Contacto unilateral

Restricción mecánica que impide la penetración entre dos cuerpos

En mecánica de contacto , el término contacto unilateral , también llamado restricción unilateral , denota una restricción mecánica que impide la penetración entre dos cuerpos rígidos/flexibles. Las restricciones de este tipo son omnipresentes en aplicaciones de dinámica multicuerpo no suave , como flujos granulares, ^[1] robots con patas , dinámica de vehículos , amortiguación de partículas , juntas imperfectas ^[2] o aterrizajes de cohetes. En estas aplicaciones, las restricciones unilaterales dan lugar a impactos, por lo que se requieren métodos adecuados para abordar dichas restricciones.

Modelado de las restricciones unilaterales

Existen principalmente dos tipos de métodos para modelar las restricciones unilaterales. El primer tipo se basa en la dinámica de contacto suave , que incluye métodos que utilizan los modelos de Hertz, métodos de penalización y algunos modelos de fuerza de regularización, mientras que el segundo tipo se basa en la dinámica de contacto no suave , que modela el sistema con contactos unilaterales como desigualdades variacionales .

Dinámica de contacto suave

Modelo de contacto de Hertz

En este método, las fuerzas normales generadas por las restricciones unilaterales se modelan de acuerdo con las propiedades materiales locales de los cuerpos. En particular, los modelos de fuerza de contacto se derivan de la mecánica de medios continuos y se expresan como funciones de la brecha y la velocidad de impacto de los cuerpos. Como ejemplo, una ilustración del modelo clásico de contacto de Hertz se muestra en la figura de la derecha. En dicho modelo, el contacto se explica por la deformación local de los cuerpos. Se pueden encontrar más modelos de contacto en algunos trabajos científicos de revisión ^{[3] [4] [5]} o en el artículo dedicado a la mecánica de contacto .

Dinámica de contacto no suave

En el método no suave, las interacciones unilaterales entre cuerpos se modelan fundamentalmente mediante la condición de Signorini ^[6] para la no penetración, y se utilizan leyes de impacto para definir el proceso de impacto. ^[7] La ​​condición de Signorini se puede expresar como el problema de complementariedad:

${\displaystyle g\geq 0,\quad \lambda \geq 0,\quad \lambda \perp g}$,

donde denota la distancia entre dos cuerpos y denota la fuerza de contacto generada por las restricciones unilaterales, como se muestra en la figura siguiente. Además, en términos del concepto de punto proximal de la teoría convexa, la condición de Signorini se puede expresar de manera equivalente ^{[6] [8]} como: ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lambda ={\rm {proj}}_{\mathbb {R} ^{+}}(\lambda -\rho g)}$,

donde denota un parámetro auxiliar, y representa el punto proximal en el conjunto a la variable , ^[9] definida como: ${\displaystyle \rho >0}$ ${\displaystyle {\rm {proj}}_{\bf {C}}(x)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\rm {proj}}_{\bf {C}}(x)={\rm {argmin}}_{y\in C}\|y-x\|}$.

Ambas expresiones anteriores representan el comportamiento dinámico de las restricciones unilaterales: por un lado, cuando la distancia normal es mayor que cero, el contacto está abierto, lo que significa que no hay fuerza de contacto entre los cuerpos, ; por otro lado, cuando la distancia normal es igual a cero, el contacto está cerrado, resultando en . ${\displaystyle g_{\rm {N}}}$ ${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle g_{\rm {N}}}$ ${\displaystyle \lambda \geq 0}$

Figura 2: a) contacto unilateral, b) gráfico de Signorini, c) modelo basado en la mecánica del continuo

Al implementar métodos basados ​​en teorías no suaves, en la mayoría de los casos se emplean la condición de Signorini de velocidad o la condición de Signorini de aceleración. La condición de Signorini de velocidad se expresa como: ^{[6] [10]}

${\displaystyle U_{\rm {N}}^{+}\geq 0,\quad \lambda \geq 0,\quad U^{+}\lambda =0}$,

donde denota la velocidad normal relativa después del impacto. La condición de velocidad de Signorini debe entenderse junto con las condiciones anteriores . La condición de aceleración de Signorini se considera bajo contacto cerrado ( ), como: ^[8] ${\displaystyle U_{\rm {N}}^{+}}$ ${\displaystyle g\geq 0,\;\lambda \geq 0,\;\lambda \perp g}$ ${\displaystyle g=0,U_{\rm {N}}^{+}=0}$

${\displaystyle {\ddot {g}}\geq 0,\quad \lambda \geq 0,\quad {\ddot {g}}\lambda =0}$,

donde los puntos sobre el eje indican la derivada de segundo orden con respecto al tiempo.

