La paradoja de la caja de Bertrand es una paradoja verídica en la teoría de la probabilidad elemental . Fue planteado por primera vez por Joseph Bertrand en su obra Calcul des Probabilités de 1889 .
Hay tres cajas:
Elige una casilla al azar. De esta caja, retira una moneda al azar. Si resulta que es una moneda de oro, ¿cuál es la probabilidad de que la siguiente moneda extraída de la misma caja también sea una moneda de oro?
Una paradoja verídica es una paradoja cuya solución correcta parece contraintuitiva. Puede parecer intuitivo que la probabilidad de que la moneda restante sea oro sea 1/2 , pero la probabilidad en realidad es 2/3 . [1] Bertrand demostró que si 1/2 fueran correctos, resultaría en una contradicción, así que 1/2 no puede ser correcto.
Este acertijo simple pero contradictorio se utiliza como ejemplo estándar en la enseñanza de la teoría de la probabilidad. La solución ilustra algunos principios básicos, incluidos los axiomas de Kolmogorov .
El problema se puede reformular describiendo las cajas como si cada una tuviera un cajón en cada uno de los dos lados. Cada cajón contiene una moneda. Una caja tiene una moneda de oro en cada lado ( GG ), una una moneda de plata en cada lado ( SS ), y la otra una moneda de oro en un lado y una moneda de plata en el otro ( GS ). Se elige una caja al azar, se abre un cajón al azar y en su interior se encuentra una moneda de oro. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda del otro lado sea de oro?
El siguiente razonamiento erróneo parece dar una probabilidad de 1/2 :
El defecto está en el último paso. Si bien esos dos casos eran originalmente igualmente probables, el hecho de que esté seguro de encontrar una moneda de oro si hubiera elegido la caja GG , pero sólo esté 50% seguro de encontrar una moneda de oro si hubiera elegido la caja GS , significa que son ya no es igualmente probable dado que has encontrado una moneda de oro. Específicamente:
Inicialmente GG , SS y GS son igualmente probables . Por tanto, según la regla de Bayes la probabilidad condicional de que la caja elegida sea GG , dado que hemos observado una moneda de oro, es:
La respuesta correcta de 2/3 también se puede obtener de la siguiente manera:
El propósito de Bertrand al construir este ejemplo fue mostrar que simplemente contar los casos no siempre es apropiado. En lugar de ello, se deberían sumar las probabilidades de que los casos produzcan el resultado observado; y los dos métodos son equivalentes sólo si esta probabilidad es 1 o 0 en todos los casos. Esta condición se aplica correctamente con el segundo método de solución, pero no con el primero. [ cita necesaria ]
En una encuesta realizada a 53 estudiantes de primer año de Psicología que tomaban un curso introductorio de probabilidad, 35 respondieron incorrectamente 1/2 ; solo 3 estudiantes respondieron correctamente 2/3 . [2]
Otras paradojas verídicas de la probabilidad incluyen:
Los problemas de Monty Hall y Los tres prisioneros son matemáticamente idénticos a la paradoja de la caja de Bertrand. La construcción de la paradoja del Niño o la Niña es similar, esencialmente agregando una cuarta caja con una moneda de oro y una moneda de plata. Su respuesta es controvertida, basada en cómo se supone que se eligió el "cajón".
