Formulación Udwadia-Kalaba

En mecánica clásica , la formulación de Udwadia-Kalaba es un método para derivar las ecuaciones de movimiento de un sistema mecánico restringido . ^{[1] [2]} El método fue descrito por primera vez por Anatolii Fedorovich Vereshchagin ^{[3] [4]} para el caso particular de los brazos robóticos , y luego generalizado a todos los sistemas mecánicos por Firdaus E. Udwadia y Robert E. Kalaba en 1992. ^[5] El enfoque se basa en el principio de mínima restricción de Gauss . El método de Udwadia-Kalaba se aplica tanto a restricciones holonómicas como a restricciones no holonómicas , siempre que sean lineales con respecto a las aceleraciones. El método se generaliza a fuerzas de restricción que no obedecen al principio de D'Alembert . ^{[6] [7] [8]}

Fondo

La ecuación de Udwadia-Kalaba se desarrolló en 1992 y describe el movimiento de un sistema mecánico restringido que está sujeto a restricciones de igualdad. ^[5]

Esto difiere del formalismo lagrangiano, que utiliza los multiplicadores de Lagrange para describir el movimiento de sistemas mecánicos restringidos, y otros enfoques similares como el enfoque de Gibbs-Appell . La interpretación física de la ecuación tiene aplicaciones en áreas más allá de la física teórica, como el control de sistemas dinámicos generales altamente no lineales. ^[9]

El problema central del movimiento restringido

En el estudio de la dinámica de sistemas mecánicos, la configuración de un sistema dado S está, en general, completamente descrita por n coordenadas generalizadas de modo que su coordenada generalizada n -vector está dada por

${\displaystyle \mathbf {q} :=[q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}]^{\mathrm {T} }.}$

donde T denota la matriz transpuesta . Utilizando la dinámica newtoniana o lagrangiana , las ecuaciones de movimiento sin restricciones del sistema S en estudio se pueden derivar como una ecuación matricial (ver multiplicación de matrices ):

Ecuaciones de movimiento de Udwadia-Kalaba ( sin restricciones )

${\displaystyle \mathbf {M} (q,t){\ddot {\mathbf {q} }}(t)=\mathbf {Q} (q,{\dot {q}},t)\,,}$

donde los puntos representan derivadas con respecto al tiempo :

${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {dq_{i}}{dt}}\,.}$

Se supone que las condiciones iniciales q (0) y son conocidas. Llamamos al sistema S libre de restricciones porque pueden asignarse arbitrariamente. ${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}(0)}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}(0)}$

El n -vector Q denota la fuerza generalizada total que actúa sobre el sistema por alguna influencia externa; puede expresarse como la suma de todas las fuerzas conservativas así como de las fuerzas no conservativas.

La matriz n por n M es simétrica y puede ser definida positiva o semidefinida positiva . Normalmente, se supone que M es definida positiva; sin embargo, no es raro derivar las ecuaciones de movimiento sin restricciones del sistema S de modo que M sea solo semidefinida positiva; es decir, la matriz de masa puede ser singular (no tiene matriz inversa ). ^{[10] [11]} ${\displaystyle (\mathbf {M} >0)}$ ${\displaystyle (\mathbf {M} \geq 0)}$

Restricciones

Ahora suponemos que el sistema sin restricciones S está sujeto a un conjunto de m restricciones de igualdad consistentes dadas por

${\displaystyle \mathbf {A} (q,{\dot {q}},t){\ddot {\mathbf {q} }}=\mathbf {b} (q,{\dot {q}},t),}$

donde A es una matriz conocida de m por n de rango r y b es un vector conocido de m . Observamos que este conjunto de ecuaciones de restricción abarca una variedad muy general de restricciones de igualdad holonómicas y no holonómicas . Por ejemplo, restricciones holonómicas de la forma

${\displaystyle \varphi (q,t)=0}$

se puede diferenciar dos veces con respecto al tiempo mientras que las restricciones no holonómicas de la forma

${\displaystyle \psi (q,{\dot {q}},t)=0}$

se puede diferenciar una vez con respecto al tiempo para obtener la matriz A de m por n y el vector b de m . En resumen, se pueden especificar restricciones que sean

1. funciones no lineales de desplazamiento y velocidad,
2. explícitamente dependiente del tiempo, y
3. funcionalmente dependiente.