Cuando se utiliza este método para restricciones unilaterales entre dos cuerpos rígidos, la condición de Signorini por sí sola no es suficiente para modelar el proceso de impacto, por lo que también se requieren leyes de impacto, que brindan información sobre los estados antes y después del impacto ^[6] . Por ejemplo, cuando se emplea la ley de restitución de Newton, un coeficiente de restitución se definirá como: , donde denota la velocidad normal relativa antes del impacto. ${\displaystyle e=-{U_{\rm {N}}^{+}}/{U_{\rm {N}}^{-}}}$ ${\displaystyle U_{\rm {N}}^{-}}$

Restricciones unilaterales friccionales

Para las restricciones unilaterales de fricción, las fuerzas de contacto normales se modelan mediante uno de los métodos anteriores, mientras que las fuerzas de fricción se describen comúnmente mediante la ley de fricción de Coulomb . La ley de fricción de Coulomb se puede expresar de la siguiente manera: cuando la velocidad tangencial no es igual a cero, es decir, cuando los dos cuerpos se deslizan, la fuerza de fricción es proporcional a la fuerza de contacto normal ; cuando, en cambio, la velocidad tangencial es igual a cero, es decir, cuando los dos cuerpos están relativamente estables, la fuerza de fricción no es mayor que el máximo de la fuerza de fricción estática. Esta relación se puede resumir utilizando el principio de disipación máxima, ^[6] como ${\displaystyle U_{\rm {T}}}$ ${\displaystyle \lambda _{\rm {T}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle U_{\rm {T}}}$ ${\displaystyle \lambda _{\rm {T}}}$

${\displaystyle \lambda _{\rm {T}}\in D(\mu \lambda )~~~~~~\forall S\in D(\mu \lambda )~~~~~~(S-\lambda _{\rm {T}})U_{\rm {T}}\geq 0,}$

dónde

${\displaystyle D(\mu \lambda )=\{\forall x|-\mu \lambda \leq \|x\|\leq \mu \lambda \}}$

representa el cono de fricción y denota el coeficiente de fricción cinemático. De manera similar a la fuerza de contacto normal, la formulación anterior se puede expresar de manera equivalente en términos de la noción de punto proximal como: ^[6] ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \lambda _{\rm {T}}={\rm {proj}}_{D(\mu \lambda )}(\lambda _{T}-\rho U_{\rm {T}})}$,

donde denota un parámetro auxiliar. ${\displaystyle \rho >0}$

Técnicas de solución

Si las restricciones unilaterales se modelan mediante modelos de contacto basados ​​en la mecánica de medios continuos, las fuerzas de contacto se pueden calcular directamente a través de una fórmula matemática explícita, que depende del modelo de contacto elegido. Si, en cambio, se emplea el método basado en la teoría no suave, existen dos formulaciones principales para la solución de las condiciones de Signorini: la formulación del problema de complementariedad no lineal / lineal (N/LCP) y la formulación lagrangiana aumentada. Con respecto a la solución de los modelos de contacto, el método no suave es más tedioso, pero menos costoso desde el punto de vista computacional. Pazouki et al. ^[11] realizaron una comparación más detallada de los métodos de solución que utilizan modelos de contacto y teoría no suave.

