Teorema de Wiener-Khinchin

Teorema de descomposición espectral de las autocorrelaciones de procesos estacionarios.

En matemáticas aplicadas , el teorema de Wiener-Khinchin o teorema de Wiener-Khintchine , también conocido como teorema de Wiener-Khinchin-Einstein o teorema de Khinchin-Kolmogorov , establece que la función de autocorrelación de un proceso aleatorio estacionario de sentido amplio tiene una descomposición espectral dado por la densidad espectral de potencia de ese proceso. ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]}

Historia

Norbert Wiener demostró este teorema para el caso de una función determinista en 1930; ^[8] Aleksandr Khinchin formuló más tarde un resultado análogo para procesos estocásticos estacionarios y publicó ese análogo probabilístico en 1934. ^{[9] [10]} Albert Einstein explicó, sin pruebas, la idea en un breve memorando de dos páginas en 1914. ^{[11] [12]}

Proceso de tiempo continuo

Para el tiempo continuo, el teorema de Wiener-Khinchin dice que si es un proceso aleatorio estacionario de sentido amplio cuya función de autocorrelación (a veces llamada autocovarianza ) definida en términos de valor esperado estadístico , existe y es finita en cada retraso , entonces existe un proceso monótono. función en el dominio de la frecuencia , o equivalentemente una medida de radón no negativa en el dominio de la frecuencia, tal que ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r_{xx}(\tau )=\mathbb {E} {\big [}x(t)^{*}\cdot x(t-\tau ){\big ]}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle F(f)}$ ${\displaystyle -\infty <f<\infty }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle r_{xx}(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{2\pi i\tau f}\mu (df)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{2\pi i\tau f}dF(f),}$

donde la integral es una integral de Riemann-Stieltjes . ^{[1] [13]} El asterisco denota conjugado complejo y puede omitirse si el proceso aleatorio tiene un valor real. Se trata de una especie de descomposición espectral de la función de autocorrelación. F se llama función de distribución espectral de potencia y es una función de distribución estadística. A veces se le llama espectro integrado.

La transformada de Fourier no existe en general, porque las funciones aleatorias estocásticas generalmente no son integrables al cuadrado ni absolutamente integrables . Tampoco se supone que sea absolutamente integrable, por lo que tampoco es necesario que tenga una transformada de Fourier. ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle r_{xx}}$

Sin embargo, si la medida es absolutamente continua , por ejemplo, si el proceso es puramente indeterminista, entonces es diferenciable en casi todas partes y podemos escribir . En este caso, se puede determinar la densidad espectral de potencia de , tomando la derivada promediada de . Debido a que las derivadas izquierda y derecha de existen en todas partes, es decir, podemos poner en todas partes, ^[14] (obteniendo que F es la integral de su derivada promediada ^[15] ), y el teorema se simplifica a ${\displaystyle \mu (df)=dF(f)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mu (df)=S(f)df}$ ${\displaystyle S(f)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle S(f)={\frac {1}{2}}\left(\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {1}{\varepsilon }}{\big (}F(f+\varepsilon )-F(f){\big )}+\lim _{\varepsilon \uparrow 0}{\frac {1}{\varepsilon }}{\big (}F(f+\varepsilon )-F(f){\big )}\right)}$

${\displaystyle r_{xx}(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{2\pi i\tau f}\,S(f)df.}$

Si ahora se supone que r y S satisfacen las condiciones necesarias para que la inversión de Fourier sea válida, el teorema de Wiener-Khinchin toma la forma simple de decir que r y S son un par de transformada de Fourier, y

${\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }r_{xx}(\tau )e^{-2\pi if\tau }\,d\tau .}$

Proceso de tiempo discreto

Para el caso de tiempo discreto, la densidad espectral de potencia de la función con valores discretos es ${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle S(\omega )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{k=-\infty }^{\infty }r_{xx}(k)e^{-i\omega k}}$

donde es la frecuencia angular, se usa para denotar la unidad imaginaria (en ingeniería, a veces se usa la letra en su lugar) y es la función de autocorrelación discreta de , definida en su formulación determinista o estocástica. ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle r_{xx}(k)}$ ${\displaystyle x_{n}}$

