La paradoja del niño o la niña rodea un conjunto de preguntas de la teoría de la probabilidad , que también se conocen como El problema de los dos niños , [1] Los hijos del Sr. Smith [2] y el Problema de la Sra. Smith . La formulación inicial de la pregunta se remonta al menos a 1959, cuando Martin Gardner la presentó en su columna "Juegos matemáticos " de octubre de 1959 en Scientific American . Lo tituló El problema de los dos niños y expresó la paradoja de la siguiente manera:
Gardner inicialmente dio las respuestas.1/2y1/3, respectivamente, pero luego reconoció que la segunda pregunta era ambigua. [1] Su respuesta podría ser1/2, dependiendo del procedimiento mediante el cual se obtuvo la información "al menos uno de ellos es un niño". La ambigüedad, dependiendo de la redacción exacta y las posibles suposiciones, fue confirmada por Maya Bar-Hillel y Ruma Falk , [3] y Raymond S. Nickerson . [4]
Otras variantes de esta pregunta, con distintos grados de ambigüedad, han sido popularizadas por Ask Marilyn en Parade Magazine , [5] John Tierney de The New York Times , [6] y Leonard Mlodinow en The Drunkard's Walk . [7] Un estudio científico demostró que cuando se transmitía información idéntica, pero con diferentes formulaciones parcialmente ambiguas que enfatizaban diferentes puntos, el porcentaje de estudiantes de MBA que respondieron1/2pasó del 85% al 39%. [2]
La paradoja ha estimulado una gran controversia. [4] La paradoja surge de si la configuración del problema es similar para las dos preguntas. [2] [7] La respuesta intuitiva es1/2. [2] Esta respuesta es intuitiva si la pregunta lleva al lector a creer que existen dos posibilidades igualmente probables para el sexo [nota 1] del segundo hijo (es decir, niño y niña), [2] y que la probabilidad de estas Los resultados son absolutos, no condicionales . [8]
Primero, se supone que el espacio de todos los eventos posibles se puede enumerar fácilmente, proporcionando una definición extensiva de los resultados: {BB, BG, GB, GG}. [9] Esta notación indica que hay cuatro combinaciones posibles de niños, etiquetando a los niños B y a las niñas G, y usando la primera letra para representar al niño mayor. En segundo lugar, se supone que estos resultados son igualmente probables. [9] Esto implica el siguiente modelo , un proceso de Bernoulli con p = 1/2:
Bajo los supuestos antes mencionados, en este problema se selecciona una familia aleatoria. En este espacio muestral, hay cuatro eventos igualmente probables :
Sólo dos de estos posibles eventos cumplen con los criterios especificados en la pregunta (es decir, GG, GB). Dado que las dos posibilidades en el nuevo espacio muestral {GG, GB} son igualmente probables, y sólo una de las dos, GG, incluye dos niñas, la probabilidad de que el niño menor también sea una niña es1/2.
Esta pregunta es idéntica a la pregunta uno, excepto que en lugar de especificar que el niño mayor es un niño, se especifica que al menos uno de ellos es un niño. En respuesta a las críticas de los lectores a la pregunta planteada en 1959, Gardner dijo que no es posible una respuesta sin información que no se proporcionó. En concreto, dos procedimientos diferentes para determinar que "al menos uno es un niño" podrían dar lugar a exactamente la misma redacción del problema. Pero conducen a diferentes respuestas correctas:
Grinstead y Snell sostienen que la pregunta es ambigua de la misma manera que lo hizo Gardner. [10] Dejan que el lector decida si el procedimiento, que arroja 1/3 como respuesta, es razonable para el problema mencionado anteriormente. La formulación de la pregunta que estaban considerando específicamente es la siguiente:
En esta formulación la ambigüedad está presente de manera más evidente, porque no está claro si se nos permite suponer que un niño específico es un niño, dejando al otro niño inseguro, o si se debe interpretar de la misma manera que "al menos un chico". Esta ambigüedad deja múltiples posibilidades que no son equivalentes y deja la necesidad de hacer suposiciones sobre cómo se obtuvo la información, como sostienen Bar-Hillel y Falk, donde diferentes suposiciones pueden conducir a diferentes resultados (porque el planteamiento del problema no estaba lo suficientemente bien definido para permiten una única interpretación y respuesta sencilla).