Como consecuencia de someter estas restricciones al sistema no restringido S , se conceptualiza el surgimiento de una fuerza adicional, a saber, la fuerza de restricción. Por lo tanto, el sistema restringido S _c se convierte en

Ecuaciones de movimiento de Udwadia-Kalaba ( con restricciones )

${\displaystyle \mathbf {M} {\ddot {\mathbf {q} }}=\mathbf {Q} +\mathbf {Q} _{c}(q,{\dot {q}},t),}$

donde Q _c —la fuerza de restricción— es la fuerza adicional necesaria para satisfacer las restricciones impuestas. El problema central del movimiento restringido se enuncia ahora de la siguiente manera:

1. dadas las ecuaciones de movimiento sin restricciones del sistema S ,
2. dado el desplazamiento generalizado q ( t ) y la velocidad generalizada del sistema restringido S _c en el tiempo t , y ${\displaystyle {\dot {q}}(t)}$
3. Dadas las restricciones en el formulario como se indicó anteriormente, ${\displaystyle \mathbf {A} {\ddot {q}}=\mathbf {b} }$

Encuentra las ecuaciones de movimiento para el sistema restringido (la aceleración) en el tiempo t , lo cual está de acuerdo con los principios acordados de la dinámica analítica.

Notación

A continuación, para una definida positiva ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} ^{-1/2}}$ denota la inversa de su raíz cuadrada , definida como

${\displaystyle \mathbf {M} ^{-1/2}=\mathbf {W} \mathbf {\Lambda } ^{-1/2}\mathbf {W} ^{T}}$,

donde ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {W} }$ es la matriz ortogonal que surge de la descomposición propia (cuyas filas consisten en vectores propios adecuadamente seleccionados de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ), y ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{-1/2}}$ es la matriz diagonal cuyos elementos diagonales son las raíces cuadradas inversas de los valores propios correspondientes a los vectores propios en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {W} }$ . ^[1]

Ecuación de movimiento

La solución de este problema central viene dada por la ecuación de Udwadia-Kalaba. Cuando la matriz M es definida positiva, la ecuación de movimiento del sistema restringido S _c , en cada instante de tiempo, es ^{[5] [12]}

${\displaystyle \mathbf {M} {\ddot {\mathbf {q} }}=\mathbf {Q} +\mathbf {M} ^{1/2}\left(\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1/2}\right)^{+}(\mathbf {b} -\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1}\mathbf {Q} ),}$

donde el símbolo '+' denota la pseudoinversa de la matriz . La fuerza de restricción se da explícitamente como ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1/2}}$

${\displaystyle \mathbf {Q} _{c}=\mathbf {M} ^{1/2}\left(\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1/2}\right)^{+}(\mathbf {b} -\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1}\mathbf {Q} ),}$

y como la matriz M es definida positiva, la aceleración generalizada del sistema restringido S _c está determinada explícitamente por

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {q} }}=\mathbf {M} ^{-1}\mathbf {Q} +\mathbf {M} ^{-1/2}\left(\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1/2}\right)^{+}(\mathbf {b} -\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1}\mathbf {Q} ).}$

En el caso de que la matriz M sea semidefinida positiva , la ecuación anterior no se puede utilizar directamente porque M puede ser singular. Además, las aceleraciones generalizadas pueden no ser únicas a menos que la matriz ( n + m ) por n ${\displaystyle (\mathbf {M} \geq 0)}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {M} }}=\left[{\begin{array}{c}\mathbf {M} \\\mathbf {A} \end{array}}\right]}$

tiene rango completo (rango = n ). ^{[10] [11]} Pero dado que las aceleraciones observadas de los sistemas mecánicos en la naturaleza son siempre únicas, esta condición de rango es una condición necesaria y suficiente para obtener las aceleraciones generalizadas definidas de manera única del sistema restringido S _c en cada instante de tiempo. Por lo tanto, cuando tiene rango completo, las ecuaciones de movimiento del sistema restringido S _c en cada instante de tiempo se determinan de manera única mediante (1) la creación del sistema auxiliar sin restricciones ^[11] ${\displaystyle {\hat {\mathbf {M} }}}$