Siempre que sea absolutamente sumable, es decir ${\displaystyle r_{xx}}$

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }|r_{xx}(k)|<+\infty }$

El resultado del teorema entonces se puede escribir como

${\displaystyle r_{xx}(\tau )=\int _{-\pi }^{\pi }e^{i\tau \omega }S(\omega )d\omega }$

Al ser una secuencia de tiempo discreto, la densidad espectral es periódica en el dominio de la frecuencia. Por esta razón, el dominio de la función suele estar restringido a (tenga en cuenta que el intervalo está abierto desde un lado). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$

Solicitud

El teorema es útil para analizar sistemas lineales invariantes en el tiempo (sistemas LTI) cuando las entradas y salidas no son integrables al cuadrado, por lo que sus transformadas de Fourier no existen. Un corolario es que la transformada de Fourier de la función de autocorrelación de la salida de un sistema LTI es igual al producto de la transformada de Fourier de la función de autocorrelación de la entrada del sistema por la magnitud al cuadrado de la transformada de Fourier de la respuesta al impulso del sistema. . ^[16] Esto funciona incluso cuando las transformadas de Fourier de las señales de entrada y salida no existen porque estas señales no son integrables al cuadrado, por lo que las entradas y salidas del sistema no pueden relacionarse directamente mediante la transformada de Fourier de la respuesta al impulso.

Dado que la transformada de Fourier de la función de autocorrelación de una señal es el espectro de potencia de la señal, este corolario equivale a decir que el espectro de potencia de la salida es igual al espectro de potencia de la entrada multiplicado por la función de transferencia de energía .

Este corolario se utiliza en el método paramétrico para la estimación del espectro de potencia.

Discrepancias en terminología

En muchos libros de texto y en gran parte de la literatura técnica, se supone tácitamente que la inversión de Fourier de la función de autocorrelación y la densidad espectral de potencia es válida, y el teorema de Wiener-Khinchin se expresa, de manera muy simple, como si dijera que la transformada de Fourier de la función de autocorrelación era igual a la densidad espectral de potencia , ignorando todas las cuestiones de convergencia ^[17] (similar al artículo de Einstein ^[11] ). Pero el teorema (como se indica aquí) fue aplicado por Norbert Wiener y Aleksandr Khinchin a las funciones muestrales (señales) de procesos aleatorios estacionarios de sentido amplio , señales cuyas transformadas de Fourier no existen. La contribución de Wiener fue dar sentido a la descomposición espectral de la función de autocorrelación de una función de muestra de un proceso aleatorio estacionario de sentido amplio, incluso cuando las integrales para la transformada de Fourier y la inversión de Fourier no tienen sentido.

Para complicar aún más el problema, la transformada discreta de Fourier siempre existe para secuencias digitales de longitud finita, lo que significa que el teorema se puede aplicar a ciegas para calcular autocorrelaciones de secuencias numéricas. Como se mencionó anteriormente, la relación de estos datos muestreados discretos con un modelo matemático a menudo es engañosa y los errores relacionados pueden aparecer como una divergencia cuando se modifica la longitud de la secuencia.

Algunos autores la denominan función de autocovarianza. Luego proceden a normalizarlo dividiendo por , para obtener lo que denominan función de autocorrelación. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R(0)}$

