Abel se transforma

Transformada integral utilizada en diversas ramas de las matemáticas.

En matemáticas , la transformada de Abel , ^[1] llamada así por Niels Henrik Abel , es una transformada integral que se utiliza a menudo en el análisis de funciones esféricamente simétricas o axialmente simétricas. La transformada de Abel de una función f ( r ) viene dada por

${\displaystyle F(y)=2\int _{y}^{\infty }{\frac {f(r)r}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}\,dr.}$

Suponiendo que f ( r ) cae a cero más rápidamente que 1/ r , la transformada inversa de Abel viene dada por

${\displaystyle f(r)=-{\frac {1}{\pi }}\int _{r}^{\infty }{\frac {dF}{dy}}\,{\frac {dy}{\sqrt {y^{2}-r^{2}}}}.}$

En el análisis de imágenes , la transformada de Abel directa se utiliza para proyectar una función de emisión axialmente simétrica y ópticamente delgada en un plano, y la transformada de Abel inversa se utiliza para calcular la función de emisión dada una proyección (es decir, un escaneo o una fotografía) de esa emisión. función.

En espectroscopia de absorción de llamas o penachos cilíndricos, la transformada de Abel directa es la absorbancia integrada a lo largo de un rayo con la distancia más cercana y desde el centro de la llama, mientras que la transformada de Abel inversa da el coeficiente de absorción local a una distancia r del centro. La transformada de Abel se limita a aplicaciones con geometrías axialmente simétricas. Para casos asimétricos más generales, se deben emplear algoritmos de reconstrucción de orientación más general, como la técnica de reconstrucción algebraica (ART), la maximización de expectativas de máxima verosimilitud (MLEM) y los algoritmos de retroproyección filtrada (FBP).

En los últimos años, la transformada inversa de Abel (y sus variantes) se ha convertido en la piedra angular del análisis de datos en imágenes de fotofragmentos-iones y fotoelectrones . Entre las extensiones recientes más notables de la transformada inversa de Abel se encuentran los métodos de análisis de imágenes de fotoelectrones y fotoiones de "pelado de cebolla" y "expansión del conjunto de bases" (BASEX).

Interpretación geométrica

Una interpretación geométrica de la transformada de Abel en dos dimensiones. Un observador (I) mira a lo largo de una línea paralela al eje x a una distancia y por encima del origen. Lo que ve el observador es la proyección (es decir, la integral) de la función circularmente simétrica f ( r ) a lo largo de la línea de visión. La función f ( r ) está representada en gris en esta figura. Se supone que el observador está ubicado infinitamente lejos del origen, de modo que los límites de integración son ±∞.

En dos dimensiones, la transformada de Abel F ( y ) se puede interpretar como la proyección de una función circularmente simétrica f ( r ) a lo largo de un conjunto de líneas visuales paralelas a una distancia y del origen. Refiriéndose a la figura de la derecha, el observador (I) verá

${\displaystyle F(y)=\int _{-\infty }^{\infty }f\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)\,dx,}$

donde f ( r ) es la función circularmente simétrica representada por el color gris en la figura. Se supone que el observador está realmente en x  = ∞, de modo que los límites de integración son ±∞ y todas las líneas de visión son paralelas al eje x . Al darse cuenta de que el radio r está relacionado con x e y como r 2 ⁼  x  2 ⁺  y  2 ^, se deduce que

${\displaystyle dx={\frac {r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}}$

para x > 0. Dado que f ( r ) es una función par en x , podemos escribir

${\displaystyle F(y)=2\int _{0}^{\infty }f\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)\,dx=2\int _{|y|}^{\infty }f(r)\,{\frac {r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}},}$

lo que produce la transformada de Abel de f ( r ).

La transformada de Abel puede extenderse a dimensiones superiores. De particular interés es la extensión a tres dimensiones. Si tenemos una función axialmente simétrica f ( ρ ,  z ), donde ρ ²  =  x ²  +  y ² es el radio cilíndrico, entonces es posible que queramos saber la proyección de esa función sobre un plano paralelo al eje z . Sin pérdida de generalidad , podemos tomar ese plano como el plano yz , de modo que

${\displaystyle F(y,z)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\rho ,z)\,dx=2\int _{y}^{\infty }{\frac {f(\rho ,z)\rho \,d\rho }{\sqrt {\rho ^{2}-y^{2}}}},}$

que es simplemente la transformada de Abel de f ( ρ ,  z ) en ρ e y .

Un tipo particular de simetría axial es la simetría esférica. En este caso, tenemos una función f ( r ), donde r ²  =  x ²  +  y ²  +  z ² . La proyección sobre, digamos, el plano yz será entonces circularmente simétrica y expresable como F ( s ), donde s ²  =  y ²  +  z ² . Realizando la integración tenemos

${\displaystyle F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }f(r)\,dx=2\int _{s}^{\infty }{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-s^{2}}}},}$

que es nuevamente, la transformada de Abel de f ( r ) en r y s .

Verificación de la transformada inversa de Abel.

