En matemáticas , los grupos de Thompson (también llamados grupos de Thompson , grupos vagabundos o grupos camaleónicos ) son tres grupos , comúnmente denominados , que fueron introducidos por Richard Thompson en unas notas manuscritas inéditas en 1965 como un posible contraejemplo a la conjetura de von Neumann . De los tres, F es el más estudiado, y a veces se lo denomina grupo de Thompson o grupo de Thompson .
Los grupos de Thompson, y F en particular, tienen una colección de propiedades inusuales que los han convertido en contraejemplos de muchas conjeturas generales en la teoría de grupos. Los tres grupos de Thompson son infinitos pero finitamente presentados . Los grupos T y V son ejemplos (raros) de grupos simples infinitos pero finitamente presentados . El grupo F no es simple pero su subgrupo derivado [ F , F ] sí lo es y el cociente de F por su subgrupo derivado es el grupo abeliano libre de rango 2. F está totalmente ordenado , tiene crecimiento exponencial y no contiene un subgrupo isomorfo al grupo libre de rango 2.
Se conjetura que F no es dócil y por lo tanto constituye otro contraejemplo de la conjetura de von Neumann, de larga data pero recientemente refutada , para grupos finitamente presentados: se sabe que F no es dócil elemental .
Higman (1974) introdujo una familia infinita de grupos simples finitamente presentados, incluyendo el grupo V de Thompson como un caso especial.
Una presentación finita de F viene dada por la siguiente expresión:
donde [ x , y ] es el conmutador habitual de la teoría de grupos , xyx −1 y −1 .
Aunque F tiene una presentación finita con 2 generadores y 2 relaciones, se describe más fácil e intuitivamente mediante la presentación infinita:
Las dos presentaciones están relacionadas por x 0 = A , x n = A 1− n BA n −1 para n >0.
El grupo F también tiene realizaciones en términos de operaciones sobre árboles binarios ordenados con raíz , y como subgrupo de los homeomorfismos lineales por partes del intervalo unitario que preservan la orientación y cuyos puntos no diferenciables son racionales diádicos y cuyas pendientes son todas potencias de 2.
El grupo F también puede considerarse como actuando sobre el círculo unitario identificando los dos puntos finales del intervalo unitario, y el grupo T es entonces el grupo de automorfismos del círculo unitario obtenido sumando el homeomorfismo x → x +1/2 mod 1 a F . En árboles binarios esto corresponde a intercambiar los dos árboles debajo de la raíz. El grupo V se obtiene de T sumando la función discontinua que fija los puntos del intervalo semiabierto [0,1/2) e intercambia [1/2,3/4) y [3/4,1) de la manera obvia. En árboles binarios esto corresponde a intercambiar los dos árboles debajo del descendiente derecho de la raíz (si existe).
El grupo de Thompson F es el grupo de automorfismos que preservan el orden del álgebra libre de Jónsson-Tarski en un generador.
La conjetura de Thompson de que F no es susceptible fue popularizada por R. Geoghegan (véase también el artículo de Cannon–Floyd–Parry citado en las referencias siguientes). Su estado actual es abierto: E. Shavgulidze [1] publicó un artículo en 2009 en el que afirmaba demostrar que F es susceptible, pero se encontró un error, como se explica en la revisión de MR .
Se sabe que F no es elementalmente susceptible , véase el Teorema 4.10 en Cannon–Floyd–Parry.
Si F no es susceptible, entonces sería otro contraejemplo a la ahora refutada conjetura de von Neumann para grupos finitamente presentados, que establece que un grupo finitamente presentado es susceptible si y sólo si no contiene una copia del grupo libre de rango 2.
El grupo F fue redescubierto al menos dos veces por los topólogos durante la década de 1970. En un artículo que se publicó mucho más tarde, pero que estaba en circulación como preimpresión en ese momento, P. Freyd y A. Heller [2] demostraron que el mapa de desplazamiento en F induce una homotopía idempotente no divisible en el espacio de Eilenberg-MacLane K(F,1) y que esto es universal en un sentido interesante. Esto se explica en detalle en el libro de Geoghegan (ver referencias a continuación). Independientemente, J. Dydak y P. Minc [3] crearon un modelo menos conocido de F en relación con un problema en la teoría de la forma.
En 1979, R. Geoghegan formuló cuatro conjeturas sobre F : (1) F tiene tipo FP ∞ ; (2) Todos los grupos de homotopía de F en el infinito son triviales; (3) F no tiene subgrupos libres no abelianos; (4) F no es dócil. (1) fue probada por KS Brown y R. Geoghegan en una forma fuerte: hay un K(F,1) con dos celdas en cada dimensión positiva. [4] (2) también fue probada por Brown y Geoghegan [5] en el sentido de que se demostró que la cohomología H*(F,ZF) era trivial; dado que un teorema previo de M. Mihalik [6] implica que F está simplemente conexo en el infinito, y el resultado establecido implica que toda homología en el infinito se desvanece, se sigue la afirmación sobre los grupos de homotopía. (3) fue probada por M. Brin y C. Squier. [7] El estado de (4) se discute anteriormente.
Se desconoce si F satisface la conjetura de Farrell–Jones . Incluso se desconoce si el grupo de Whitehead de F (véase torsión de Whitehead ) o el grupo de clases proyectivas de F (véase obstrucción de finitud de Wall ) es trivial, aunque se demuestra fácilmente que F satisface la conjetura fuerte de Bass.
D. Farley [8] ha demostrado que F actúa como transformaciones de cubierta en un complejo cúbico CAT(0) localmente finito (necesariamente de dimensión infinita). Una consecuencia es que F satisface la conjetura de Baum–Connes .
![{\displaystyle \langle A,B\mid \ [AB^{-1},A^{-1}BA]=[AB^{-1},A^{-2}BA^{2}]=\ mathrm {id} \rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aa741bdc915a1f7baea62d1f970a171b87b476a)