Referencias

1. C. Chatfield (1989). El análisis de series temporales: introducción (cuarta ed.). Chapman y Hall, Londres. págs. 94–95. ISBN 0-412-31820-2.
2. Norbert Wiener (1964). Series de tiempo . Prensa del MIT, Cambridge, Massachusetts. pag. 42.
3. Hannan, EJ, "Stationary Time Series", en: John Eatwell, Murray Milgate y Peter Newman, editores, The New Palgrave: A Dictionary of Economics. Series temporales y estadísticas , Macmillan, Londres, 1990, p. 271.
4. Dennis Ward Ricker (2003). Procesamiento de señales de eco. Saltador. ISBN 1-4020-7395-X.
5. León W. Sofá II (2001). Sistemas de comunicaciones digitales y analógicas (sexta ed.). Prentice Hall, Nueva Jersey. págs. 406–409. ISBN 0-13-522583-3.
6. Krzysztof Iniewski (2007). Tecnologías inalámbricas: circuitos, sistemas y dispositivos. Prensa CRC. ISBN 978-0-8493-7996-3.
7. José W. Goodman (1985). Óptica Estadística . Wiley-Interscience. ISBN 0-471-01502-4.
8. Viena, Norberto (1930). "Análisis Armónico Generalizado". Acta Matemática . 55 : 117–258. doi : 10.1007/bf02546511 .
9. DC Champeney (1987). "Espectros de potencia y teoremas de Wiener". Un manual de teoremas de Fourier . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 102.ISBN​ 9780521265034. La teoría básica de Wiener del 'análisis armónico generalizado' no es de ninguna manera probabilística, y los teoremas se aplican a funciones individuales bien definidas más que a conjuntos de funciones [...] Un mayor desarrollo de estas ideas ocurre en el trabajo de AI Khintchine (1894 –1959) sobre procesos aleatorios estacionarios (o procesos estocásticos) [...] en contextos en los que no es importante distinguir los dos enfoques, la teoría a menudo se denomina teoría de Wiener-Khintchine.
10. Khintchine, Alejandro (1934). "Korrelationstheorie der stationären stochastischen Prozesse". Annalen Matemáticas . 109 (1): 604–615. doi :10.1007/BF01449156. S2CID  122842868.
11. Einstein, Albert (1914). "Método para la determinación de valores estadísticos de observaciones relativas a las grandezas soumises à des fluctuaciones irregulares". Archivos de Ciencias . 37 : 254–256. Código bibliográfico : 1914ArS....37..254E.
12. Jerison, David; Cantante, Isadore Manuel; Stroock, Daniel W. (1997). El legado de Norbert Wiener: un simposio centenario (actas de simposios de matemática pura) . Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 95.ISBN​ 0-8218-0415-4.
13. Hannan, EJ (1990). "Serie temporal estacionaria". En Eatwell, John; Milgate, Murray; Newman, Peter (eds.). El nuevo Palgrave: un diccionario de economía. Series temporales y estadísticas . Londres: Macmillan. pag. 271.ISBN​ 9781349208654.
14. Chatfield, C. (1989). El análisis de series temporales: introducción (Cuarta ed.). Londres: Chapman y Hall. pag. 96.ISBN​ 0-412-31820-2.
15. Champeney, CC (1987). Un manual de teoremas de Fourier. Universidad de Cambridge. Prensa. págs. 20-22. ISBN 9780521366885.
16. Shlomo Engelberg (2007). Señales aleatorias y ruido: una introducción matemática. Prensa CRC. pag. 130.ISBN​ 978-0-8493-7554-5.
17. C. Chatfield (1989). El análisis de series temporales: introducción (cuarta ed.). Chapman y Hall, Londres. pag. 98.ISBN​ 0-412-31820-2.

Otras lecturas

• Brockwell, Peter A.; Davis, Richard J. (2002). Introducción a las series temporales y la previsión (Segunda ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 038721657X.
• Chatfield, C. (1989). El análisis de series temporales: introducción (Cuarta ed.). Londres: Chapman y Hall. ISBN 0412318202.
• Más completo, Wayne (1996). Introducción a las series temporales estadísticas . Serie Wiley en probabilidad y estadística (Segunda ed.). Nueva York: Wiley. ISBN 0471552399.
• Wiener, Norberto (1949). "Extrapolación, interpolación y suavizado de series temporales estacionarias" (Documento). Cambridge, Massachusetts: Technology Press y Johns Hopkins Univ. Prensa.(un documento clasificado escrito para el Departamento de Guerra en 1943).
• Yaglom, AM (1962). Introducción a la teoría de funciones aleatorias estacionarias . Acantilados de Englewood, Nueva Jersey: Prentice – Hall.