Transformación de Holstein-Primakoff

En mecánica cuántica , la transformación de Holstein-Primakoff es un mapeo de los operadores de creación y aniquilación de bosones a los operadores de espín , truncando efectivamente su espacio de Fock de dimensión infinita a subespacios de dimensión finita.

Un aspecto importante de la mecánica cuántica es la aparición, en general, de operadores no conmutantes que representan observables , cantidades que se pueden medir. Un ejemplo estándar de un conjunto de tales operadores son los tres componentes de los operadores de momento angular , que son cruciales en muchos sistemas cuánticos. Estos operadores son complicados y nos gustaría encontrar una representación más simple que pueda usarse para generar esquemas de cálculo aproximados.

La transformación fue desarrollada ^[1] en 1940 por Theodore Holstein , un estudiante de posgrado en ese momento, ^[2] y Henry Primakoff . Este método ha encontrado una amplia aplicabilidad y se ha extendido en muchas direcciones diferentes.

Existe un vínculo estrecho con otros métodos de mapeo de bosones de álgebras de operadores: en particular, la técnica (no hermitiana) de Dyson -Maleev ^{[3] [4]} y, en menor medida, el mapa de Jordan-Schwinger . ^[5] Existe, además, un estrecho vínculo con la teoría de estados coherentes (generalizados) en las álgebras de Lie .

Descripción

La idea básica puede ilustrarse con el ejemplo básico de los operadores de espín de la mecánica cuántica.

Para cualquier conjunto de ejes ortogonales diestros, defina los componentes de este operador vectorial como , y , que no se conmutan entre sí , es decir, y sus permutaciones cíclicas. ${\displaystyle S_{x}}$ ${\displaystyle S_{y}}$ ${\displaystyle S_{z}}$ ${\displaystyle \left[S_{x},S_{y}\right]=i\hbar S_{z}}$

Para especificar de forma única los estados de un giro, se puede diagonalizar cualquier conjunto de operadores de conmutación. Normalmente se utilizan los operadores Casimir SU(2) y , que conducen a estados con los números cuánticos , ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S_{z}}$ ${\displaystyle \left|s,m_{s}\right\rangle }$

${\displaystyle S^{2}\left|s,m_{s}\right\rangle =\hbar ^{2}s(s+1)\left|s,m_{s}\right\rangle ,}$

${\displaystyle S_{z}\left|s,m_{s}\right\rangle =\hbar m_{s}\left|s,m_{s}\right\rangle .}$

El número cuántico de proyección toma todos los valores . ${\displaystyle m_{s}}$ ${\displaystyle (-s,-s+1,\ldots ,s-1,s)}$

Considere una sola partícula de espín s (es decir, observe una única representación irreducible de SU(2)). Ahora tome el estado con proyección máxima , el estado de peso extremo como un vacío para un conjunto de operadores de bosones, y cada estado posterior con un número cuántico de proyección más bajo como una excitación de bosón del anterior, ${\displaystyle \left|s,m_{s}=+s\right\rangle }$

${\displaystyle \left|s,s-n\right\rangle \mapsto {\frac {1}{\sqrt {n!}}}\left(a^{\dagger }\right)^{n}|0\rangle _{B}~.}$

Cada bosón adicional corresponde entonces a una disminución de ħ en la proyección de espín. Por lo tanto, los operadores de subida y bajada de giro y , de modo que , corresponden (en el sentido que se detalla a continuación) a los operadores de creación y aniquilación bosónica, respectivamente. Se deben elegir las relaciones precisas entre los operadores para garantizar las relaciones de conmutación correctas para los operadores de espín, de modo que actúen en un espacio de dimensión finita, a diferencia del espacio de Fock original. ${\displaystyle S_{+}=S_{x}+iS_{y}}$ ${\displaystyle S_{-}=S_{x}-iS_{y}}$ ${\displaystyle [S_{+},S_{-}]=2\hbar S_{z}}$

La transformación de Holstein-Primakoff resultante se puede escribir como

${\displaystyle S_{+}=\hbar {\sqrt {2s}}{\sqrt {1-{\frac {a^{\dagger }a}{2s}}}}\,a~,\qquad S_{-}=\hbar {\sqrt {2s}}a^{\dagger }\,{\sqrt {1-{\frac {a^{\dagger }a}{2s}}}}~,\qquad S_{z}=\hbar (s-a^{\dagger }a)~.}$

La transformación es particularmente útil en el caso en que s es grande, cuando las raíces cuadradas se pueden expandir como series de Taylor , para dar una expansión en potencias decrecientes de s .

