Funciones trigonométricas de matrices

Funciones importantes en la resolución de ecuaciones diferenciales

Las funciones trigonométricas (especialmente seno y coseno ) para matrices cuadradas complejas aparecen en soluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales de segundo orden . ^[1] Se definen mediante la misma serie de Taylor que se cumple para las funciones trigonométricas de números complejos : ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin X&=X-{\frac {X^{3}}{3!}}+{\frac {X^{5}}{5!}}-{\frac {X^{7}}{7!}}+\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}X^{2n+1}\\\cos X&=I-{\frac {X^{2}}{2!}}+{\frac {X^{4}}{4!}}-{\frac {X^{6}}{6!}}+\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}X^{2n}\end{aligned}}}$

siendo X ⁿ la potencia n de la matriz X , y siendo I la matriz identidad de dimensiones apropiadas .

De manera equivalente, se pueden definir utilizando la matriz exponencial junto con la matriz equivalente de la fórmula de Euler , e ^iX = cos X + i sin X , obteniéndose

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin X&={e^{iX}-e^{-iX} \over 2i}\\\cos X&={e^{iX}+e^{-iX} \over 2}.\end{aligned}}}$

Por ejemplo, tomando X como una matriz de Pauli estándar ,

${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}~,}$

Uno tiene

${\displaystyle \sin(\theta \sigma _{1})=\sin(\theta )~\sigma _{1},\qquad \cos(\theta \sigma _{1})=\cos(\theta )~I~,}$

así como, para la función seno cardinal ,

${\displaystyle \operatorname {sinc} (\theta \sigma _{1})=\operatorname {sinc} (\theta )~I.}$

Propiedades

El análogo de la identidad trigonométrica pitagórica se cumple: ^[2]

${\displaystyle \sin ^{2}X+\cos ^{2}X=I}$

Si X es una matriz diagonal , sen X y cos X también son matrices diagonales con (sen X ) _nn = sen( X _nn ) y (cos X ) _nn = cos( X _nn ) , es decir, se pueden calcular simplemente tomando los senos o cosenos de los componentes diagonales de las matrices.

Los análogos de las fórmulas de adición trigonométrica son verdaderos si y sólo si XY = YX : ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(X\pm Y)=\sin X\cos Y\pm \cos X\sin Y\\\cos(X\pm Y)=\cos X\cos Y\mp \sin X\sin Y\end{aligned}}}$

Otras funciones

La tangente, así como las funciones trigonométricas inversas , hiperbólicas e hiperbólicas inversas también se han definido para matrices: ^[3]

${\displaystyle \arcsin X=-i\ln \left(iX+{\sqrt {I-X^{2}}}\right)}$(ver Funciones trigonométricas inversas#Formas logarítmicas , Logaritmo matricial , Raíz cuadrada de una matriz )

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh X&={e^{X}-e^{-X} \over 2}\\\cosh X&={e^{X}+e^{-X} \over 2}\end{aligned}}}$

etcétera.

Referencias

1. Gareth I. Hargreaves; Nicholas J. Higham (2005). "Algoritmos eficientes para el coseno y el seno de la matriz" (PDF) . Numerical Analysis Report . 40 (461). Manchester Centre for Computational Mathematics: 383. Bibcode :2005NuAlg..40..383H. doi :10.1007/s11075-005-8141-0. S2CID  1242875.
2. Nicholas J. Higham (2008). Funciones de matrices: teoría y cálculo . pp. 287 y siguientes. ISBN 978-0-89871-777-8.
3. Trigonometría Scilab.