Wronskiano

Determinante de la matriz de primeras derivadas de un conjunto de funciones.

En matemáticas , el wrońskiano de n funciones diferenciables es el determinante formado con las funciones y sus n – 1 primeras derivadas. Fue introducido en 1812 por el matemático polaco Józef Hoene-Wroński , y se utiliza en el estudio de ecuaciones diferenciales , donde en ocasiones puede mostrar la independencia lineal de un conjunto de soluciones.

Definición

El Wrońskiano de dos funciones diferenciables f  y g es . ${\displaystyle W(f,g)=fg'-gf'}$

De manera más general, para n funciones de valores reales o complejos f ₁ , …, f _n , que son n – 1 veces diferenciables en un intervalo I , el Wrońskiano es una función definida por ${\displaystyle W(f_{1},\ldots ,f_{n})}$ ${\displaystyle x\in I}$

$${\displaystyle W(f_{1},\ldots ,f_{n})(x)=\det {\begin{bmatrix}f_{1}(x)&f_{2}(x)&\cdots &f_{n}(x)\\f_{1}'(x)&f_{2}'(x)&\cdots &f_{n}'(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}(x)&f_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &f_{n}^{(n-1)}(x)\end{bmatrix}}.}$$

Este es el determinante de la matriz construida colocando las funciones en la primera fila, las primeras derivadas de las funciones en la segunda fila, y así sucesivamente hasta la derivada, formando así una matriz cuadrada . ${\displaystyle (n-1)^{\text{th}}}$

Cuando las funciones fi _son soluciones de una ecuación diferencial lineal , el Wrońskiano se puede encontrar explícitamente usando la identidad de Abel , incluso si las funciones fi _no se conocen explícitamente. (Vea abajo.)

La independencia wrońskiana y lineal

Si las funciones f _i son linealmente dependientes, también lo son las columnas del Wrońskian (ya que la diferenciación es una operación lineal), y el Wrońskian desaparece. Por lo tanto, se puede demostrar que un conjunto de funciones diferenciables es linealmente independiente en un intervalo demostrando que su Wrońskian no desaparece de manera idéntica. Sin embargo, puede desaparecer en puntos aislados. ^[1]

Un error común es pensar que W = 0 en todas partes implica una dependencia lineal. Peano (1889) señaló que las funciones x ² y | x | · x  tienen derivadas continuas y su Wrońskian desaparece en todas partes, pero no son linealmente dependientes en ninguna vecindad de 0 . ^[a] Hay varias condiciones adicionales que se combinan con la desaparición del Wrońskiano en un intervalo para implicar una dependencia lineal.

• Maxime Bôcher observó que si las funciones son analíticas , entonces la desaparición del wrońskiano en un intervalo implica que son linealmente dependientes. ^[3]
• Bôcher (1901) dio varias otras condiciones para que la desaparición del wrońskian implicara una dependencia lineal; por ejemplo, si el Wrońskiano de n funciones es idénticamente cero y los n Wrońskianos de n – 1 de ellos no desaparecen todos en ningún punto, entonces las funciones son linealmente dependientes.
• Wolsson (1989a) dio una condición más general que, junto con la desaparición del wrońskiano, implica una dependencia lineal.

Sobre campos de característica positiva p, el wrońskiano puede desaparecer incluso para polinomios linealmente independientes; por ejemplo, el wrońskiano de x ^p y 1 es idénticamente 0.

Aplicación a ecuaciones diferenciales lineales.

En general, para una ecuación diferencial lineal de orden ésimo, si se conocen las soluciones, la última se puede determinar utilizando el método de Wroński. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-1)}$

Considere la ecuación diferencial de segundo orden en notación de Lagrange :

$${\displaystyle y''=a(x)y'+b(x)y}$$

${\displaystyle a(x)}$ ${\displaystyle b(x)}$ ${\displaystyle y_{1},y_{2}}$

$${\displaystyle W(x)=y_{1}y'_{2}-y_{2}y'_{1}}$$

Luego, diferenciar y utilizar el hecho de que obedece a la ecuación diferencial anterior muestra que ${\displaystyle W(x)}$ ${\displaystyle y_{i}}$

$${\displaystyle W'(x)=aW(x)}$$

Por lo tanto, el Wrońskian obedece a una ecuación diferencial simple de primer orden y se puede resolver exactamente:

$${\displaystyle W(x)=C~e^{A(x)}}$$

${\displaystyle A'(x)=a(x)}$ ${\displaystyle C}$

Ahora supongamos que conocemos una de las soluciones, digamos . Entonces, según la definición de Wrońskian, obedece a una ecuación diferencial de primer orden: ${\displaystyle y_{2}}$ ${\displaystyle y_{1}}$

$${\displaystyle y'_{1}-{\frac {y'_{2}}{y_{2}}}y_{1}=-W(x)/y_{2}}$$

El método se generaliza fácilmente a ecuaciones de orden superior.