Formulaciones N/LCP

Siguiendo este enfoque, la solución de ecuaciones dinámicas con restricciones unilaterales se transforma en la solución de N/LCP. En particular, para restricciones unilaterales sin fricción o restricciones unilaterales con fricción planar, el problema se transforma en LCP, mientras que para restricciones unilaterales friccionales, el problema se transforma en NCP. Para resolver LCP, el algoritmo de pivoteo , originado a partir del algoritmo de Lemek y Dantzig, es el método más popular. ^[8] Desafortunadamente, sin embargo, los experimentos numéricos muestran que el algoritmo de pivoteo puede fallar cuando se manejan sistemas con una gran cantidad de contactos unilaterales, incluso utilizando las mejores optimizaciones. ^[12] Para NCP, el uso de una aproximación poliédrica puede transformar los NCP en un conjunto de LCP, que luego pueden ser resueltos por el solucionador de LCP. ^[13] Otros enfoques más allá de estos métodos, como las funciones NCP ^{[14] [15] [16]} o los métodos basados ​​en problemas de complementariedad de cono (CCP) ^{[17] [18]} también se emplean para resolver NCP.

Formulación lagrangiana aumentada

A diferencia de las formulaciones N/LCP, la formulación lagrangiana aumentada utiliza las funciones proximales descritas anteriormente, . Junto con las ecuaciones dinámicas, esta formulación se resuelve mediante algoritmos de búsqueda de raíces . Mashayekhi et al. realizaron un estudio comparativo entre las formulaciones LCP y la formulación lagrangiana aumentada ^{[9] .} ${\displaystyle \lambda ={\rm {proj}}_{\mathbb {R} ^{+}}(\lambda -\rho g)}$

Véase también

• Dinámica multicuerpo  : herramienta para estudiar el comportamiento dinámico de cuerpos rígidos o flexibles interconectadosPages displaying short descriptions of redirect targets
• Dinámica de contacto  – Movimiento de sistemas multicuerpo
• Mecánica de contacto  : estudio de la deformación de los sólidos que entran en contacto entre sí.
• Método de elementos discretos  : métodos numéricos para calcular el movimiento y el efecto de una gran cantidad de partículas pequeñas.
• Mecánica no suave  : enfoque de modelado en mecánica
• Respuesta ante colisiones
• Desigualdades variacionales

Referencias

1. Anitescu, Mihai; Tasora, Alessandro (26 de noviembre de 2008). "Un enfoque iterativo para problemas de complementariedad de conos para dinámicas no suaves" (PDF) . Optimización computacional y aplicaciones . 47 (2): 207–235. doi :10.1007/s10589-008-9223-4. S2CID  1107494.
2. Flores, Paulo (7 de marzo de 2010). "Un estudio paramétrico sobre la respuesta dinámica de sistemas multicuerpo planos con múltiples juntas de holgura" (PDF) . Dinámica no lineal . 61 (4): 633–653. doi :10.1007/s11071-010-9676-8. hdl : 1822/23520 . S2CID  92980088.
3. Machado, Margarida; Moreira, Pedro; Flores, Paulo; Lankarani, Hamid M. (julio de 2012). "Modelos de fuerza de contacto flexibles en dinámica de cuerpos múltiples: evolución de la teoría de contacto de Hertz". Mecanismo y teoría de máquinas . 53 : 99–121. doi :10.1016/j.mechmachtheory.2012.02.010. hdl : 1822/19623 .
4. Gilardi, G.; Sharf, I. (octubre de 2002). "Estudio de la literatura sobre modelado de dinámica de contacto". Mecanismo y teoría de máquinas . 37 (10): 1213–1239. doi :10.1016/S0094-114X(02)00045-9.
5. Alves, Janete; Peixinho, Nuno; da Silva, Miguel Tavares; Flores, Paulo; Lankarani, Hamid M. (marzo de 2015). "Un estudio comparativo de los modelos constitutivos viscoelásticos para interfaces de contacto sin fricción en sólidos". Mecanismo y teoría de máquinas . 85 : 172–188. doi :10.1016/j.mechmachtheory.2014.11.020. hdl : 1822/31823 .
6. Jean, M. (julio de 1999). "El método de dinámica de contacto no suave" (PDF) . Métodos informáticos en mecánica aplicada e ingeniería . 177 (3–4): 235–257. Bibcode :1999CMAME.177..235J. doi :10.1016/S0045-7825(98)00383-1. S2CID  120827881.
7. Pfeiffer, Friedrich (14 de marzo de 2012). "Sobre dinámica multicuerpo no suave". Actas de la Institución de Ingenieros Mecánicos, Parte K: Revista de dinámica multicuerpo . 226 (2): 147–177. doi :10.1177/1464419312438487. S2CID  123605632.
8. Pfeiffer, Friedrich; Foerg, Martin; Ulbrich, Heinz (octubre de 2006). "Aspectos numéricos de la dinámica de multicuerpos no suaves". Métodos informáticos en mecánica aplicada e ingeniería . 195 (50–51): 6891–6908. Bibcode :2006CMAME.195.6891P. doi :10.1016/j.cma.2005.08.012.
9. Jalali Mashayekhi, Mohammad; Kövecses, József (agosto de 2017). "Un estudio comparativo entre el método lagrangiano aumentado y el enfoque de complementariedad para modelar el problema de contacto". Dinámica de sistemas multicuerpo . 40 (4): 327–345. doi :10.1007/s11044-016-9510-2. ISSN  1384-5640. S2CID  123789094.
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12. Anitescu, Mihai; Tasora, Alessandro (26 de noviembre de 2008). "Un enfoque iterativo para problemas de complementariedad de conos para dinámicas no suaves" (PDF) . Optimización computacional y aplicaciones . 47 (2): 207–235. doi :10.1007/s10589-008-9223-4. S2CID  1107494.
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Lectura adicional

