Transición de Berezinskii-Kosterlitz-Thouless

Transición de fase en el modelo XY bidimensional (2-D)

La transición Berezinskii–Kosterlitz–Thouless ( BKT ) es una transición de fase del modelo bidimensional (2-D) XY en física estadística . Es una transición de pares vórtice-antivórtice ligados a bajas temperaturas a vórtices y antivórtices no apareados a alguna temperatura crítica. La transición recibe su nombre de los físicos de materia condensada Vadim Berezinskii , John M. Kosterlitz y David J. Thouless . ^[1] Las transiciones BKT se pueden encontrar en varios sistemas 2-D en física de materia condensada que se aproximan mediante el modelo XY, incluidas las matrices de uniones Josephson y las películas granulares superconductoras desordenadas delgadas . ^[2] Más recientemente, el término ha sido aplicado por la comunidad de transición de aislante de superconductores 2-D a la fijación de pares de Cooper en el régimen aislante, debido a las similitudes con la transición BKT de vórtice original.

La densidad crítica de la transición BKT en el sistema de interacción débil es ^[3]

${\displaystyle n_{\text{c}}={\frac {mT}{2\pi }}\ln {\frac {\xi }{mU}}}$

donde se encontró que la constante adimensional era . ^[4] ${\displaystyle \xi =380\pm 3}$

El trabajo sobre la transición condujo a que Thouless y Kosterlitz recibieran el Premio Nobel de Física en 2016; Berezinskii murió en 1981.

Modelo XY

El modelo XY es un modelo de espín vectorial bidimensional que posee simetría circular o U(1) . No se espera que este sistema posea una transición de fase normal de segundo orden . Esto se debe a que la fase ordenada esperada del sistema se destruye por fluctuaciones transversales, es decir, los modos de Nambu-Goldstone asociados con esta simetría continua rota , que divergen logarítmicamente con el tamaño del sistema. Este es un caso específico de lo que se denomina el teorema de Mermin-Wagner en sistemas de espín.

Rigurosamente la transición no se entiende completamente, pero la existencia de dos fases fue probada por McBryan y Spencer (1977) y Fröhlich y Spencer (1981).

Fases desordenadas con diferentes correlaciones

En el modelo XY en dos dimensiones no se observa una transición de fase de segundo orden. Sin embargo, se encuentra una fase cuasiordenada de baja temperatura con una función de correlación (ver mecánica estadística ) que decrece con la distancia como una potencia, que depende de la temperatura. La transición de la fase desordenada de alta temperatura con la correlación exponencial a esta fase cuasiordenada de baja temperatura es una transición de Kosterlitz-Thouless. Es una transición de fase de orden infinito.

Papel de los vórtices

En el modelo XY bidimensional, los vórtices son configuraciones topológicamente estables. Se ha descubierto que la fase desordenada de alta temperatura con decaimiento de correlación exponencial es resultado de la formación de vórtices. La generación de vórtices se vuelve termodinámicamente favorable a la temperatura crítica de la transición de Kosterlitz-Thouless. A temperaturas inferiores a esta, la generación de vórtices tiene una correlación de ley de potencia. ${\displaystyle T_{\text{c}}}$

Las transiciones de Kosterlitz-Thouless se describen como una disociación de pares de vórtices ligados con circulaciones opuestas, llamados pares vórtice-antivórtice, descritos por primera vez por Vadim Berezinskii . En estos sistemas, la generación térmica de vórtices produce un número par de vórtices de signo opuesto. Los pares vórtice-antivórtice ligados tienen energías más bajas que los vórtices libres, pero también tienen una entropía más baja. Para minimizar la energía libre, , el sistema experimenta una transición a una temperatura crítica, . Por debajo de , solo hay pares vórtice-antivórtice ligados. Por encima de , hay vórtices libres. ${\displaystyle F=E-TS}$ ${\displaystyle T_{\text{c}}}$ ${\displaystyle T_{\text{c}}}$ ${\displaystyle T_{\text{c}}}$

Descripción informal

Existe un elegante argumento termodinámico para la transición de Kosterlitz-Thouless. La energía de un único vórtice es , donde es un parámetro que depende del sistema en el que se encuentra el vórtice, es el tamaño del sistema y es el radio del núcleo del vórtice. Se supone que . En el sistema 2D, el número de posiciones posibles de un vórtice es aproximadamente . A partir de la fórmula de entropía de Boltzmann , (donde W es el número de estados), la entropía es , donde es la constante de Boltzmann . Por lo tanto, la energía libre de Helmholtz es ${\displaystyle \kappa \ln(R/a)}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R\gg a}$ ${\displaystyle (R/a)^{2}}$ ${\displaystyle S=k_{\rm {B}}\ln W}$ ${\displaystyle S=2k_{\rm {B}}\ln(R/a)}$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$