${\displaystyle \mathbf {M} _{\mathbf {A} }{\ddot {\mathbf {q} }}:=(\mathbf {M} +\mathbf {A} ^{+}\mathbf {A} ){\ddot {\mathbf {q} }}=\mathbf {Q} +\mathbf {A} ^{+}\mathbf {b} :=\mathbf {Q} _{\mathbf {b} },}$

y (2) aplicando la ecuación fundamental de movimiento restringido a este sistema auxiliar no restringido de modo que las ecuaciones auxiliares de movimiento restringido estén dadas explícitamente por ^[11]

${\displaystyle \mathbf {M} _{\mathbf {A} }{\ddot {\mathbf {q} }}=\mathbf {Q} _{\mathbf {b} }+\mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{1/2}(\mathbf {A} \mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1/2})^{+}(\mathbf {b} -\mathbf {A} \mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1}\mathbf {Q} _{\mathbf {b} }).}$

Además, cuando la matriz tiene rango completo, la matriz es siempre definida positiva. Esto produce, explícitamente, las aceleraciones generalizadas del sistema restringido S _c como ${\displaystyle {\hat {\mathbf {M} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {M} _{\mathbf {A} }}$

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {q} }}=\mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1}\mathbf {Q} _{\mathbf {b} }+\mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1/2}(\mathbf {A} \mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1/2})^{+}(\mathbf {b} -\mathbf {A} \mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1}\mathbf {Q} _{\mathbf {b} }).}$

Esta ecuación es válida cuando la matriz M es definida positiva o semidefinida positiva. Además, la fuerza de restricción que hace que el sistema restringido S _c —un sistema que puede tener una matriz de masa singular M— satisfaga las restricciones impuestas está dada explícitamente por

${\displaystyle \mathbf {Q} _{c}=\mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{1/2}(\mathbf {A} \mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1/2})^{+}(\mathbf {b} -\mathbf {A} \mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1}\mathbf {Q} _{\mathbf {b} }).}$

Restricciones no ideales

En cualquier momento durante el movimiento podemos considerar la posibilidad de perturbar el sistema mediante un desplazamiento virtual δ r consistente con las restricciones del sistema. Se permite que el desplazamiento sea reversible o irreversible. Si el desplazamiento es irreversible, entonces realiza un trabajo virtual . Podemos escribir el trabajo virtual del desplazamiento como

${\displaystyle W_{c}(t)=\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }(q,{\dot {q}},t)\delta \mathbf {r} (t)}$

El vector describe la no idealidad del trabajo virtual y puede estar relacionado, por ejemplo, con fuerzas de fricción o de arrastre (tales fuerzas dependen de la velocidad). Este es un principio de D'Alembert generalizado , donde la forma habitual del principio tiene un trabajo virtual que se desvanece con . ${\displaystyle \mathbf {C} (q,{\dot {q}},t)}$ ${\displaystyle \mathbf {C} (q,{\dot {q}},t)=0}$

La ecuación de Udwadia-Kalaba se modifica mediante un término de restricción no ideal adicional para

${\displaystyle \mathbf {M} {\ddot {\mathbf {q} }}=\mathbf {Q} +\mathbf {M} ^{1/2}\left(\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1/2}\right)^{+}(\mathbf {b} -\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1}\mathbf {Q} )+\mathbf {M} ^{1/2}\left[\mathbf {I} -\left(\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1/2}\right)^{+}\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1/2}\right]\mathbf {M} ^{-1/2}\mathbf {C} }$

Ejemplos

Problema de Kepler inverso

El método puede resolver el problema inverso de Kepler de determinar la ley de fuerza que corresponde a las órbitas que son secciones cónicas . ^[13] Consideramos que no hay fuerzas externas (ni siquiera la gravedad) y, en cambio, restringimos el movimiento de la partícula para que siga órbitas de la forma