Por ejemplo, supongamos que un observador ve al Sr. Smith paseando con solo uno de sus hijos. Si tiene dos hijos, entonces ese hijo debe ser un niño. Pero si tiene un niño y una niña, ese niño podría haber sido una niña. Entonces, verlo con un niño elimina no solo las combinaciones en las que tiene dos niñas, sino también las combinaciones en las que tiene un hijo y una hija y elige con qué hija caminar.
Entonces, si bien es cierto que todo Sr. Smith posible tiene al menos un niño (es decir, la condición es necesaria), no se puede suponer que todo Sr. Smith con al menos un niño sea el previsto. Es decir, el planteamiento del problema no dice que tener un niño sea una condición suficiente para que se identifique que el Sr. Smith tiene un niño de esta manera.
Al comentar la versión de Gardner del problema, Bar-Hillel y Falk [3] señalan que "el Sr. Smith, a diferencia del lector, presumiblemente es consciente del sexo de sus dos hijos cuando hace esta afirmación", es decir, que "tengo dos niños y al menos uno de ellos es un niño." Se debe suponer además que el Sr. Smith siempre informaría este hecho si fuera cierto y permanecería en silencio o diría que tiene al menos una hija, para que la respuesta correcta sea1/3como aparentemente Gardner pretendía originalmente. Pero bajo ese supuesto, si permanece en silencio o dice que tiene una hija, hay un 100% de probabilidad de que tenga dos hijas.
Si se supone que esta información se obtuvo observando a ambos niños para ver si hay al menos un niño, la condición es necesaria y suficiente. Tres de los cuatro eventos igualmente probables para una familia de dos hijos en el espacio muestral anterior cumplen la condición, como se muestra en esta tabla:
Así, si se supone que ambos niños fueron considerados mientras se buscaba un niño, la respuesta a la pregunta 2 es1/3. Sin embargo, si primero se seleccionó la familia y luego se hizo una afirmación aleatoria y verdadera sobre el sexo de un niño de esa familia, se consideraron o no ambos, la forma correcta de calcular la probabilidad condicional es no contar todos los casos. que incluyan un niño de ese sexo. En cambio, se deben considerar sólo las probabilidades de que se haga la declaración en cada caso. [10] Entonces, si ALOB representa el evento donde la declaración es "al menos un niño", y ALOG representa el evento donde la declaración es "al menos una niña", entonces esta tabla describe el espacio muestral:
Entonces, si al menos uno es un niño cuando el hecho se elige al azar, la probabilidad de que ambos sean niños es
La paradoja se da cuando no se sabe cómo se generó la afirmación “al menos uno es niño”. Cualquiera de las respuestas podría ser correcta, según lo que se supone. [11]
Sin embargo, el "1/3"La respuesta se obtiene sólo asumiendo P(ALOB|BG) = P(ALOB|GB) =1, lo que implica P(ALOG|BG) = P(ALOG|GB) = 0, es decir, el sexo del otro niño nunca es mencionado aunque está presente. Como dicen Marks y Smith: "Sin embargo, este supuesto extremo nunca se incluye en la presentación del problema de los dos hijos y seguramente no es lo que la gente tiene en mente cuando lo presenta" .
Otra forma de analizar la ambigüedad (para la pregunta 2) es haciendo explícito el proceso generativo (todos los sorteos son independientes).
Siguiendo los argumentos de probabilidad clásicos, consideramos una urna grande que contiene dos niños. Suponemos la misma probabilidad de que sea niño o niña. Los tres casos discernibles son así:
Estas son las probabilidades previas .
