Parametrización de Weierstrass-Enneper

Construcción para superficies mínimas

En matemáticas , la parametrización de superficies mínimas de Weierstrass-Enneper es una pieza clásica de geometría diferencial .

Alfred Enneper y Karl Weierstrass estudiaron superficies mínimas ya en 1863.

Instalaciones de parametrización de Weierstrass, fabricación de superficies mínimas periódicas.

Sea y sea funciones en todo el plano complejo o en el disco unitario, donde es meromórfico y analítico , de modo que dondequiera que tenga un polo de orden , tenga un cero de orden (o equivalentemente, de modo que el producto sea holomórfico ), y sea ser constantes. Entonces la superficie con coordenadas es mínima, donde se definen usando la parte real de una integral compleja, de la siguiente manera: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 2m}$ ${\displaystyle fg^{2}}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$ ${\displaystyle x_{k}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{k}(\zeta )&{}=\mathrm {Re} \left\{\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k},\qquad k=1,2,3\\\varphi _{1}&{}=f(1-g^{2})/2\\\varphi _{2}&{}=if(1+g^{2})/2\\\varphi _{3}&{}=fg\end{aligned}}}$$

Lo contrario también es cierto: a cada superficie mínima no plana definida sobre un dominio simplemente conexo se le puede dar una parametrización de este tipo. ^[1]

Por ejemplo, la superficie de Enneper tiene f ( z ) = 1 , g ( z ) = z ^m .

Superficie paramétrica de variables complejas.

El modelo de Weierstrass-Enneper define una superficie mínima ( ) en un plano complejo ( ). Sea (el plano complejo como el espacio), la matriz jacobiana de la superficie se puede escribir como una columna de entradas complejas: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \omega =u+vi}$ ${\displaystyle uv}$

$${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}\left(1-g^{2}(\omega )\right)f(\omega )\\i\left(1+g^{2}(\omega )\right)f(\omega )\\2g(\omega )f(\omega )\end{bmatrix}}}$$

${\displaystyle f(\omega )}$ ${\displaystyle g(\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$

El jacobiano representa los dos vectores tangentes ortogonales de la superficie: ^[2] ${\displaystyle \mathbf {J} }$

$${\displaystyle \mathbf {X_{u}} ={\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \mathbf {J} _{1}\\\operatorname {Re} \mathbf {J} _{2}\\\operatorname {Re} \mathbf {J} _{3}\end{bmatrix}}\;\;\;\;\mathbf {X_{v}} ={\begin{bmatrix}-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{1}\\-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{2}\\-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{3}\end{bmatrix}}}$$

La superficie normal está dada por

$${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} ={\frac {\mathbf {X_{u}} \times \mathbf {X_{v}} }{|\mathbf {X_{u}} \times \mathbf {X_{v}} |}}={\frac {1}{|g|^{2}+1}}{\begin{bmatrix}2\operatorname {Re} g\\2\operatorname {Im} g\\|g|^{2}-1\end{bmatrix}}}$$

El jacobiano conduce a una serie de propiedades importantes: , , , . Las pruebas se pueden encontrar en el ensayo de Sharma: La representación de Weierstrass siempre da una superficie mínima. ^[3] Las derivadas se pueden utilizar para construir la primera matriz de forma fundamental : ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{v}} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {X_{u}} ^{2}=\operatorname {Re} (\mathbf {J} ^{2})}$ ${\displaystyle \mathbf {X_{v}} ^{2}=\operatorname {Im} (\mathbf {J} ^{2})}$ ${\displaystyle \mathbf {X_{uu}} +\mathbf {X_{vv}} =0}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{u}} &\;\;\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{v}} \\\mathbf {X_{v}} \cdot \mathbf {X_{u}} &\;\;\mathbf {X_{v}} \cdot \mathbf {X_{v}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$$

y la segunda matriz de forma fundamental

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {X_{uu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} &\;\;\mathbf {X_{uv}} \cdot \mathbf {\hat {n}} \\\mathbf {X_{vu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} &\;\;\mathbf {X_{vv}} \cdot \mathbf {\hat {n}} \end{bmatrix}}}$$

Finalmente, un punto en el plano complejo se asigna a un punto en la superficie mínima en por ${\displaystyle \omega _{t}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

$${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{1}d\omega \\\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{2}d\omega \\\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{3}d\omega \end{bmatrix}}}$$

la superficie mínima de Costa ${\displaystyle \omega _{0}=0}$ ${\displaystyle \omega _{0}=(1+i)/2}$

Superficies mínimas incrustadas y ejemplos.