${\displaystyle F=E-TS=(\kappa -2k_{\rm {B}}T)\ln(R/a).}$

Cuando , el sistema no tendrá un vórtice. Por otro lado, cuando , las consideraciones entrópicas favorecen la formación de un vórtice. La temperatura crítica por encima de la cual se pueden formar vórtices se puede encontrar mediante el ajuste y se da por ${\displaystyle F>0}$ ${\displaystyle F<0}$ ${\displaystyle F=0}$

${\displaystyle T_{\text{c}}={\frac {\kappa }{2k_{\rm {B}}}}.}$

La transición de Kosterlitz-Thouless se puede observar experimentalmente en sistemas como matrices de uniones Josephson 2D tomando medidas de corriente y voltaje (IV). Por encima de , la relación será lineal . Justo debajo de , la relación será , ya que el número de vórtices libres irá como . Este salto de la dependencia lineal es indicativo de una transición de Kosterlitz-Thouless y se puede utilizar para determinar . Este enfoque se utilizó en Resnick et al. ^{[5] para confirmar la transición de Kosterlitz-Thouless en matrices} de uniones Josephson acopladas por proximidad . ${\displaystyle T_{\text{c}}}$ ${\displaystyle V\sim I}$ ${\displaystyle T_{c}}$ ${\displaystyle V\sim I^{3}}$ ${\displaystyle I^{2}}$ ${\displaystyle T_{\text{c}}}$

Análisis teórico de campos

En la siguiente discusión se utilizan métodos de teoría de campos. Supongamos que hay un campo φ(x) definido en el plano que toma valores en , de modo que se identifica con . Es decir, el círculo se realiza como . ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \phi (x)+2\pi }$ ${\displaystyle S^{1}=\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$

La energía viene dada por

${\displaystyle E=\int {\frac {1}{2}}\nabla \phi \cdot \nabla \phi \,d^{2}x}$

y el factor de Boltzmann es . ${\displaystyle \exp(-\beta E)}$

Tomando una integral de contorno sobre cualquier trayectoria cerrada contráctil , esperaríamos que fuera cero (por ejemplo, por el teorema fundamental del cálculo . Sin embargo, este no es el caso debido a la naturaleza singular de los vórtices (que dan singularidades en ). ${\displaystyle \textstyle \oint _{\gamma }d\phi =\oint _{\gamma }{\frac {d\phi }{dx}}dx}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \phi }$

Para que la teoría quede bien definida, se define únicamente hasta una escala de corte energética , de modo que podamos perforar el plano en los puntos donde se encuentran los vórtices, eliminando regiones con un tamaño de orden . Si se enrolla en sentido antihorario una vez alrededor de una perforación, la integral de contorno es un múltiplo entero de . El valor de este entero es el índice del campo vectorial . ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle 1/\Lambda }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \textstyle \oint _{\gamma }d\phi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \nabla \phi }$

Supongamos que una configuración de campo dada tiene perforaciones ubicadas en cada una con índice . Entonces, se descompone en la suma de una configuración de campo sin perforaciones, y , donde hemos cambiado a las coordenadas del plano complejo por conveniencia. La función de argumento complejo tiene un corte de rama, pero, debido a que está definida módulo , no tiene consecuencias físicas. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{i},i=1,\dots ,N}$ ${\displaystyle n_{i}=\pm 1}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi _{0}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{N}n_{i}\arg(z-z_{i})}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle 2\pi }$

Ahora,

${\displaystyle E=\int {\frac {1}{2}}\nabla \phi _{0}\cdot \nabla \phi _{0}\,d^{2}x+\sum _{1\leq i<j\leq N}n_{i}n_{j}\int {\frac {1}{2}}\nabla \ \arg(z-z_{i})\cdot \nabla \arg(z-z_{j})\,d^{2}x}$

Si , el segundo término es positivo y diverge en el límite : las configuraciones con números desequilibrados de vórtices de cada orientación nunca son favorecidas energéticamente. ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{N}n_{i}\neq 0}$ ${\displaystyle \Lambda \to \infty }$

Sin embargo, si se cumple la condición neutra , el segundo término es igual a , que es la energía potencial total de un gas de Coulomb bidimensional . La escala L es una escala arbitraria que hace que el argumento del logaritmo sea adimensional. ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{N}n_{i}=0}$ ${\displaystyle \textstyle -2\pi \sum _{1\leq i<j\leq N}n_{i}n_{j}\ln(|x_{j}-x_{i}|/L)}$

Supongamos el caso con solo vórtices de multiplicidad . A bajas temperaturas y grandes, la distancia entre un par de vórtices y antivórtices tiende a ser extremadamente pequeña, esencialmente del orden de . A altas temperaturas y pequeñas, esta distancia aumenta, y la configuración favorecida se convierte efectivamente en la de un gas de vórtices y antivórtices libres. La transición entre las dos configuraciones diferentes es la transición de fase de Kosterlitz-Thouless, y el punto de transición está asociado con una disociación de los pares de vórtices y antivórtices. ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle 1/\Lambda }$ ${\displaystyle \beta }$

Véase también

• Teoría KTHNY
• Bosón de Goldstone
• Fermión compuesto
• Transición lambda
• Modelo de Ising
• Modelo de Potts
• Defecto topológico
• Vórtice cuántico
• Película superfluida
• Fase hexática

