En geometría diferencial , el toro angente es una incrustación suave del toro en el espacio euclidiano tridimensional , con la propiedad de que permanece autosimilar a medida que evoluciona bajo el flujo de curvatura media . Su existencia muestra que, a diferencia del flujo unidimensional de acortamiento de curva (para el cual cada curva cerrada incrustada converge a un círculo a medida que se encoge a un punto), el flujo de curvatura media bidimensional tiene superficies incrustadas que forman singularidades más complejas a medida que colapsan.
El toro de Angenent recibe su nombre en honor a Sigurd Angenent , quien publicó una prueba de su existencia en 1992. [1] Sin embargo, ya en 1990, Gerhard Huisken escribió que Matthew Grayson le había hablado de "evidencia numérica" de su existencia. [2] [3]
Para demostrar la existencia del toro Angenent, Angenent primero postula que debería ser una superficie de revolución . Cualquier superficie de este tipo puede describirse por su sección transversal, una curva en un semiplano (donde la línea límite del semiplano es el eje de revolución de la superficie). Siguiendo las ideas de Huisken, [2] Angenent define una métrica de Riemann en el semiplano, con la propiedad de que las geodésicas para esta métrica son exactamente las secciones transversales de superficies de revolución que permanecen autosimilares y colapsan al origen después de una unidad de tiempo. Esta métrica es altamente no uniforme, pero tiene una simetría de reflexión, cuyo eje de simetría es la semirrecta que pasa por el origen perpendicularmente al límite del semiplano. [1]
Considerando el comportamiento de las geodésicas que pasan perpendicularmente por este eje de simetría reflexiva, a diferentes distancias del origen, y aplicando el teorema del valor intermedio , Angenent encuentra una geodésica que pasa por el eje perpendicularmente en un segundo punto. Esta geodésica y su reflexión se unen para formar una geodésica cerrada simple para la métrica en el semiplano. Cuando esta geodésica cerrada se utiliza para hacer una superficie de revolución, forma el toro Angenent.
Otras geodésicas conducen a otras superficies de revolución que permanecen autosimilares bajo el flujo de curvatura media, incluyendo esferas, cilindros, planos y (según evidencia numérica pero no una prueba rigurosa) esferas topológicas inmersas con múltiples autocruces. [1] Kleene y Møller (2014) prueban que las únicas superficies de rotación completamente lisas e incrustadas que permanecen autosimilares bajo el flujo de curvatura media son planos, cilindros, esferas y toros topológicos. Conjeturan con mayor fuerza que el toro angente es el único toro con esta propiedad. [4]
El toro angenente puede utilizarse para demostrar la existencia de otros tipos de singularidades del flujo de curvatura media. Por ejemplo, si una superficie con forma de mancuerna , que consiste en un "cuello" cilíndrico delgado que conecta dos volúmenes grandes, puede tener su cuello rodeado por un toro angenente disjunto, entonces las dos superficies de revolución permanecerán disjuntas bajo el flujo de curvatura media hasta que una de ellas alcance una singularidad; si los extremos de la mancuerna son lo suficientemente grandes, esto implica que el cuello debe desprenderse, separando las dos esferas entre sí, antes de que el toro que rodea el cuello colapse. [1] [5]
Cualquier forma que se mantenga autosimilar pero se encoja bajo la curvatura media del flujo forma una solución antigua para el flujo, una que puede extrapolarse hacia atrás para siempre. Sin embargo, lo inverso no es cierto. En el mismo artículo en el que publicó el toro de Angenent, Angenent también describió los óvalos de Angenent; estos no son autosimilares, pero son las únicas curvas cerradas simples en el plano, aparte de un círculo, que brindan soluciones antiguas para el flujo de acortamiento de curvas . [1] [6]