Alternativamente a una expansión de Taylor, ha habido avances recientes ^{[6] [7]} con una reanudación de la serie que hizo posibles expresiones que son polinomiales en operadores bosónicos pero aún matemáticamente exactas (en el subespacio físico). El primer método desarrolla un método de resumen ^[6] que es exacto para el espín , mientras que el último ^[7] emplea una expansión en serie de Newton (una diferencia finita) con un resultado idéntico, como se muestra a continuación. ${\displaystyle s=1/2}$

${\displaystyle S_{+}^{(1/2)}=\hbar {\sqrt {2s}}\left[1+\left({\sqrt {1-{\frac {1}{2s}}}}-1\right)a^{\dagger }a\right]a,\qquad S_{-}^{(1/2)}=(S_{+}^{(1/2)})^{\dagger },\qquad S_{z}^{(1/2)}=\hbar (s-a^{\dagger }a)~.}$

Si bien la expresión anterior no es exacta para giros superiores a 1/2, es una mejora con respecto a la serie de Taylor. También existen expresiones exactas para giros más altos e incluyen términos. Muy similar al resultado anterior también para las expresiones de giros superiores y, por lo tanto, la resumen es hermitiana. ${\displaystyle 2s+1}$ ${\displaystyle S_{+}=S_{-}^{\dagger }}$

También existe una variante no hermitiana de Dyson-Maleev (por Freeman Dyson y SV Maleev), la realización J está relacionada con lo anterior y es válida para todos los giros.

${\displaystyle J_{+}=\hbar \,a~,\qquad J_{-}=S_{-}~{\sqrt {2s-a^{\dagger }a}}=\hbar a^{\dagger }\,(2s-a^{\dagger }a)~,\qquad J_{z}=S_{z}=\hbar (s-a^{\dagger }a)~,}$

satisfaciendo las mismas relaciones de conmutación y caracterizado por el mismo invariante de Casimir.

La técnica se puede ampliar aún más al álgebra de Witt , ^[8] que es el álgebra de Virasoro sin centros .

Ver también

• onda de giro
• Transformación Jordan-Wigner
• Transformación Jordania-Schwinger
• Transformación de Bogoliubov-Valatin
• Transformación de Klein

Referencias

1. Holstein, T.; Primakoff, H. (15 de diciembre de 1940). "Dependencia de campo de la magnetización del dominio intrínseco de un ferroimán". Revisión física . 58 (12). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 1098–1113. Código bibliográfico : 1940PhRv...58.1098H. doi :10.1103/physrev.58.1098. ISSN  0031-899X.
2. "Theodore D. Holstein, Física: Los Ángeles". Universidad de California . Consultado el 23 de diciembre de 2015 .
3. Klein, Abraham; Marshalek, ER (1 de abril de 1991). "Realizaciones de bosones de álgebras de Lie con aplicaciones a la física nuclear". Reseñas de Física Moderna . 63 (2). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 375–558. Código Bib : 1991RvMP...63..375K. doi :10.1103/revmodphys.63.375. ISSN  0034-6861.
4. "Citation Classic de esta semana por FJ Dyson, 4 de agosto de 1986" (PDF) . Contenidos actuales (36): 16, 8 de septiembre de 1986.
5. Schwinger, J. (1952). "On Angular Momentum", Informe no publicado, Universidad de Harvard, Nuclear Development Associates, Inc., Departamento de Energía de los Estados Unidos (a través de la agencia predecesora, la Comisión de Energía Atómica ), Informe número NYO-3071 (26 de enero de 1952).
6. Vogl, Michael; Laurell, Ponto; Zhang, Hao; Okamoto, Satoshi; Fiete, Gregory A. (17 de noviembre de 2020). "Resumen del enfoque de ecuación diferencial y expansión de Holstein-Primakoff para raíces cuadradas del operador". Investigación de revisión física . 2 (4). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 043243. arXiv : 2006.06871 . Código Bib : 2020PhRvR...2d3243V. doi : 10.1103/physrevresearch.2.043243 . ISSN  2643-1564. S2CID  219635834.
7. König, Jürgen; Hucht, Alfred (13 de enero de 2021). "Expansión en serie de Newton de funciones de operador bosónico". Física SciPost . 10 (1). Stichting SciPost: 007. arXiv : 2008.11139 . Código Bib : 2021ScPP...10....7K. doi : 10.21468/scipostphys.10.1.007 . ISSN  2542-4653. S2CID  221293056.
8. Fairlie, DB ; Nuyts, J.; Zachos, CK (1988). "Construcción de álgebras clásicas de Virasoro como extensiones SU (1,1)". Letras de Física B. 202 (3). Elsevier BV: 320–324. Código bibliográfico : 1988PhLB..202..320F. doi :10.1016/0370-2693(88)90478-9. ISSN  0370-2693.