exponente de incertidumbre

En matemáticas, el exponente de incertidumbre es un método para medir la dimensión fractal de un límite de cuenca. En un sistema de dispersión caótica , el conjunto invariante del sistema no suele ser directamente accesible porque no es atractivo y, por lo general, de medida cero. Por lo tanto, la única forma de inferir la presencia de miembros y medir las propiedades del conjunto invariante es a través de las cuencas de atracción . Nótese que en un sistema de dispersión, las cuencas de atracción no son ciclos límite , por lo tanto, no constituyen miembros del conjunto invariante.

Supongamos que empezamos con una trayectoria aleatoria y la perturbamos en una pequeña cantidad, , en una dirección aleatoria. Si la nueva trayectoria termina en una cuenca diferente de la anterior, entonces se llama épsilon incierta . Si tomamos una gran cantidad de tales trayectorias, entonces la fracción de ellas que son épsilon inciertas es la fracción de incertidumbre , , y esperamos que escale exponencialmente con : ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle f(\epsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle f(\varepsilon )\sim \varepsilon ^{\gamma }\,}$

Por tanto, el exponente de incertidumbre, , se define de la siguiente manera: ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \gamma =\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\ln f(\varepsilon )}{\ln \varepsilon }}}$

Se puede demostrar que el exponente de incertidumbre se aproxima a la dimensión de conteo de cajas de la siguiente manera:

${\displaystyle D_{0}=N-\gamma \,}$

donde N es la dimensión de incrustación . Consulte el artículo sobre mezcla caótica para ver un ejemplo de cálculo numérico de la dimensión de incertidumbre en comparación con la dimensión de conteo de cajas.

Referencias

• C. Grebogi, SW McDonald, E. Ott y JA Yorke, Sensibilidad del estado final: un obstáculo a la previsibilidad , Phys. Letters 99A: 415-418 (1983).
• Edward Ott (1993). Caos en sistemas dinámicos . Cambridge University Press .