Utilidades de Leontief

En economía , especialmente en la teoría del consumidor , una función de utilidad de Leontief es una función de la forma: donde: $${\displaystyle u(x_{1},\ldots ,x_{m})=\min \left\{{\frac {x_{1}}{w_{1}}},\ldots ,{\frac {x_{m}}{w_{m}}}\right\}.}$$

• ${\displaystyle m}$es el número de bienes diferentes en la economía.
• ${\displaystyle x_{i}}$(porque ) es la cantidad de bien en el paquete. ${\displaystyle i\in 1,\dots ,m}$ ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle w_{i}}$(por ) es el peso del bien para el consumidor. ${\displaystyle i\in 1,\dots ,m}$ ${\displaystyle i}$

Esta forma de función de utilidad fue conceptualizada por primera vez por Wassily Leontief .

Ejemplos

Las funciones de utilidad de Leontief representan bienes complementarios . Por ejemplo:

• Supongamos que la cantidad de zapatos izquierdos y la cantidad de zapatos derechos son iguales. Un consumidor solo puede usar pares de zapatos. Por lo tanto, su utilidad es . ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle \min(x_{1},x_{2})}$
• En un entorno de computación en la nube , hay un gran servidor que ejecuta muchas tareas diferentes . Supongamos que un determinado tipo de tarea requiere 2 CPU , 3 gigabytes de memoria y 4 gigabytes de espacio en disco para completarse. La utilidad del usuario es igual a la cantidad de tareas completadas. Por lo tanto, se puede representar mediante: . ${\textstyle \min({x_{\mathrm {CPU} } \over 2},{x_{\mathrm {MEM} } \over 3},{x_{\mathrm {DISK} } \over 4})}$

Propiedades

Un consumidor con una función de utilidad de Leontief tiene las siguientes propiedades:

• Las preferencias son débilmente monótonas pero no fuertemente monótonas: tener una mayor cantidad de un solo bien no aumenta la utilidad, pero tener una mayor cantidad de todos los bienes sí lo hace.
• Las preferencias son débilmente convexas , pero no estrictamente convexas: una mezcla de dos paquetes equivalentes puede ser equivalente o mejor que los paquetes originales.
• Las curvas de indiferencia tienen forma de L y sus vértices están determinados por los pesos. Por ejemplo, para la función , los vértices de las curvas de indiferencia están en donde . ${\displaystyle \min(x_{1}/2,x_{2}/3)}$ ${\displaystyle (2t,3t)}$ ${\displaystyle t\in [0,\infty )}$
• La demanda del consumidor es siempre obtener los bienes en proporciones constantes determinadas por los pesos, es decir, el consumidor demanda un paquete donde está determinado por el ingreso: . ^[1] Dado que la función de demanda marshalliana de cada bien es creciente en el ingreso, todos los bienes son bienes normales . ^[2] ${\displaystyle (w_{1}t,\ldots ,w_{m}t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t={\text{Income}}/(p_{1}w_{1}+\dots +p_{m}w_{m})}$

Equilibrio competitivo

Dado que las utilidades de Leontief no son estrictamente convexas, no satisfacen los requisitos del modelo Arrow-Debreu para la existencia de un equilibrio competitivo . De hecho, no se garantiza que una economía de Leontief tenga un equilibrio competitivo . Hay familias restringidas de economías de Leontief que sí tienen un equilibrio competitivo.

El problema de encontrar un equilibrio de Nash en un juego bimatriz se reduce al problema de encontrar un equilibrio competitivo en una economía de Leontief. ^[3] Esto tiene varias implicaciones:

• Es NP-difícil decir si una familia particular de economías de intercambio de Leontief, que tiene garantizado al menos un equilibrio, tiene más de un equilibrio.
• Es NP-difícil decidir si una economía de Leontief tiene un equilibrio.

Además, el problema de intercambio de mercado de Leontief no tiene un esquema de aproximación de tiempo completamente polinomial , a menos que PPAD ⊆ P. ^[4]

Por otra parte, existen algoritmos para encontrar un equilibrio aproximado para algunas economías especiales de Leontief. ^{[3] [5]}

Solicitud

La equidad dominante de recursos es una regla común para la asignación de recursos en los sistemas de computación en la nube, que supone que los usuarios tienen preferencias de Leontief.

Referencias

1. "Apuntes de microconferencias intermedias" (PDF) . Universidad de Yale . 21 de octubre de 2013 . Consultado el 21 de octubre de 2013 .
2. Greinecker, Michael (11 de mayo de 2015). «Los complementos perfectos tienen que ser bienes normales» . Consultado el 17 de diciembre de 2015 .
3. Codenotti, Bruno; Saberi, Amin; Varadarajan, Kasturi; Ye, Yinyu (2006). "Las economías de Leontief codifican juegos de dos jugadores de suma no nula". Actas del decimoséptimo simposio anual ACM-SIAM sobre algoritmos discretos - SODA '06 . p. 659. doi :10.1145/1109557.1109629. ISBN 0898716055.
4. Huang, Li-Sha; Teng, Shang-Hua (2007). "Sobre la aproximación y la complejidad suavizada de los equilibrios de mercado de Leontief". Frontiers in Algorithmics . Lecture Notes in Computer Science. Vol. 4613. p. 96. doi :10.1007/978-3-540-73814-5_9. ISBN 978-3-540-73813-8.
5. Codenotti, Bruno; Varadarajan, Kasturi (2004). "Cálculo eficiente de precios de equilibrio para mercados con Leontief Utilities". Autómatas, lenguajes y programación . Apuntes de clase en informática. Vol. 3142. pág. 371. doi :10.1007/978-3-540-27836-8_33. ISBN 978-3-540-22849-3.