Ahora agregamos el supuesto adicional de que "al menos uno es un niño" = B. Usando el teorema de Bayes , encontramos
donde P(A|B) significa "probabilidad de A dado B". P(B|BB) = probabilidad de que haya al menos un niño dado que ambos son niños = 1. P(BB) = probabilidad de que ambos niños sean =1/4de la distribución anterior. P(B) = probabilidad de que al menos uno sea niño, que incluye los casos BB y G·B =1/4+1/2=3/4.
Tenga en cuenta que, aunque la suposición natural parece ser una probabilidad de1/2, por lo que el valor derivado de1/3parece bajo, el valor "normal" real para P(BB) es1/4, entonces el1/3en realidad es un poco más alto .
La paradoja surge porque la segunda suposición es algo artificial, y cuando se describe el problema en un entorno real las cosas se ponen un poco complicadas. ¿Cómo sabemos que "al menos" uno es un niño? Una descripción del problema dice que miramos por una ventana y vemos solo un niño y es un niño. Esto suena como la misma suposición. Sin embargo, esto equivale a "muestrear" la distribución (es decir, sacar un niño de la urna, determinar que es un niño y luego reemplazarlo). Llamemos proposición "b" al enunciado "la muestra es un niño". Ahora tenemos:
La diferencia aquí es la P(b), que es simplemente la probabilidad de sacar un niño de todos los casos posibles (es decir, sin el "al menos"), lo cual es claramente1/2.
El análisis bayesiano se generaliza fácilmente al caso en el que relajamos el supuesto de población 50:50. Si no tenemos información sobre las poblaciones entonces asumimos un "anterior plano", es decir, P(GG) = P(BB) = P(G·B) =1/3. En este caso, el supuesto "al menos" produce el resultado P(BB|B) =1/2, y el supuesto de muestreo produce P(BB|b) =2/3, resultado también derivable de la Regla de Sucesión .
Tras la popularización de la paradoja por parte de Gardner, ésta ha sido presentada y discutida de diversas formas. La primera variante presentada por Bar-Hillel & Falk [3] queda redactada de la siguiente manera:
Bar-Hillel y Falk utilizan esta variante para resaltar la importancia de considerar los supuestos subyacentes. La respuesta intuitiva es1/2y, cuando se hacen las suposiciones más naturales, esto es correcto. Sin embargo, alguien puede argumentar que "... antes de que el Sr. Smith identifique al niño como su hijo, sólo sabemos que es padre de dos niños, BB, o de dos niñas, GG, o de una de cada uno de los dos". orden de nacimiento, es decir, BG o GB. Asumiendo nuevamente independencia y equiprobabilidad, comenzamos con una probabilidad de1/4que Smith es padre de dos niños. Descubrir que tiene al menos un niño descarta el evento GG. Como los tres eventos restantes eran equiprobables, obtenemos una probabilidad de1/3para BB." [3]
La suposición natural es que el Sr. Smith seleccionó al niño como compañero al azar. Si es así, como la combinación BB tiene el doble de probabilidad que BG o GB de haber dado como resultado al niño compañero de paseo (y la combinación GG tiene probabilidad cero, descartándola), la unión de los eventos BG y GB se vuelve equiprobable con el evento BB, y entonces la posibilidad de que el otro niño también sea niño es1/2. Bar-Hillel y Falk, sin embargo, sugieren un escenario alternativo. Imaginan una cultura en la que invariablemente se elige a los niños antes que a las niñas como compañeros de paseo. En este caso, se supone que las combinaciones de BB, BG y GB tienen la misma probabilidad de haber dado como resultado que el niño fuera un compañero de paseo y, por lo tanto, la probabilidad de que el otro niño también sea un niño es1/3.
