Teorema de Thévenin

Fig. 1. Cualquier caja negra que contenga únicamente resistencias, fuentes de tensión y fuentes de corriente, puede ser sustituida por un circuito equivalente de Thévenin consistente en una fuente de tensión equivalente en conexión en serie con una resistencia equivalente.

Como se planteó originalmente en términos de circuitos resistivos de corriente continua únicamente, el teorema de Thévenin establece que "Cualquier red eléctrica lineal que contenga únicamente fuentes de voltaje , fuentes de corriente y resistencias puede reemplazarse en los terminales $A-B$ por una combinación equivalente de una fuente de voltaje $V$ $th$ en una conexión en serie con una resistencia $R$ $th$ ."

La tensión equivalente $V th$ es la tensión obtenida en los terminales $A-B$ de la red con los terminales $A-B$ en circuito abierto .
La resistencia equivalente $R th$ es la resistencia que tendría el circuito entre los terminales $A$ y $B$ si todas las fuentes de voltaje ideales en el circuito fueran reemplazadas por un cortocircuito y todas las fuentes de corriente ideales fueran reemplazadas por un circuito abierto.
Si los terminales $A$ y $B$ están conectados entre sí, la corriente que fluye desde $A$ y $B$ será ⁠ ⁠ ${\tfrac {V_{\mathrm {th} }}{R_{\mathrm {th} }}}.$ Esto significa que $R th$ podría calcularse alternativamente como $V th$ dividido por la corriente de cortocircuito entre $A$ y $B$ cuando están conectados entre sí.

En términos de teoría de circuitos , el teorema permite reducir cualquier red de un puerto a una sola fuente de voltaje y una sola impedancia.

El teorema también se aplica a circuitos de CA en el dominio de la frecuencia que constan de impedancias reactivas (inductivas y capacitivas) y resistivas . Esto significa que el teorema se aplica a la CA exactamente de la misma manera que a la CC, excepto que las resistencias se generalizan a las impedancias.

El teorema fue derivado independientemente en 1853 por el científico alemán Hermann von Helmholtz y en 1883 por Léon Charles Thévenin (1857-1926), un ingeniero eléctrico de la organización nacional de telecomunicaciones Postes et Télégraphes de Francia . ^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]

El teorema de Thévenin y su dual, el teorema de Norton , se utilizan ampliamente para simplificar el análisis de circuitos y para estudiar la respuesta de estado inicial y de estado estable de un circuito. ^[8]^[9] El teorema de Thévenin se puede utilizar para convertir las fuentes e impedancias de cualquier circuito en un equivalente de Thévenin ; el uso del teorema puede ser en algunos casos más conveniente que el uso de las leyes de circuitos de Kirchhoff . ^[7]^[10]

Una prueba del teorema

Se han dado varias demostraciones del teorema de Thévenin. Tal vez la más simple de ellas sea la que se encuentra en el artículo original de Thévenin. ^[3] No sólo es una demostración elegante y fácil de entender, sino que existe un consenso ^[4] de que la demostración de Thévenin es correcta y de aplicación general. La demostración es la siguiente:

Considere una red activa que contiene impedancias, fuentes de voltaje (constante) y fuentes de corriente (constante). La configuración de la red puede ser cualquiera. El acceso a la red se proporciona mediante un par de terminales. Designe el voltaje medido entre los terminales como $V θ$ , como se muestra en el cuadro del lado izquierdo de la Figura 2.

Supongamos que las fuentes de tensión dentro de la caja se sustituyen por cortocircuitos y las fuentes de corriente por circuitos abiertos. Si se hace esto, no aparece tensión entre los terminales y es posible medir la impedancia entre ellos. Llamemos a esta impedancia $Z θ$ .

Ahora supongamos que se conecta una red lineal a los terminales de la caja, con una impedancia $Z e$ , como en la Figura 2a. Deseamos encontrar la corriente $I$ a través de $Z e$ . La respuesta no es obvia, ya que el voltaje terminal no será $V θ$ después de que se conecte $Z e$ .

