Modelo bayesiano de anatomía computacional

La anatomía computacional (AC) es una disciplina dentro de la imagenología médica que se centra en el estudio de la forma y la forma anatómicas a escala visible o macroscópica de la morfología . El campo está ampliamente definido e incluye fundamentos de anatomía , matemáticas aplicadas y matemáticas puras , incluidas las imágenes médicas , la neurociencia , la física , la probabilidad y la estadística . Se centra en las estructuras anatómicas que se están visualizando, en lugar de los dispositivos de imágenes médicas. El enfoque central del subcampo de la anatomía computacional dentro de las imágenes médicas es el mapeo de la información a través de sistemas de coordenadas anatómicas, con mayor frecuencia información densa medida dentro de una imagen de resonancia magnética (IRM). La introducción de flujos en la AC, que son similares a las ecuaciones de movimiento utilizadas en la dinámica de fluidos, explota la noción de que las coordenadas densas en el análisis de imágenes siguen las ecuaciones de movimiento lagrangianas y eulerianas . En los modelos basados ​​en flujos de difeomorfismos lagrangianos y eulerianos, la restricción está asociada a propiedades topológicas, como la conservación de los conjuntos abiertos, la no intersección de coordenadas, lo que implica unicidad y existencia de la función inversa, y la permanencia de los conjuntos conectados. El uso de métodos difeomórficos creció rápidamente hasta dominar el campo de los métodos de función después del artículo original de Christensen ^[1] , y se dispuso de métodos rápidos y simétricos. ^{[2] [3]}

El modelo estadístico principal

Modelo de fuente-canal que muestra la fuente de imágenes, la plantilla deformable y la salida del canal asociada con el sensor de MRI ${\displaystyle I\doteq \varphi \cdot I_{\mathrm {temp} }\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}}$

El modelo estadístico central de la Anatomía Computacional en el contexto de las imágenes médicas ha sido el modelo de fuente-canal de la teoría de Shannon ; la fuente es la plantilla deformable de imágenes , las salidas del canal son los sensores de imágenes con observables (ver Figura). La importancia del modelo de fuente-canal es que la variación en la configuración anatómica se modela separada de las variaciones del sensor de las imágenes médicas. La teoría de Bayes dicta que el modelo se caracteriza por la distribución previa en la fuente, en , y la densidad condicional en el observable. ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \pi _{\mathcal {I}}(\cdot )}$ ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$

${\displaystyle p(\cdot \mid I){\text{ on }}I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}}$

condicionado a . ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$

En la teoría de plantillas deformables, las imágenes están vinculadas a las plantillas, y las deformaciones son un grupo que actúa sobre la plantilla; véase acción de grupo en anatomía computacional. Para la acción de la imagen , entonces la anterior en el grupo induce la anterior en las imágenes , escrita como densidades, el logaritmo posterior toma la forma ${\displaystyle I(g)\doteq g\cdot I_{\mathrm {temp} },g\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \pi _{\mathcal {G}}(\cdot )}$ ${\displaystyle \pi _{\mathcal {I}}(\cdot )}$

${\displaystyle \log p(I(g)\mid I^{D})\simeq \log p(I^{D}\mid I(g))+\log \pi _{\mathcal {G}}(g).}$

El modelo de órbita aleatoria que sigue especifica cómo generar los elementos del grupo y, por lo tanto, la dispersión aleatoria de objetos que forman la distribución previa.

El modelo de órbita aleatoria de la anatomía computacional

Órbitas de cerebros asociadas a la acción grupal difeomórfica sobre plantillas representadas a través de un flujo suave asociado a flujos geodésicos con pulverización aleatoria asociada a la generación aleatoria del campo vectorial espacial tangente inicial ; publicado en. ${\displaystyle v_{0}\in V}$

El modelo de órbita aleatoria de la anatomía computacional apareció por primera vez en ^{[4] [5] [6],} modelando el cambio en las coordenadas asociado a la aleatoriedad del grupo que actúa sobre las plantillas, lo que induce la aleatoriedad en la fuente de imágenes en la órbita anatómica de formas y figuras y las observaciones resultantes a través de los dispositivos de imágenes médicas. Este modelo de órbita aleatoria en el que la aleatoriedad en el grupo induce aleatoriedad en las imágenes se examinó para el grupo euclidiano especial para el reconocimiento de objetos en el que el elemento del grupo era el grupo euclidiano especial. ^[7] ${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$