Notas

1. Kosterlitz, JM; Thouless, DJ (noviembre de 1972). "Ordenamiento, metaestabilidad y transiciones de fase en sistemas bidimensionales". Journal of Physics C: Solid State Physics . 6 (7): 1181–1203. Bibcode :1973JPhC....6.1181K. doi :10.1088/0022-3719/6/7/010. ISSN  0022-3719.
2. Tinkham, Michael (1906). Introducción a la superconductividad (2.ª ed.). Mineola, Nueva York: Dover Publications, INC., págs. 237-239. ISBN 0486435032.
3. Integrales funcionales en la teoría cuántica de campos y la física estadística.
4. Prokof'Ev, Nikolay; Ruebenacker, Oliver; Svistunov, Boris (2001). "Punto crítico de un gas de Bose bidimensional de interacción débil". Physical Review Letters . 87 (27): 270402. arXiv : cond-mat/0106075 . Código Bibliográfico :2001PhRvL..87.0402P. doi :10.1103/PhysRevLett.87.270402. PMID  11800861.
5. Resnick y otros 1981.

Referencias

• Березинский, В. Л. (1970), "Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах с непрерывной группой симетрии I. Классические", ЖЭТФ (en ruso), 59 (3): 907–920. Traducción disponible: Berezinskii, VL (1971), "Destrucción del orden de largo alcance en sistemas unidimensionales y bidimensionales que tienen un grupo de simetría continuo I. Sistemas clásicos" (PDF) , Sov. Phys. JETP , 32 (3): 493–500, Bibcode :1971JETP...32..493B
• Березинский, В. Л. (1971), "Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах с непрерывной группой симетрии II. Квантовые SISTEMы", ЭТФ (en ruso), 61 (3): 1144–1156. Traducción disponible: Berezinskii, VL (1972), "Destrucción del orden de largo alcance en sistemas unidimensionales y bidimensionales que tienen un grupo de simetría continuo II. Sistemas cuánticos" (PDF) , Sov. Phys. JETP , 34 (3): 610–616, Bibcode :1972JETP...34..610B
• Kosterlitz, JM; Thouless, DJ (1973), "Ordenamiento, metaestabilidad y transiciones de fase en sistemas bidimensionales", Journal of Physics C: Solid State Physics , 6 (7): 1181–1203, Bibcode :1973JPhC....6.1181K, doi :10.1088/0022-3719/6/7/010
• McBryan, O.; Spencer, T. (1977), "Sobre la desintegración de correlaciones en ferroimanes SO(n)-simétricos", Commun. Math. Phys. , 53 (3): 299, Bibcode :1977CMaPh..53..299M, doi :10.1007/BF01609854, S2CID  119587247
• BI Halperin , DR Nelson , Phys. Rev. Lett. 41, 121 (1978)
• AP Young, Phys. Rev. B 19, 1855 (1979)
• Resnick, DJ; Garland, JC; Boyd, JT; Shoemaker, S.; Newrock, RS (1981), "Transición de Kosterlitz-Thouless en matrices superconductoras acopladas por proximidad", Phys. Rev. Lett. , 47 (21): 1542, Bibcode :1981PhRvL..47.1542R, doi :10.1103/PhysRevLett.47.1542
• Fröhlich, Jürg; Spencer, Thomas (1981), "La transición de Kosterlitz–Thouless en sistemas de espín abeliano bidimensionales y el gas de Coulomb", Comm. Math. Phys. , 81 (4): 527–602, Bibcode :1981CMaPh..81..527F, doi :10.1007/bf01208273, S2CID  73555642
• Z. Hadzibabic; et al. (2006), "Cruce de Berezinskii–Kosterlitz–Thouless en un gas atómico atrapado", Nature , 41 (7097): 1118–21, arXiv : cond-mat/0605291 , Bibcode :2006Natur.441.1118H, doi :10.1038/nature04851, PMID  16810249, S2CID  4314014
• M. Mondal; et al. (2011), "El papel de la energía del vórtice-núcleo en la transición Beresinkii-Kosterlitz-Thouless en películas delgadas de NbN", Phys. Rev. Lett. , 107 (21): 217003, arXiv : 1108.0912 , Bibcode :2011PhRvL.107u7003M, doi :10.1103/PhysRevLett.107.217003, PMID  22181915, S2CID  34729666

Libros

• JV Jose, 40 años de la teoría de Berezinskii-Kosterlitz-Thouless , World Scientific , 2013, ISBN 978-981-4417-65-5 
• H. Kleinert , Gauge Fields in Condensed Matter , Vol. I, "SUPERFLOW AND VORTEX LINES", págs. 1–742, World Scientific (Singapur, 1989); ISBN de tapa blanda 9971-5-0210-0 (también disponible en línea: Vol. I. Leer págs. 618–688); 
• H. Kleinert , Campos multivalores en materia condensada, electrodinámica y gravitación , World Scientific (Singapur, 2008) (también disponible en línea: aquí)