Estimación de Prais-Winsten

En econometría , la estimación de Prais-Winsten es un procedimiento destinado a ocuparse de la correlación serial de tipo AR(1) en un modelo lineal . Concebida por Sigbert Prais y Christopher Winsten en 1954, ^[1] es una modificación de la estimación de Cochrane-Orcutt en el sentido de que no pierde la primera observación, lo que conduce a una mayor eficiencia como resultado y la convierte en un caso especial de mínimos cuadrados generalizados factibles . ^[2]

Teoría

Considere el modelo

${\displaystyle y_{t}=\alpha +X_{t}\beta +\varepsilon _{t},\,}$

donde es la serie temporal de interés en el momento t , es un vector de coeficientes, es una matriz de variables explicativas y es el término de error . El término de error puede correlacionarse serialmente a lo largo del tiempo: y es ruido blanco. Además de la transformación de Cochrane-Orcutt, que es ${\displaystyle y_{t}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{t}=\rho \varepsilon _{t-1}+e_{t},\ |\rho |<1}$ ${\displaystyle e_{t}}$

${\displaystyle y_{t}-\rho y_{t-1}=\alpha (1-\rho )+(X_{t}-\rho X_{t-1})\beta +e_{t},\,}$

para t = 2,3,..., T , el procedimiento de Prais-Winsten realiza una transformación razonable para t = 1 en la siguiente forma:

${\displaystyle {\sqrt {1-\rho ^{2}}}y_{1}=\alpha {\sqrt {1-\rho ^{2}}}+\left({\sqrt {1-\rho ^{2}}}X_{1}\right)\beta +{\sqrt {1-\rho ^{2}}}\varepsilon _{1}.\,}$

Luego se realiza la estimación habitual de mínimos cuadrados .

Procedimiento de estimación

Primer aviso que

${\displaystyle \mathrm {var} (\varepsilon _{t})=\mathrm {var} (\rho \varepsilon _{t-1}+e_{it})=\rho ^{2}\mathrm {var} (\varepsilon _{t-1})+\mathrm {var} (e_{it})}$

Observando que para un proceso estacionario, la varianza es constante a lo largo del tiempo,

${\displaystyle (1-\rho ^{2})\mathrm {var} (\varepsilon _{t})=\mathrm {var} (e_{it})}$

y por lo tanto,

${\displaystyle \mathrm {var} (\varepsilon _{t})={\frac {\mathrm {var} (e_{it})}{(1-\rho ^{2})}}}$

Sin pérdida de generalidad supongamos que la varianza del ruido blanco es 1. Para hacer la estimación de forma compacta hay que mirar la función de autocovarianza del término de error considerado en el modelo blow:

${\displaystyle \mathrm {cov} (\varepsilon _{t},\varepsilon _{t+h})=\rho ^{h}\mathrm {var} (\varepsilon _{t})={\frac {\rho ^{h}}{1-\rho ^{2}}},{\text{ for }}h=0,\pm 1,\pm 2,\dots \,.}$

Es fácil ver que la matriz de varianza-covarianza , , del modelo es ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$

${\displaystyle \mathbf {\Omega } ={\begin{bmatrix}{\frac {1}{1-\rho ^{2}}}&{\frac {\rho }{1-\rho ^{2}}}&{\frac {\rho ^{2}}{1-\rho ^{2}}}&\cdots &{\frac {\rho ^{T-1}}{1-\rho ^{2}}}\\[8pt]{\frac {\rho }{1-\rho ^{2}}}&{\frac {1}{1-\rho ^{2}}}&{\frac {\rho }{1-\rho ^{2}}}&\cdots &{\frac {\rho ^{T-2}}{1-\rho ^{2}}}\\[8pt]{\frac {\rho ^{2}}{1-\rho ^{2}}}&{\frac {\rho }{1-\rho ^{2}}}&{\frac {1}{1-\rho ^{2}}}&\cdots &{\frac {\rho ^{T-3}}{1-\rho ^{2}}}\\[8pt]\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[8pt]{\frac {\rho ^{T-1}}{1-\rho ^{2}}}&{\frac {\rho ^{T-2}}{1-\rho ^{2}}}&{\frac {\rho ^{T-3}}{1-\rho ^{2}}}&\cdots &{\frac {1}{1-\rho ^{2}}}\end{bmatrix}}.}$

Teniendo (o una estimación de ello), vemos que, ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\hat {\Theta }}=(\mathbf {Z} ^{\mathsf {T}}\mathbf {\Omega } ^{-1}\mathbf {Z} )^{-1}(\mathbf {Z} ^{\mathsf {T}}\mathbf {\Omega } ^{-1}\mathbf {Y} ),\,}$

donde es una matriz de observaciones sobre la variable independiente ( X _t , t  = 1, 2, ...,  T ) que incluye un vector de unos, es un vector que apila las observaciones sobre la variable dependiente ( y _t , t  = 1, 2, ...,  T ) e incluye los parámetros del modelo. ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ ${\displaystyle {\hat {\Theta }}}$

Nota

Para ver por qué es razonable el supuesto de observación inicial establecido por Prais-Winsten (1954), resulta útil considerar la mecánica del procedimiento de estimación de mínimos cuadrados generalizados esbozado anteriormente. La inversa de se puede descomponer como en ^[3] ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$ ${\displaystyle \mathbf {\Omega } ^{-1}=\mathbf {G} ^{\mathsf {T}}\mathbf {G} }$

${\displaystyle \mathbf {G} ={\begin{bmatrix}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}&0&0&\cdots &0\\-\rho &1&0&\cdots &0\\0&-\rho &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$

Una premultiplicación del modelo en una notación matricial con esta matriz da el modelo transformado de Prais-Winsten.

Restricciones

El término de error todavía está restringido a ser de tipo AR(1). Si no se conoce, se puede utilizar un procedimiento recursivo ( estimación de Cochrane–Orcutt ) o una búsqueda en cuadrícula ( estimación de Hildreth–Lu ) para que la estimación sea factible. Como alternativa, Beach y MacKinnon han sugerido un procedimiento de máxima verosimilitud con información completa que estima todos los parámetros simultáneamente . ^{[4] [5]} ${\displaystyle \rho }$

Referencias

1. Prais, SJ; Winsten, CB (1954). "Estimadores de tendencia y correlación serial" (PDF) . Documento de debate de la Comisión Cowles n.º 383. Chicago.
2. Johnston, John (1972). Métodos econométricos (2.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pp. 259–265. ISBN 9780070326798.
3. Kadiyala, Koteswara Rao (1968). "Una transformación utilizada para sortear el problema de la autocorrelación". Econométrica . 36 (1): 93–96. doi :10.2307/1909605. JSTOR  1909605.
4. Beach, Charles M.; MacKinnon, James G. (1978). "Un procedimiento de máxima verosimilitud para la regresión con errores autocorrelacionados". Econometrica . 46 (1): 51–58. doi :10.2307/1913644. JSTOR  1913644.
5. Amemiya, Takeshi (1985). Econometría avanzada. Cambridge: Harvard University Press. págs. 190-191. ISBN 0-674-00560-0.

Lectura adicional

• Judge, George G.; Griffiths, William E.; Hill, R. Carter; Lee, Tsoung-Chao (1980). La teoría y la práctica de la econometría . Nueva York: Wiley. págs. 180-183. ISBN. 0-471-05938-2.
• Kmenta, Jan (1986). Elementos de econometría (segunda edición). Nueva York: Macmillan. Págs. 302-320. ISBN. 0-02-365070-2.