traza en esta representación es la forma Killing . ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle {\text{tr}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Para la forma particular de las ecuaciones de Yang-Mills-Higgs dadas anteriormente, el potencial se desvanece. Otra opción común es , que corresponde a un campo de Higgs masivo. ${\displaystyle V(\phi )}$ ${\displaystyle V(\phi )={\frac {1}{2}}m^{2}\langle \phi ,\phi \rangle }$

Esta teoría es un caso particular de cromodinámica escalar donde el campo de Higgs se valora en la representación adjunta en oposición a una representación general. ${\displaystyle \phi }$

Véase también

• Ecuaciones de Yang-Mills
• Cromodinámica escalar

Referencias

• MV Goganov y LV Kapitansii, "Solubilidad global del problema inicial para ecuaciones de Yang-Mills-Higgs", Zapiski LOMI 147,18–48, (1985); J. Sov. Math, 37, 802–822 (1987).