Wrońskianos generalizados

Para n funciones de varias variables, un Wrońskiano generalizado es un determinante de una matriz n por n con entradas D _i ( f _j ) (con 0 ≤ i < n ), donde cada _Di es algún operador diferencial parcial lineal de coeficiente constante de orden i . Si las funciones son linealmente dependientes, entonces todos los Wronskianos generalizados desaparecen. Como en el caso de una sola variable, lo contrario no es cierto en general: si todos los Wronskianos generalizados desaparecen, esto no implica que las funciones sean linealmente dependientes. Sin embargo, en muchos casos especiales ocurre lo contrario. Por ejemplo, si las funciones son polinomios y todos los Wronskianos generalizados desaparecen, entonces las funciones son linealmente dependientes. Roth utilizó este resultado sobre los wronskianos generalizados en su demostración del teorema de Roth . Para condiciones más generales bajo las cuales lo contrario es válido, ver Wolsson (1989b).

Historia

El wrońskiano fue introducido por Józef Hoene-Wroński  (1812) y Thomas Muir  (1882, capítulo XVIII) le dio su nombre actual.

Ver también

• Variación de parámetros
• Matriz de Moore , análoga a la de Wroński con diferenciación reemplazada por el endomorfismo de Frobenius sobre un campo finito.
• Matriz alternativa
• matriz de vandermonde

Notas

1. Peano publicó su ejemplo dos veces, porque la primera vez que lo publicó, un editor, Paul Mansion , que había escrito un libro de texto afirmando incorrectamente que la desaparición del wrońskiano implica una dependencia lineal, agregó una nota a pie de página al artículo de Peano afirmando que este resultado es correcto. siempre que ninguna función sea idénticamente cero. El segundo artículo de Peano señaló que esta nota a pie de página era una tontería. ^[2]

Citas

1. Bender, Carl M .; Orszag, Steven A. (1999) [1978], Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros: métodos asintóticos y teoría de la perturbación , Nueva York: Springer, p. 9, ISBN 978-0-387-98931-0
2. Engdahl, Susana; Parker, Adam (abril de 2011). "Peano sobre los wronskianos: una traducción". Convergencia . Asociación Matemática de América. doi : 10.4169/loci003642 . Consultado el 8 de octubre de 2020 .
3. Engdahl, Susana; Parker, Adam (abril de 2011). "Peano sobre los wronskianos: una traducción". Convergencia . Asociación Matemática de América. Sección "Sobre el determinante wronskiano". doi : 10.4169/loci003642 . Consultado el 8 de octubre de 2020 . El teorema más famoso se atribuye a Bocher y establece que si el Wronskiano de funciones analíticas es cero, entonces las funciones son linealmente dependientes ([B2], [BD]). [Las citas 'B2' y 'BD' se refieren a Bôcher (1900-1901) y Bostan y Dumas (2010), respectivamente.] ${\displaystyle n}$

Referencias

• Bôcher, Maxime (1900-1901). "La teoría de la dependencia lineal". Anales de Matemáticas . 2 (1/4). Universidad de Princeton : 81–96. doi : 10.2307/2007186 . hdl : 2027/hvd.hn57mn . ISSN  0003-486X. JSTOR  2007186 .
• Bôcher, Maxime (1901), "Ciertos casos en los que la desaparición del wronskiano es una condición suficiente para la dependencia lineal" (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 2 (2), Providence, RI: American Mathematical Society : 139 –149, doi : 10.2307/1986214 , ISSN  0002-9947, JFM  32.0313.02, JSTOR  1986214
• Bostan, Alin; Dumas, Philippe (2010). "Wronskianos y la independencia lineal". Mensual Matemático Estadounidense . 117 (8). Taylor y Francisco : 722–727. arXiv : 1301.6598 . doi :10.4169/000298910x515785. ISSN  0002-9890. JSTOR  10.4169/000298910x515785. S2CID  9322383.
• Hartman, Philip (1964), Ecuaciones diferenciales ordinarias, Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-89871-510-1, SEÑOR  0171038, Zbl  0125.32102
• Hoene-Wroński, Józef (1812), Réfutation de la théorie des fonctions analytiques de Lagrange , París
• Muir, Thomas (1882), Tratado sobre la teoría de los determinantes., Macmillan, JFM  15.0118.05
• Peano, Giuseppe (1889), "Sur le déterminant wronskien.", Mathesis (en francés), IX : 75–76, 110–112, JFM  21.0153.01
• Rozov, N. Kh. (2001) [1994], "Wronskian", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Wolsson, Kenneth (1989a), "Una condición equivalente a la dependencia lineal para funciones con wronskiano evanescente", Álgebra lineal y sus aplicaciones , 116 : 1–8, doi : 10.1016/0024-3795(89)90393-5 , ISSN  0024- 3795, señor  0989712, Zbl  0671.15005
• Wolsson, Kenneth (1989b), "Dependencia lineal de un conjunto de funciones de m variables con wronskianos generalizados que desaparecen", Álgebra lineal y sus aplicaciones , 117 : 73–80, doi : 10.1016/0024-3795(89)90548-X , ISSN  0024-3795, señor  0993032, Zbl  0724.15004