Para el estudio de la forma deformable en CA, los grupos de difeomorfismos de alta dimensión utilizados en la anatomía computacional se generan a través de flujos suaves que satisfacen la especificación lagrangiana y euleriana de los campos de flujo que satisfacen la ecuación diferencial ordinaria: ${\displaystyle \varphi _{t},t\in [0,1]}$

Mostrando el flujo lagrangiano de coordenadas con campos vectoriales asociados que satisfacen la ecuación diferencial ordinaria . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle v_{t},t\in [0,1]}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}(\varphi _{t}),\varphi _{0}=id}$

con los campos vectoriales en denominados velocidad euleriana de las partículas en la posición del flujo. Los campos vectoriales son funciones en un espacio de funciones, modelado como un espacio de Hilbert suave con los campos vectoriales que tienen derivada 1-continua . Para , la inversa del flujo está dada por ${\displaystyle v\doteq (v_{1},v_{2},v_{3})}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle v_{t}={\dot {\varphi }}_{t}\circ \varphi _{t}^{-1},t\in [0,1]}$

y la matriz jacobiana para flujos se da como ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \ D\varphi \doteq \left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right).}$

Para asegurar flujos suaves de difeomorfismos con inversa, los campos vectoriales deben ser al menos 1 vez continuamente diferenciables en el espacio ^{[8] [9]} que se modelan como elementos del espacio de Hilbert utilizando los teoremas de incrustación de Sobolev de modo que cada elemento tenga derivadas integrables en 3 cuadrados. Por lo tanto, se incrustan suavemente en funciones 1 vez continuamente diferenciables. ^{[8] [9]} El grupo de difeomorfismos son flujos con campos vectoriales absolutamente integrables en la norma de Sobolev: ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ ${\displaystyle v_{i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,}$ ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$

donde con un operador lineal que define la norma de la RKHS. La integral se calcula por integración por partes cuando es una función generalizada en el espacio dual . ${\displaystyle \|v_{t}\|_{V}^{2}\doteq \int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}dx}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A:V\mapsto V^{*}}$ ${\displaystyle Av}$ ${\displaystyle V^{*}}$

exponencial de Riemann

En el modelo de órbita aleatoria de la anatomía computacional , todo el flujo se reduce a la condición inicial que forma las coordenadas que codifican el difeomorfismo. A partir de la condición inicial , el posicionamiento geodésico con respecto a la métrica de Riemann de la anatomía computacional resuelve el flujo de la ecuación de Euler-Lagrange. La resolución de la geodésica a partir de la condición inicial se denomina exponencial de Riemann, una aplicación en la identidad del grupo. ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(\cdot ):V\to \operatorname {Diff} _{V}}$

La exponencial de Riemann satisface para la condición inicial la dinámica del campo vectorial . ${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})=\varphi _{1}}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{0}=v_{0}}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},t\in [0,1]}$

• Para la ecuación clásica, forma difeomorfa del momento , entonces ${\displaystyle \int _{X}Av_{t}\cdot w\,dx}$ ${\displaystyle Av\in V}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}Av_{t}+(Dv_{t})^{T}Av_{t}+(DAv_{t})v_{t}+(\nabla \cdot v)Av_{t}=0\ ;}$

• Para la ecuación generalizada, entonces , ${\displaystyle Av\in V^{*}}$ ${\displaystyle w\in V}$

${\displaystyle \int _{X}{\frac {d}{dt}}Av_{t}\cdot w\,dx+\int _{X}Av_{t}\cdot ((Dv_{t})w-(Dw)v_{t})\,dx=0.}$

Se extiende a todo el grupo. En la figura adjunta se muestra una representación de las órbitas aleatorias alrededor de cada ejemplar, , generadas al aleatorizar el flujo generando el campo vectorial espacial tangente inicial en la identidad y luego generando un objeto aleatorio . ${\displaystyle \varphi =\operatorname {Exp} _{\varphi }(v_{0}\circ \varphi )\doteq \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})\circ \varphi .}$ ${\displaystyle m_{0}\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle v_{0}\in V}$ ${\displaystyle n\doteq \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})\cdot m_{0}\in {\mathcal {M}}}$

Figura que muestra la dispersión aleatoria de estructuras subcorticales sintetizadas dispuestas en la cuadrícula bidimensional que representa la varianza de la función propia utilizada para el momento de la síntesis.