En lugar de ello, imaginemos que conectamos en serie con impedancia $Z e$ una fuente con fuerza electromotriz $E$ igual a $V θ$ pero dirigida a oponerse a $V θ$ , como se muestra en la Figura 2b. No circulará entonces corriente alguna por $Z e$ ya que $E$ equilibra $a V θ$ .

A continuación, insertamos otra fuente de fuerza electromotriz, $E 1$ , en serie con $Z e$ , donde $E 1$ tiene la misma magnitud que $E$ pero se opone en dirección (véase la Figura 2c). La corriente, $I 1$ , se puede determinar de la siguiente manera: es la corriente que resultaría de que $E 1$ actuara sola, con todas las demás fuentes (dentro de la red activa y la red externa) ajustadas a cero. Esta corriente es, por lo tanto,

$I_{1}={\frac {E_{1}}{Z_{e}+Z_{\theta }}}={\frac {V_{\theta }}{Z_{e}+Z_{\ theta }}}$

porque $Z e$ es la impedancia externa a la caja y $Z θ$ mirando hacia la caja cuando sus fuentes son cero.

Finalmente, observamos que $E$ y $E 1$ se pueden eliminar juntos sin cambiar la corriente, y cuando se eliminan, volvemos a la Figura 2a. Por lo tanto, $I 1$ es la corriente, $I$ , que estamos buscando, es decir

$I={\frac {V_{\theta }}{Z_{e}+Z_{\theta }}}$

De esta manera se completa la prueba. La figura 2d muestra el circuito equivalente de Thévenin.

Prueba de Helmholtz

Como se ha señalado, el teorema de Thévenin fue descubierto y publicado por primera vez por el científico alemán Hermann von Helmholtz en 1853, ^[1] cuatro años antes del nacimiento de Thévenin. La prueba de Thévenin de 1883, descrita anteriormente, se acerca más en espíritu a los métodos modernos de ingeniería eléctrica, y esto puede explicar por qué su nombre se asocia más comúnmente con el teorema. ^[11] La formulación anterior del problema por parte de Helmholtz refleja un enfoque más general que se acerca más a la física.

En su artículo de 1853, Helmholtz se interesó por las propiedades electromotrices de los "conductores físicamente extensos", en particular, del tejido animal . Señaló que trabajos anteriores del fisiólogo Emil du Bois-Reymond habían demostrado que "cada parte más pequeña de un músculo que puede ser estimulada es capaz de producir corrientes eléctricas". En esa época, se llevaron a cabo experimentos conectando un galvanómetro en dos puntos a una muestra de tejido animal y midiendo el flujo de corriente a través del circuito externo. Dado que el objetivo de este trabajo era comprender algo sobre las propiedades internas del tejido, Helmholtz quería encontrar una forma de relacionar esas propiedades internas con las corrientes medidas externamente.

El punto de partida de Helmholtz fue un resultado publicado por Gustav Kirchhoff en 1848. ^[12] Al igual que Helmholtz, Kirchhoff se ocupaba de sistemas tridimensionales conductores de electricidad. Kirchhoff consideró un sistema formado por dos partes, que denominó partes A y B. La parte A (que desempeñaba el papel de la "red activa" en la figura 2) consistía en una colección de cuerpos conductores conectados de extremo a extremo, cada cuerpo caracterizado por una fuerza electromotriz y una resistencia. Se suponía que la parte B estaba conectada a los puntos finales de A a través de dos cables. Kirchhoff demostró entonces (p. 195) que "sin cambiar el flujo en ningún punto de B, se puede sustituir A por un conductor en el que se encuentra una fuerza electromotriz que es igual a la suma de las diferencias de voltaje en A, y que tiene una resistencia igual a las resistencias sumadas de los elementos de A".