${\displaystyle r=\varepsilon x+\ell }$

donde , es la excentricidad, y es el semi-latus rectum. Al diferenciar dos veces con respecto al tiempo y reorganizar ligeramente se obtiene una restricción ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\textstyle \ell }$

${\displaystyle (x-r\varepsilon ){\ddot {x}}+y{\ddot {y}}=-{\frac {(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})^{2}}{r^{2}}}}$

Suponemos que el cuerpo tiene una masa simple y constante. También suponemos que el momento angular alrededor del foco se conserva como

${\displaystyle m(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})=L}$

con derivada del tiempo

${\displaystyle x{\ddot {y}}-y{\ddot {x}}=0}$

Podemos combinar estas dos restricciones en la ecuación matricial

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x-r\varepsilon &y\\y&-x\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\ddot {x}}\\{\ddot {y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{2}}}\\0\end{pmatrix}}}$

La matriz de restricción tiene inversa

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x-r\varepsilon &y\\y&-x\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\ell r}}{\begin{pmatrix}x&y\\y&-(x-r\varepsilon )\end{pmatrix}}}$

La fuerza de restricción es, por tanto, la ley del cuadrado inverso central esperada.

${\displaystyle \mathbf {F} _{c}=m\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} ={\frac {m}{\ell r}}{\begin{pmatrix}x&y\\y&-(x-r\varepsilon )\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{2}}}\\0\end{pmatrix}}=-{\frac {L^{2}}{m\ell r^{2}}}{\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}}$

Plano inclinado con fricción

Considere un bloque pequeño de masa constante en un plano inclinado en un ángulo sobre la horizontal. La restricción de que el bloque se encuentre en el plano se puede escribir como ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle y=x\tan \alpha }$

Después de tomar dos derivadas de tiempo, podemos poner esto en forma de ecuación de matriz de restricción estándar.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-\tan \alpha &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\ddot {x}}\\{\ddot {y}}\end{pmatrix}}=0}$

La matriz de restricción tiene pseudoinversa

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-\tan \alpha &1\end{pmatrix}}^{+}=\cos ^{2}\alpha {\begin{pmatrix}-\tan \alpha \\1\end{pmatrix}}}$

Permitimos que haya fricción deslizante entre el bloque y el plano inclinado. Parametrizamos esta fuerza mediante un coeficiente de fricción estándar multiplicado por la fuerza normal.

${\displaystyle \mathbf {C} =-\mu mg\cos \alpha \operatorname {sgn} {\dot {y}}{\begin{pmatrix}\cos \alpha \\\sin \alpha \end{pmatrix}}}$

Mientras que la fuerza de gravedad es reversible, la fuerza de fricción no lo es. Por lo tanto, el trabajo virtual asociado con un desplazamiento virtual dependerá de C. Podemos resumir las tres fuerzas (externa, restricción ideal y restricción no ideal) de la siguiente manera:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\text{ext}}=\mathbf {Q} =-mg{\begin{pmatrix}0\\y\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{c,i}=-\mathbf {A} ^{+}\mathbf {A} \mathbf {Q} =mg\cos ^{2}\alpha {\begin{pmatrix}-\tan \alpha \\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-\tan \alpha &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\y\end{pmatrix}}=mg{\begin{pmatrix}-\sin \alpha \cos \alpha \\\cos ^{2}\alpha \end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{c,ni}=(\mathbf {I} -\mathbf {A} ^{+}\mathbf {A} )\mathbf {C} =-\mu mg\cos \alpha \operatorname {sgn} {\dot {y}}\left[{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}-\cos ^{2}\alpha {\begin{pmatrix}-\tan \alpha \\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-\tan \alpha &1\end{pmatrix}}\right]=-\mu mg\cos \alpha \operatorname {sgn} {\dot {y}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\alpha \\\sin \alpha \cos \alpha \end{pmatrix}}}$

Combinando lo anterior, encontramos que las ecuaciones de movimiento son

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\ddot {x}}\\{\ddot {y}}\end{pmatrix}}={\frac {1}{m}}\left(\mathbf {F} _{\text{ext}}+\mathbf {F} _{c,i}+\mathbf {F} _{c,ni}\right)=-g\left(\sin \alpha +\mu \cos \alpha \operatorname {sgn} {\dot {y}}\right){\begin{pmatrix}\cos \alpha \\\sin \alpha \end{pmatrix}}}$

Esto es como una aceleración descendente constante debida a la gravedad con una ligera modificación. Si el bloque se mueve hacia arriba en el plano inclinado, la fricción aumenta la aceleración descendente. Si el bloque se mueve hacia abajo en el plano inclinado, la fricción reduce la aceleración descendente.