En la figura de la derecha se muestra la órbita de la caricatura, que es una dispersión aleatoria de las variedades subcorticales generadas al aleatorizar los campos vectoriales soportados sobre las subvariedades. El modelo de órbita aleatoria induce la distribución previa de formas e imágenes condicionadas a un atlas particular . Para ello, el modelo generativo genera el campo medio como un cambio aleatorio en las coordenadas de la plantilla según , donde el cambio difeomórfico en las coordenadas se genera aleatoriamente a través de los flujos geodésicos. ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I_{a}\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I\doteq \varphi \cdot I_{a}}$

Estimación de MAP en el modelo de órbita de múltiples atlas

El modelo de órbita aleatoria induce la distribución previa de las formas e imágenes condicionadas a un atlas particular . Para ello, el modelo generativo genera el campo medio como un cambio aleatorio en las coordenadas de la plantilla según , donde el cambio difeomórfico en las coordenadas se genera aleatoriamente a través de los flujos geodésicos. La distribución previa de las transformaciones aleatorias de es inducida por el flujo , con construido como una distribución previa de campo aleatorio gaussiano . La densidad de los observables aleatorios a la salida del sensor se da por ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I_{a}\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I\doteq \varphi \cdot I_{a}}$ ${\displaystyle \pi _{\mathrm {Diff} }(d\varphi )}$ ${\displaystyle \operatorname {Diff} _{V}}$ ${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v)}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle \pi _{V}(dv)}$ ${\displaystyle I^{D}\in {\mathcal {I}}^{D}}$

${\displaystyle p(I^{D}\mid I_{a})=\int _{V}p(I^{D}\mid \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v)\cdot I_{a})\pi _{V}(dv)\ .}$

La estimación a posteriori máxima (MAP) es fundamental para la teoría estadística moderna . Los parámetros de interés adoptan muchas formas, entre ellas (i) el tipo de enfermedad, como las enfermedades neurodegenerativas o del desarrollo neurológico , (ii) el tipo de estructura, como las estructuras corticales o subcorticales en problemas asociados a la segmentación de imágenes, y (iii) la reconstrucción de plantillas a partir de poblaciones. Dada la imagen observada , la estimación MAP maximiza la estimación a posteriori máxima: ${\displaystyle \theta \in \Theta }$ ${\displaystyle I^{D}}$

${\displaystyle {\hat {\theta }}\doteq \arg \max _{\theta \in \Theta }\log p(\theta \mid I^{D}).}$

Esto requiere el cálculo de las probabilidades condicionales . El modelo de órbita de atlas múltiples se aleatoriza sobre el conjunto numerable de atlas . El modelo sobre imágenes en la órbita adopta la forma de una distribución de mezcla multimodal. ${\displaystyle p(\theta \mid I^{D})={\frac {p(I^{D},\theta )}{p(I^{D})}}}$ ${\displaystyle \{I_{a},a\in {\mathcal {A}}\}}$

${\displaystyle p(I^{D},\theta )=\sum _{a\in {\mathcal {A}}}p(I^{D},\theta \mid I_{a})\pi _{\mathcal {A}}(a)\ .}$

El modelo gaussiano condicional se ha examinado exhaustivamente para detectar coincidencias inexactas en imágenes densas y para detectar coincidencias de puntos de referencia.

