Técnica de reconstrucción algebraica

Técnica en tomografía computarizada

Secuencia animada de pasos de reconstrucción, una iteración.

La técnica de reconstrucción algebraica ( ART ) es una técnica de reconstrucción iterativa utilizada en tomografía computarizada . Reconstruye una imagen a partir de una serie de proyecciones angulares (un sinograma ). Gordon , Bender y Herman fueron los primeros en demostrar su uso en la reconstrucción de imágenes; ^[1] mientras que el método se conoce como método de Kaczmarz en álgebra lineal numérica. ^{[2] [3]}

Una ventaja de ART sobre otros métodos de reconstrucción (como la retroproyección filtrada ) es que es relativamente fácil incorporar conocimiento previo al proceso de reconstrucción.

ART puede considerarse como un solucionador iterativo de un sistema de ecuaciones lineales , donde: ${\displaystyle Ax=b}$

${\displaystyle A}$es una matriz dispersa cuyos valores representan la contribución relativa de cada píxel de salida a diferentes puntos en el sinograma ( siendo el número de valores individuales en el sinograma y siendo el número de píxeles de salida); ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle x}$representa los píxeles de la imagen generada (de salida), dispuestos como un vector, y:

${\displaystyle b}$es un vector que representa el sinograma. Cada proyección (fila) del sinograma está formada por una serie de valores discretos, dispuestos a lo largo del eje transversal. está formada por todos estos valores, de cada una de las proyecciones individuales. ^[4] ${\displaystyle b}$

Dada una matriz real o compleja y un vector real o complejo , respectivamente, el método calcula una aproximación de la solución de los sistemas de ecuaciones lineales como en la siguiente fórmula, ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle x^{k+1}=x^{k}+\lambda _{k}{\frac {b_{i}-\langle a_{i},x^{k}\rangle }{\|a_{i}\|^{2}}}a_{i}^{T}}$

donde , es la i -ésima fila de la matriz , es el i -ésimo componente del vector . ${\displaystyle i=k{\bmod {m}}+1}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \lambda _{k}}$es un parámetro de relajación opcional, del rango . El parámetro de relajación se utiliza para ralentizar la convergencia del sistema. Esto aumenta el tiempo de cálculo, pero puede mejorar la relación señal-ruido de la salida. En algunas implementaciones, el valor de se reduce con cada iteración sucesiva. ^[4] ${\displaystyle 0<\lambda _{k}\leq 1}$ ${\displaystyle \lambda _{k}}$

Un desarrollo posterior del algoritmo ART es el algoritmo de técnica de reconstrucción algebraica simultánea (SART).

Referencias

1. Gordon, R; Bender, R; Herman, GT (diciembre de 1970). "Técnicas de reconstrucción algebraica (ART) para microscopía electrónica tridimensional y fotografía de rayos X". Journal of Theoretical Biology . 29 (3): 471–81. Bibcode :1970JThBi..29..471G. doi :10.1016/0022-5193(70)90109-8. PMID  5492997.
2. Herman, Gabor T. (2009). Fundamentos de la tomografía computarizada: reconstrucción de imágenes a partir de proyecciones (2.ª ed.). Dordrecht: Springer. ISBN 978-1-85233-617-2.
3. Natterer, F. (1986). Las matemáticas de la tomografía computarizada . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 0-471-90959-9.
4. Kak, Avinash; Slaney, Malcolm (1999). Principios de la tomografía computarizada . Nueva York: IEEE Press. pp. 276–277, 284. ISBN 978-0898714944.