Referencias

1. Udwadia, FE; Kalaba, RE (1996). Dinámica analítica: un nuevo enfoque . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-04833-8.
2. Bauchau, Olivier A. (2010). Dinámica multicuerpo flexible . Springer. pág. 444.
3. Vereshchagin, Anatolii Fedorovich (1974). "Simulación por computadora de la dinámica de mecanismos complicados de robots manipuladores". Ingeniería cibernética . 6 : 65–70.
4. Vereshchagin, Anatolii Fedorovich (1975). "Principio de Gauss de mínima restricción para modelar la dinámica de manipuladores automáticos utilizando una computadora digital". Soviet Physics Doklady . 20 (1): 33–34. Bibcode :1975SPhD...20...33V.
5. Udwadia, FE; Kalaba, RE (1992). "Una nueva perspectiva sobre el movimiento restringido" (PDF) . Actas de la Royal Society de Londres, Serie A . 439 (1906): 407–410. Bibcode :1992RSPSA.439..407U. doi :10.1098/rspa.1992.0158. S2CID  120343506.
6. Udwadia, FE; Kalaba, RE (2002). "Sobre los fundamentos de la dinámica analítica" (PDF) . Revista internacional de mecánica no lineal . 37 (6): 1079–1090. Código bibliográfico :2002IJNLM..37.1079U. CiteSeerX 10.1.1.174.5726 . doi :10.1016/S0020-7462(01)00033-6. 
7. Calverley, B. (2001). "Con restricciones o sin restricciones, esa es la ecuación". USC News .
8. Udwadia, F.; Kalaba, R. (2002). "¿Cuál es la forma general de las ecuaciones explícitas de movimiento para sistemas mecánicos restringidos?" (PDF) . Revista de mecánica aplicada . 69 (3): 335–339. Bibcode :2002JAM....69..335U. CiteSeerX 10.1.1.174.6353 . doi :10.1115/1.1459071. 
9. Zhao, Xiao; Chen, Ye-Hwa; Zhao, Han; Dong, Fang-Fang (2018). "Ecuación de Udwadia-Kalaba para sistemas mecánicos restringidos: formulación y aplicaciones". Revista china de ingeniería mecánica . 31 (1): 106–120. Código Bibliográfico :2018ChJME..31..106Z. doi : 10.1186/s10033-018-0310-x .
10. Udwadia, FE; Phohomsiri, P. (2006). "Ecuaciones explícitas de movimiento para sistemas mecánicos restringidos con matrices de masa singulares y aplicaciones a la dinámica de múltiples cuerpos" (PDF) . Actas de la Royal Society of London, Serie A . 462 (2071): 2097–2117. Bibcode :2006RSPSA.462.2097U. doi :10.1098/rspa.2006.1662. S2CID  38437.
11. Udwadia, FE; Schutte, AD (2010). "Ecuaciones de movimiento para sistemas generales restringidos en mecánica lagrangiana" (PDF) . Acta Mechanica . 213 (1): 111–129. doi :10.1007/s00707-009-0272-2. S2CID  7432252.
12. Udwadia, FE; Kalaba, RE (1993). "Sobre el movimiento" (PDF) . Revista del Instituto Franklin . 330 (3): 571–577. doi :10.1016/0016-0032(93)90099-G.
13. Zhang, Bingzhan; Zhen, Shengchao; Zhao, Han; Huang, Kang; Deng, Bin; Chen, Ye-Hwa (2015). "Un nuevo estudio sobre la ley de Kepler y la ley del cuadrado inverso de la gravitación". Eur. J. Phys . 36 (3): 035018. Bibcode :2015EJPh...36c5018Z. doi :10.1088/0143-0807/36/3/035018. S2CID  119566554.