Software de código abierto

Códigos de fuente abierta y paquetes no comerciales que utilizan el método no basado en suavizado:

• Siconos  – Software científico de código abierto para modelar sistemas dinámicos no suaves
• Chrono, un motor de simulación multifísica de código abierto, véase también el sitio web del proyecto

Libros y artículos

• Acary V., Brogliato B. Métodos numéricos para sistemas dinámicos no uniformes. Aplicaciones en mecánica y electrónica. Springer Verlag, LNACM 35, Heidelberg, 2008.
• Brogliato B. Mecánica no suave. Serie de ingeniería de comunicaciones y control Springer-Verlag, Londres, 1999 (2.ª ed.)
• Demyanov, VF, Stavroulakis, GE, Polyakova, LN, Panagiotopoulos, PD "Cuasidiferenciabilidad y modelado no suave en mecánica, ingeniería y economía" Springer 1996
• Glocker, cap. Dynamik von Starrkoerpersystemen mit Reibung und Stoessen , volumen 18/182 de VDI Fortschrittsberichte Mechanik/Bruchmechanik. Editorial VDI, Düsseldorf, 1995
• Glocker Ch. y Studer C. Formulación y preparación para la evaluación numérica de sistemas de complementariedad lineal. Multibody System Dynamics 13(4):447-463, 2005
• Jean M. El método de dinámica de contacto no suave. Métodos informáticos en mecánica aplicada e ingeniería 177(3-4):235-257, 1999
• Moreau JJ Contacto unilateral y fricción seca en dinámica de libertad finita, volumen 302 de Mecánica no uniforme y aplicaciones, Cursos y conferencias del CISM . Springer, Viena, 1988
• Pfeiffer F., Foerg M. y Ulbrich H. Aspectos numéricos de la dinámica de cuerpos múltiples no uniformes. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg 195(50-51):6891-6908, 2006
• Potra FA, Anitescu M., Gavrea B. y Trinkle J. Un método trapezoidal linealmente implícito para integrar dinámicas multicuerpo rígidas con contactos, uniones y fricción. Int. J. Numer. Meth. Engng 66(7):1079-1124, 2006
• Stewart DE y Trinkle JC Un esquema implícito de pasos de tiempo para dinámica de cuerpos rígidos con colisiones inelásticas y fricción de Coulomb. Int. J. Numer. Methods Engineering 39(15):2673-2691, 1996
• Studer C. Integración aumentada de sistemas dinámicos no suaves mediante pasos de tiempo , tesis doctoral ETH Zurich, ETH E-Collection, a publicarse en 2008
• Studer C. Datos numéricos de contactos unilaterales y fricción: modelado e integración numérica en el tiempo en dinámicas no suaves , Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics, Volumen 47, Springer, Berlín, Heidelberg, 2009