En su artículo de 1853, Helmholtz reconoció el resultado de Kirchhoff, pero señaló que solo era válido en el caso de que, "como en las baterías hidroeléctricas", no haya curvas de corriente cerradas en A, sino que todas esas curvas pasen por B. Por lo tanto, se propuso generalizar el resultado de Kirchhoff al caso de una distribución tridimensional arbitraria de corrientes y fuentes de voltaje dentro del sistema A.

Helmholtz comenzó proporcionando una formulación más general que la publicada previamente del principio de superposición , que expresó (p. 212-213) de la siguiente manera:

Si cualquier sistema de conductores contiene fuerzas electromotrices en varios puntos, la tensión eléctrica en cada punto del sistema por el que fluye la corriente es igual a la suma algebraica de las tensiones que cada una de las fuerzas electromotrices produciría independientemente de las demás. Y, de manera similar, las componentes de la intensidad de la corriente que son paralelas a tres ejes perpendiculares son iguales a la suma de las componentes correspondientes que pertenecen a las fuerzas individuales.

Utilizando este teorema, así como la ley de Ohm , Helmholtz demostró los tres teoremas siguientes sobre la relación entre los voltajes y corrientes internas del sistema "físico" A, y la corriente que fluye a través del sistema "lineal" B, que se suponía estaba unido a A en dos puntos de su superficie:

Para cada conductor A, en cuyo interior se distribuyen arbitrariamente las fuerzas electromotrices, se puede especificar una cierta distribución de fuerzas electromotrices en su superficie, que produciría las mismas corrientes que las fuerzas internas de A en cada conductor B aplicado.
Los componentes de voltaje y corriente en el interior del conductor A cuando se le conecta un circuito externo son iguales a la suma de los componentes de voltaje y corriente que ocurren en él en ausencia del circuito conectado y los de la superficie.
Las diferentes formas de distribuir fuerzas electromotrices sobre la superficie del conductor A, que deberían dar las mismas corrientes derivadas que sus fuerzas internas, solo pueden diferir en una diferencia que tiene el mismo valor constante en todos los puntos de la superficie.

A partir de estos, Helmholtz derivó su resultado final (p. 222):

Si un conductor físico con fuerzas electromotrices constantes en dos puntos específicos de su superficie se conecta a un conductor lineal cualquiera, entonces en su lugar siempre se puede sustituir un conductor lineal con una cierta fuerza electromotriz y una cierta resistencia, que en todos los conductores lineales aplicados excitaría exactamente las mismas corrientes que el físico. ... La resistencia del conductor lineal a sustituir es igual a la del cuerpo cuando una corriente pasa a través de él desde los dos puntos de entrada del conductor lineal.

Luego señaló que su resultado, derivado para un "sistema físico" general, también se aplicaba a circuitos "lineales" (en sentido geométrico) como los considerados por Kirchhoff:

Lo que se aplica a cualquier conductor físico se aplica también al caso particular de un sistema de corriente lineal ramificado. Incluso si dos puntos específicos de dicho sistema están conectados a otros conductores lineales cualesquiera, se comporta en comparación con ellos como un conductor lineal de cierta resistencia, cuya magnitud se puede determinar según las reglas bien conocidas para líneas ramificadas, y de cierta fuerza electromotriz, que está dada por la diferencia de voltaje de los puntos derivados tal como existía antes del circuito añadido.

Esta formulación del teorema es esencialmente la misma que la de Thévenin, publicada 30 años después.

Cálculo del equivalente de Thévenin

El circuito equivalente es una fuente de tensión con tensión $V th$ en serie con una resistencia $R th$ .

El voltaje equivalente de Thévenin $V th$ es el voltaje de circuito abierto en los terminales de salida del circuito original. Al calcular un voltaje equivalente de Thévenin, el principio del divisor de voltaje suele ser útil, ya que se declara que un terminal es $V out$ y el otro terminal es el punto de tierra.