En 1991, Marilyn vos Savant respondió a un lector que le pidió que respondiera una variante de la paradoja del Niño o la Niña que incluía a los beagles. [5] En 1996, volvió a publicar la pregunta en una forma diferente. Las preguntas de 1991 y 1996, respectivamente, estaban redactadas de la siguiente manera:
Con respecto a la segunda formulación, Vos Savant dio la respuesta clásica de que las posibilidades de que la mujer tenga dos hijos son aproximadamente1/3mientras que las posibilidades de que el hombre tenga dos hijos son aproximadamente1/2. En respuesta a la respuesta de los lectores que cuestionaron su análisis, vos Savant realizó una encuesta entre lectores que tenían exactamente dos hijos, de los cuales al menos uno era un niño. De 17.946 respuestas, el 35,9% informó dos niños. [9]
Los artículos de Vos Savant fueron discutidos por Carlton y Stansfield [9] en un artículo de 2005 en The American Statistician . Los autores no discuten la posible ambigüedad en la pregunta y concluyen que su respuesta es correcta desde una perspectiva matemática, dados los supuestos de que la probabilidad de que un niño sea niño o niña es igual, y que el sexo del segundo hijo es independiente. del primero. Con respecto a su encuesta, dicen que "al menos valida la afirmación correcta de vos Savant de que las" posibilidades "planteadas en la pregunta original, aunque suenan similares, son diferentes, y que la primera probabilidad es ciertamente más cercana a 1 entre 3 que a 1 en 2."
Carlton y Stansfield continúan analizando los supuestos comunes en la paradoja del niño o la niña. Demuestran que, en realidad, los hijos varones tienen más probabilidades que las niñas, y que el sexo del segundo hijo no es independiente del sexo del primero. Los autores concluyen que, aunque los supuestos de la pregunta van en contra de las observaciones, la paradoja todavía tiene valor pedagógico, ya que "ilustra una de las aplicaciones más intrigantes de la probabilidad condicional". [9] Por supuesto, los valores de probabilidad reales no importan; El propósito de la paradoja es demostrar una lógica aparentemente contradictoria, no las tasas de natalidad reales.
Supongamos que nos dijeran no sólo que el señor Smith tiene dos hijos, y uno de ellos es un niño, sino también que el niño nació un martes: ¿cambia esto los análisis anteriores? Nuevamente, la respuesta depende de cómo se presentó esta información: qué tipo de proceso de selección produjo este conocimiento.
Siguiendo la tradición del problema, supongamos que en la población de familias con dos hijos, el sexo de los dos hijos es independiente entre sí, con la misma probabilidad niño o niña, y que la fecha de nacimiento de cada hijo es independiente de la del otro hijo. . La probabilidad de nacer en cualquier día de la semana es1/7.
Del teorema de Bayes, la probabilidad de tener dos niños, dado que un niño nació un martes, está dada por:
Supongamos que la probabilidad de nacer un martes es ε = 1/7que se establecerá después de llegar a la solución general. El segundo factor en el numerador es simplemente1/4, la probabilidad de tener dos hijos. El primer término del numerador es la probabilidad de que al menos un niño nazca el martes, dado que la familia tiene dos niños, o 1 − (1 − ε ) 2 (uno menos la probabilidad de que ninguno de los niños nazca el martes). Para el denominador, descompongamos: . Cada término está ponderado con probabilidad.1/4. El primer término ya se conoce por la observación anterior, el último término es 0 (no hay niños). y es ε , hay un solo niño, por lo que tiene ε posibilidades de nacer en martes. Por lo tanto, la ecuación completa es:
Si ε ahora se establece en1/7, la probabilidad se vuelve13/27, o alrededor de 0,48. De hecho, cuando ε se acerca a 0, la probabilidad total es1/2, que es la respuesta esperada cuando se toma la muestra de un niño (por ejemplo, el hijo mayor es un niño) y, por lo tanto, se elimina del grupo de posibles niños. En otras palabras, a medida que se dan más y más detalles sobre el niño (por ejemplo: nació el 1 de enero), la probabilidad de que el otro niño sea una niña se acerca a la mitad.