Suponiendo que es continuamente diferenciable y , cae a cero más rápido que , podemos integrar por partes estableciendo y encontrando ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle 1/r}$ ${\displaystyle u=f(r)}$ ${\displaystyle v'=r/{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}$

${\displaystyle F(y)=-2\int _{y}^{\infty }f'(r){\sqrt {r^{2}-y^{2}}}\,dr.}$

Diferenciando formalmente ,

${\displaystyle F'(y)=2y\int _{y}^{\infty }{\frac {f'(r)}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}\,dr.}$

Ahora sustituya esto en la fórmula de transformación de Abel inversa:

${\displaystyle -{\frac {1}{\pi }}\int _{r}^{\infty }{\frac {F'(y)}{\sqrt {y^{2}-r^{2}}}}\,dy=\int _{r}^{\infty }\int _{y}^{\infty }{\frac {-2y}{\pi {\sqrt {(y^{2}-r^{2})(s^{2}-y^{2})}}}}f'(s)\,dsdy.}$

Según el teorema de Fubini , la última integral es igual

${\displaystyle \int _{r}^{\infty }\int _{r}^{s}{\frac {-2y}{\pi {\sqrt {(y^{2}-r^{2})(s^{2}-y^{2})}}}}\,dyf'(s)\,ds=\int _{r}^{\infty }(-1)f'(s)\,ds=f(r).}$

Generalización de la transformada de Abel a discontinuaF(y)

Considere el caso en el que es discontinuo en , donde cambia abruptamente su valor en una cantidad finita . Es decir, y están definidos por . Esta situación se encuentra en polímeros atados ( cepillo de polímero ) que exhiben una separación de fases vertical, donde representa el perfil de densidad del polímero y está relacionado con la distribución espacial de los monómeros terminales no atados de los polímeros. ${\displaystyle F(y)}$ ${\displaystyle y=y_{\Delta }}$ ${\displaystyle \Delta F}$ ${\displaystyle y_{\Delta }}$ ${\displaystyle \Delta F}$ ${\displaystyle \Delta F\equiv \lim _{\epsilon \rightarrow 0}[F(y_{\Delta }-\epsilon )-F(y_{\Delta }+\epsilon )]}$ ${\displaystyle F(y)}$ ${\displaystyle f(r)}$

En estas circunstancias , la transformada de Abel de una función f ( r ) vuelve a estar dada por:

${\displaystyle F(y)=2\int _{y}^{\infty }{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}.}$

Suponiendo que f ( r ) cae a cero más rápidamente que 1/ r , la transformada inversa de Abel viene dada por

${\displaystyle f(r)=\left[{\frac {1}{2}}\delta (r-y_{\Delta }){\sqrt {1-(y_{\Delta }/r)^{2}}}-{\frac {1}{\pi }}{\frac {H(y_{\Delta }-r)}{\sqrt {y_{\Delta }^{2}-r^{2}}}}\right]\Delta F-{\frac {1}{\pi }}\int _{r}^{\infty }{\frac {dF}{dy}}{\frac {dy}{\sqrt {y^{2}-r^{2}}}}.}$

¿Dónde está la función delta de Dirac y la función escalón de Heaviside ? La versión extendida de la transformada de Abel para F discontinua se prueba al aplicar la transformada de Abel a desplazada, continua , y se reduce a la transformada de Abel clásica cuando . Si tiene más de una discontinuidad, hay que introducir cambios para cualquiera de ellos para obtener una versión generalizada de la transformada inversa de Abel que contiene n términos adicionales, cada uno de ellos correspondiente a una de las n discontinuidades. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle H(x)}$ ${\displaystyle F(y)}$ ${\displaystyle \Delta F=0}$ ${\displaystyle F(y)}$

Relación con otras transformaciones integrales

Relación con las transformaciones de Fourier y Hankel

La transformada de Abel es un miembro del ciclo de operadores integrales de la FHA. Por ejemplo, en dos dimensiones, si definimos A como el operador de transformada de Abel, F como el operador de transformada de Fourier y H como el operador de transformada de Hankel de orden cero , entonces el caso especial del teorema de proyección-corte para funciones circularmente simétricas establece que

${\displaystyle FA=H.}$

En otras palabras, aplicar la transformada de Abel a una función unidimensional y luego aplicar la transformada de Fourier a ese resultado es lo mismo que aplicar la transformada de Hankel a esa función. Este concepto puede extenderse a dimensiones superiores.

Relación con la transformada del radón

La transformada de Abel puede verse como la transformada de radón de una función 2D isotrópica f ( r ). Como f ( r ) es isotrópico, su transformada de radón es la misma en diferentes ángulos del eje de visión. Por tanto, la transformada de Abel es función de la distancia a lo largo del eje de visión únicamente.

Ver también

• Ocultación de radio GPS

Referencias

1. NH Abel, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1, págs. 153-157 (1826).

• Bracewell, R. (1965). La Transformada de Fourier y sus Aplicaciones . Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-007016-4.