La resistencia equivalente de Thévenin $R Th$ es la resistencia medida a través de los puntos $A$ y $B$ "mirando hacia atrás" dentro del circuito. La resistencia se mide después de reemplazar todas las fuentes de voltaje y corriente con sus resistencias internas. Eso significa que una fuente de voltaje ideal se reemplaza con un cortocircuito y una fuente de corriente ideal se reemplaza con un circuito abierto. La resistencia se puede calcular a través de los terminales utilizando las fórmulas para circuitos en serie y en paralelo . Este método es válido solo para circuitos con fuentes independientes. Si hay fuentes dependientes en el circuito, se debe utilizar otro método, como conectar una fuente de prueba a través de $A$ y $B$ y calcular el voltaje o la corriente a través de la fuente de prueba.

Como mnemónico, los reemplazos de Thevenin para las fuentes de voltaje y corriente se pueden recordar como los valores de las fuentes (es decir, su voltaje o corriente) se establecen en cero. Una fuente de voltaje de valor cero crearía una diferencia de potencial de cero voltios entre sus terminales, tal como lo haría un cortocircuito ideal, con dos cables en contacto; por lo tanto, la fuente se reemplaza por un cortocircuito. De manera similar, una fuente de corriente de valor cero y un circuito abierto pasan corriente cero.

Ejemplo

En el ejemplo, calculando el voltaje equivalente: (Tenga en cuenta que $R$ $1$ no se toma en consideración, ya que los cálculos anteriores se realizan en una condición de circuito abierto entre $A$ y $B$ , por lo tanto, no fluye corriente a través de esta parte, lo que significa que no hay corriente a través de $R$ $1$ y, por lo tanto, no hay caída de voltaje a lo largo de esta parte). ${\begin{aligned}V_{\mathrm {Th} }&={R_{2}+R_{3} \over (R_{2}+R_{3})+R_{4}}\cdot V_{\mathrm {1} }\\&={1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\ ,\mathrm {k} \Omega )+2\,\mathrm {k} \Omega }\cdot 15\,\mathrm {V} \\&={1 \sobre 2}\cdot 15\,\mathrm {V } =7.5\,\mathrm {V} \end{alineado}}$

Cálculo de la resistencia equivalente ( $R x || Ry$ es la resistencia total de dos resistencias en paralelo $)$ : ${\begin{aligned}R_{\mathrm {Th} }&=R_{1}+\left[\left(R_{2}+R_{3}\right)\|R_{4}\right]\\&=1\,\mathrm {k} \Omega +\left[\left(1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \right)\|2\,\mathrm {k} \Omega \right]\\&=1\,\mathrm {k} \Omega +\left({1 \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )}+{1 \over (2\,\mathrm {k} \Omega )}\right)^{-1}=2\,\mathrm {k} \Omega .\end{aligned}}$

Conversión a un equivalente de Norton

Un circuito equivalente de Norton está relacionado con el equivalente de Thévenin por ${\begin{aligned}R_{\mathrm {Th} }&=R_{\mathrm {No} }\!\\V_{\mathrm {Th} }&=I_{\mathrm {No} }R_{\mathrm {No} }\!\\I_{\mathrm {No} }&={\frac {V_{\mathrm {Th} }}{R_{\mathrm {Th} }}}\!\end{aligned}}$

Limitaciones prácticas

Muchos circuitos son lineales sólo en un cierto rango de valores, por lo que el equivalente de Thévenin es válido sólo dentro de este rango lineal.
El equivalente de Thévenin tiene una característica I–V equivalente sólo desde el punto de vista de la carga.
La disipación de potencia del equivalente de Thévenin no es necesariamente idéntica a la del sistema real. Sin embargo, la potencia disipada por una resistencia externa entre los dos terminales de salida es la misma independientemente de cómo se implemente el circuito interno.