Parece que se introdujo información bastante irrelevante, pero la probabilidad del sexo del otro niño ha cambiado drásticamente con respecto a lo que era antes (la probabilidad de que el otro niño fuera una niña era menor).2/3, cuando no se sabía que el niño nació el martes).
Para entender por qué es así, imaginemos que la encuesta de lectores de Marilyn vos Savant hubiera preguntado qué día de la semana nacían los niños de la familia. Si Marilyn luego dividiera todo el conjunto de datos en siete grupos (uno por cada día de la semana en que nació el hijo), seis de siete familias con dos niños se contarían en dos grupos (el grupo para el día de la semana en que nació el niño). 1, y el grupo del día de la semana de nacimiento del niño 2), duplicando, en cada grupo, la probabilidad de una combinación niño-niño.
Sin embargo, ¿es realmente plausible que la familia con al menos un niño nacido un martes se haya producido eligiendo sólo una de esas familias al azar? Es mucho más fácil imaginar el siguiente escenario.
Supongamos que cuál de los dos niños abre la puerta está determinado por el azar. Luego el procedimiento fue (1) escoger una familia de dos hijos al azar de todas las familias de dos hijos (2) escoger uno de los dos hijos al azar, (3) ver si es un niño y preguntar en qué día nació . La posibilidad de que el otro niño sea una niña es1/2. Este es un procedimiento muy diferente de (1) escoger al azar una familia de dos hijos entre todas las familias con dos hijos, al menos uno varón, nacidos un martes. La probabilidad de que la familia esté formada por un niño y una niña es14/27, aproximadamente 0,52.
Esta variante del problema del niño y la niña se discute en muchos blogs de Internet y es el tema de un artículo de Ruma Falk. [12] La moraleja de la historia es que estas probabilidades no dependen sólo de la información conocida, sino de cómo se obtuvo esa información.
Desde el punto de vista del análisis estadístico, la pregunta pertinente suele ser ambigua y, como tal, no existe una respuesta "correcta". Sin embargo, esto no agota la paradoja del niño o la niña, ya que no es necesariamente la ambigüedad la que explica cómo se deriva la probabilidad intuitiva. Una encuesta como la de vos Savant sugiere que la mayoría de las personas adoptan una comprensión del problema de Gardner que, si fueran consistentes, los llevaría a la siguiente solución.1/3respuesta de probabilidad, pero abrumadoramente la gente llega intuitivamente a la1/2respuesta de probabilidad. A pesar de la ambigüedad, esto hace que el problema sea de interés para los investigadores psicológicos que buscan comprender cómo los humanos estiman la probabilidad.
Fox y Levav (2004) utilizaron el problema (llamado problema del Sr. Smith , atribuido a Gardner, pero no redactado exactamente igual que la versión de Gardner) para probar teorías sobre cómo las personas estiman probabilidades condicionales. [2] En este estudio, la paradoja se planteó a los participantes de dos maneras:
Los autores sostienen que la primera formulación da al lector la impresión errónea de que hay dos resultados posibles para el "otro niño", [2] mientras que la segunda formulación le da al lector la impresión de que hay cuatro resultados posibles, de los cuales uno ha sido rechazado (lo que resulta en1/3siendo la probabilidad de que ambos niños sean niños, ya que quedan 3 resultados posibles, de los cuales solo uno es que ambos niños sean niños). El estudio encontró que el 85% de los participantes respondieron1/2para la primera formulación, mientras que sólo el 39% respondió así a la segunda formulación. Los autores argumentaron que la razón por la que las personas responden de manera diferente a cada pregunta (junto con otros problemas similares, como el problema de Monty Hall y la paradoja de la caja de Bertrand ) es por el uso de heurísticas ingenuas que no logran definir adecuadamente el número de resultados posibles. [2]