Los ejemplos clásicos de superficies mínimas completas incrustadas con topología finita incluyen el plano, la catenoide , la helicoidal y la superficie mínima de Costa . La superficie de Costa involucra la función elíptica de Weierstrass : ^[4] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \wp }$

$${\displaystyle g(\omega )={\frac {A}{\wp '(\omega )}}}$$

$${\displaystyle f(\omega )=\wp (\omega )}$$

^[5] ${\displaystyle A}$

helicatenoide

Eligiendo las funciones y , se obtiene una familia de superficies mínimas de un parámetro. ${\displaystyle f(\omega )=e^{-i\alpha }e^{\omega /A}}$ ${\displaystyle g(\omega )=e^{-\omega /A}}$

$${\displaystyle \varphi _{1}=e^{-i\alpha }\sinh \left({\frac {\omega }{A}}\right)}$$

$${\displaystyle \varphi _{2}=ie^{-i\alpha }\cosh \left({\frac {\omega }{A}}\right)}$$

$${\displaystyle \varphi _{3}=e^{-i\alpha }}$$

$${\displaystyle \mathbf {X} (\omega )=\operatorname {Re} {\begin{bmatrix}e^{-i\alpha }A\cosh \left({\frac {\omega }{A}}\right)\\ie^{-i\alpha }A\sinh \left({\frac {\omega }{A}}\right)\\e^{-i\alpha }\omega \\\end{bmatrix}}=\cos(\alpha ){\begin{bmatrix}A\cosh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\cos \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\-A\cosh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\sin \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\\operatorname {Re} (\omega )\\\end{bmatrix}}+\sin(\alpha ){\begin{bmatrix}A\sinh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\sin \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\A\sinh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\cos \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\\operatorname {Im} (\omega )\\\end{bmatrix}}}$$

Eligiendo los parámetros de la superficie como : ${\displaystyle \omega =s+i(A\phi )}$

$${\displaystyle \mathbf {X} (s,\phi )=\cos(\alpha ){\begin{bmatrix}A\cosh \left({\frac {s}{A}}\right)\cos \left(\phi \right)\\-A\cosh \left({\frac {s}{A}}\right)\sin \left(\phi \right)\\s\\\end{bmatrix}}+\sin(\alpha ){\begin{bmatrix}A\sinh \left({\frac {s}{A}}\right)\sin \left(\phi \right)\\A\sinh \left({\frac {s}{A}}\right)\cos \left(\phi \right)\\A\phi \\\end{bmatrix}}}$$

En los extremos, la superficie es una catenoide o una helicoide . De lo contrario, representa un ángulo de mezcla. La superficie resultante, con un dominio elegido para evitar la autointersección, es una catenaria que gira alrededor del eje de forma helicoidal. ${\displaystyle (\alpha =0)}$ ${\displaystyle (\alpha =\pi /2)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mathbf {X} _{3}}$

Una catenaria que abarca puntos periódicos en una hélice, que posteriormente gira a lo largo de la hélice para producir una superficie mínima.

El dominio fundamental (C) y las superficies 3D. Las superficies continuas están hechas de copias del parche fundamental (R3)

Líneas de curvatura

Se puede reescribir cada elemento de la segunda matriz fundamental en función de y , por ejemplo ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

$${\displaystyle \mathbf {X_{uu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} ={\frac {1}{|g|^{2}+1}}{\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \left((1-g^{2})f'-2gfg'\right)\\\operatorname {Re} \left((1+g^{2})f'i+2gfg'i\right)\\\operatorname {Re} \left(2gf'+2fg'\right)\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \left(2g\right)\\\operatorname {Re} \left(-2gi\right)\\\operatorname {Re} \left(|g|^{2}-1\right)\\\end{bmatrix}}=-2\operatorname {Re} (fg')}$$

Y en consecuencia, la segunda matriz de forma fundamental se puede simplificar como

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}-\operatorname {Re} fg'&\;\;\operatorname {Im} fg'\\\operatorname {Im} fg'&\;\;\operatorname {Re} fg'\end{bmatrix}}}$$

Las líneas de curvatura forman una cuadrangulación del dominio.

Uno de sus vectores propios es

$${\displaystyle {\overline {\sqrt {fg'}}}}$$

^[6] ${\displaystyle uv}$

$${\displaystyle \phi =-{\frac {1}{2}}\operatorname {Arg} (fg')\pm k\pi /2}$$

Ver también

• familia asociada
• Superficie de Bryant , encontrada mediante una parametrización análoga en el espacio hiperbólico

Referencias

1. Dierkes, U.; Hildebrandt, S.; Küster, A.; Wohlrab, O. (1992). Superficies mínimas . vol. Yo. Springer. pag. 108.ISBN​ 3-540-53169-6.
2. Andersson, S.; Hyde, ST; Larsson, K.; Lidin, S. (1988). "Superficies y estructuras mínimas: desde cristales inorgánicos y metálicos hasta membranas celulares y biopolímeros". Química. Rdo . 88 (1): 221–242. doi :10.1021/cr00083a011.
3. Sharma, R. (2012). "La representación de Weierstrass siempre ofrece una superficie mínima". arXiv : 1208.5689 [matemáticas.DG].
4. Lawden, DF (2011). Funciones y aplicaciones de la elíptica . Ciencias Matemáticas Aplicadas. vol. 80. Berlín: Springer. ISBN 978-1-4419-3090-3.
5. Abbena, E.; Salamón, S.; Gris, A. (2006). "Superficies mínimas mediante variables complejas". Geometría Diferencial Moderna de Curvas y Superficies con Mathematica . Boca Ratón: CRC Press. págs. 719–766. ISBN 1-58488-448-7.
6. Hua, H.; Jia, T. (2018). "Corte con alambre de superficies mínimas de doble cara". La computadora visual . 34 (6–8): 985–995. doi :10.1007/s00371-018-1548-0. S2CID  13681681.