En circuitos trifásicos

En 1933, A. T. Starr publicó una generalización del teorema de Thévenin en un artículo de la revista Institute of Electrical Engineers Journal , titulado A New Theorem for Active Networks , ^[13] que establece que cualquier red lineal activa de tres terminales puede ser sustituida por tres fuentes de tensión con impedancias correspondientes, conectadas en estrella o en delta .

Véase también

Referencias

^ ab von Helmholtz, Hermann (1853). "Ueber einige Gesetze der Vertheilung elektrischer Ströme in körperlichen Leitern mit Anwendung auf die thierisch-elektrischen Versuche" [Algunas leyes relativas a la distribución de corrientes eléctricas en conductores con aplicaciones a experimentos con electricidad animal]. Annalen der Physik und Chemie (en alemán). 89 (6): 211–233. Código bibliográfico : 1853AnP...165..211H. doi : 10.1002/andp.18531650603.
^ Thévenin, Léon Charles (1883). "Extension de la loi d'Ohm aux circuitos électromoteurs complexes" [Extensión de la ley de Ohm a circuitos electromotrices complejos]. Annales Télégraphiques . Serie 3 ^e (en francés). 10 : 222–224.
^ ab Thévenin, Léon Charles (1883). "Sur un nouveau théorème d'électricité dynamique" [Sobre un nuevo teorema de la electricidad dinámica]. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (en francés). 97 : 159-161.
^ ab Johnson, Don H. (2003). "Orígenes del concepto de circuito equivalente: el equivalente de fuente de voltaje" (PDF) . Actas del IEEE . 91 (4): 636–640. doi :10.1109/JPROC.2003.811716. hdl : 1911/19968 .
^ Johnson, Don H. (2003). "Orígenes del concepto de circuito equivalente: el equivalente de fuente de corriente" (PDF) . Actas del IEEE . 91 (5): 817–821. doi :10.1109/JPROC.2003.811795.
^ Brittain, James E. (marzo de 1990). "Teorema de Thevenin". IEEE Spectrum . 27 (3): 42. doi :10.1109/6.48845. S2CID 2279777 . Consultado el 1 de febrero de 2013 .
^ ab Dorf, Richard C. ; Svoboda, James A. (2010). "Capítulo 5: Teoremas de circuitos". Introducción a los circuitos eléctricos (8.ª ed.). Hoboken, NJ, EE. UU.: John Wiley & Sons . págs. 162–207. ISBN 978-0-470-52157-1.
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^ Kirchhoff, Gustav (1848). "Ueber die Anwendbarkeit der Formeln für die Intensitäten der galvanischen Ströme in einem Systeme linearer Leiter auf Systeme, die zum Theil aus nicht linearen Leitern bestehen" [Sobre la aplicabilidad de las fórmulas para las intensidades de las corrientes galvánicas en un sistema de conductores lineales a sistemas que constan parcialmente de conductores no lineales]. Annalen der Physik und Chemie (en alemán). 75 : 189-205. doi : 10.1002/andp.18481511003.
^ Starr, AT (1933). "Un nuevo teorema para redes activas". Revista de la Institución de Ingenieros Eléctricos . 73 (441): 303–308. doi :10.1049/jiee-1.1933.0129.

Lectura adicional

Wenner, Frank (1926). "Un principio que rige la distribución de la corriente en sistemas de conductores lineales". Actas de la Physical Society . 39 (1). Washington, DC: Bureau of Standards : 124–144. Bibcode :1926PPS....39..124W. doi :10.1088/0959-5309/39/1/311. hdl : 2027/mdp.39015086551663 . Artículo científico S531.
Filtros de primer orden: acceso directo a través de la fuente equivalente de Thévenin: se muestra en la página 4 la simplificación del teorema de Thévenin del circuito complejo para el filtro de paso bajo de primer orden y el divisor de voltaje asociado , la constante de tiempo y la ganancia .

Enlaces externos

Medios relacionados con el teorema de Thévenin en Wikimedia Commons