Coincidencia de imágenes densas

Modelo como campo aleatorio gaussiano condicionalmente condicionado, campo medio, . Para una varianza uniforme, los términos de error de punto final desempeñan el papel del log-condicional (solo una función del campo medio) dando como resultado el término de punto final: ${\displaystyle I^{D}(x),x\in X}$ ${\displaystyle \varphi _{1}\cdot I\doteq I(\varphi _{1}^{-1}),\varphi _{1}\in Diff_{V}}$

Coincidencia de puntos de referencia

Modelo como condicionalmente gaussiano con campo medio , varianza de ruido constante independiente de los puntos de referencia. El logaritmo condicional (solo una función del campo medio) se puede considerar como el término de punto final: ${\displaystyle Y=\{y_{1},y_{2},\dots \}}$ ${\displaystyle \varphi _{1}(x_{i}),i=1,2,\dots ,\varphi _{1}\in \operatorname {Diff} _{V}}$

${\displaystyle -\log p(I^{D}\mid I(g))\simeq \operatorname {E} (\varphi _{1})\doteq {\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i}\|y_{i}-\varphi _{1}(x_{i})\|^{2}.}$

Segmentación de MAP basada en múltiples atlas

El modelo de órbita aleatoria para múltiples atlas modela la órbita de las formas como la unión de múltiples órbitas anatómicas generadas a partir de la acción grupal de difeomorfismos, donde cada atlas tiene una plantilla y un campo de segmentación predefinido , incorporando la parcelación en estructuras anatómicas de la coordenada de la MRI. Los pares se indexan sobre la red de vóxeles con una imagen de MRI y un etiquetado denso de cada coordenada de vóxel. El etiquetado anatómico de las estructuras parceladas son delineaciones manuales realizadas por neuroanatomistas. ${\displaystyle {\mathcal {I}}=\textstyle \bigcup _{a\in {\mathcal {A}}}\displaystyle \operatorname {Diff} _{V}\cdot I_{a}}$ ${\displaystyle (I_{a},W_{a}),a=a_{1},a_{2},\ldots }$ ${\displaystyle I_{a}(x_{i}),W_{a}(x_{i}),x_{i}\in X\subset {\mathbb {R} }^{3}}$

El problema de segmentación de Bayes ^[10] se da la medición con campo medio y parcelación , el etiquetado anatómico . debe estimarse para la imagen de MRI medida. El campo medio de la imagen observable se modela como una deformación aleatoria de una de las plantillas , que también se selecciona aleatoriamente, ,. El difeomorfismo óptimo está oculto y actúa sobre el espacio de fondo de coordenadas de la imagen de plantilla seleccionada aleatoriamente . Dado un solo atlas , el modelo de probabilidad para la inferencia está determinado por la probabilidad conjunta ; con múltiples atlas, la fusión de las funciones de probabilidad produce el modelo de mezcla multimodal con el promedio previo sobre los modelos. ${\displaystyle I^{D}}$ ${\displaystyle (I,W)}$ ${\displaystyle \theta \doteq W}$ ${\displaystyle I^{D}}$ ${\displaystyle I\doteq \varphi \cdot I_{a}}$ ${\displaystyle A=a}$ ${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle I_{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p(I^{D},W\mid A=a)}$

El estimador MAP de segmentación es el maximizador dado , que involucra la mezcla sobre todos los atlas. ${\displaystyle W_{a}}$ ${\displaystyle \max _{W}\log p(W\mid I^{D})}$ ${\displaystyle I^{D}}$

${\displaystyle {\hat {W}}\doteq \arg \textstyle \max _{W}\displaystyle \log p(I^{D},W){\text{ with }}p(I^{D},W)=\textstyle \sum _{a\in {\mathcal {A}}}\displaystyle p(I^{D},W\mid A=a)\pi _{A}(a).}$

La cantidad se calcula a través de una fusión de probabilidades de múltiples atlas deformables, siendo la probabilidad previa de que la imagen observada evolucione a partir de la imagen de plantilla específica . ${\displaystyle p(I^{D},W)}$ ${\displaystyle \pi _{A}(a)}$ ${\displaystyle I_{a}}$

La segmentación MAP se puede resolver iterativamente a través del algoritmo de expectativa-maximización.

${\displaystyle W^{\text{new}}\doteq \arg \max _{W}\int \log p(W,I^{D},A,\varphi )\,dp(A,\varphi \mid W^{\text{old}},I^{D}).}$

Estimación MAP de plantillas de volumen a partir de poblaciones y el algoritmo EM

La generación empírica de plantillas a partir de poblaciones es una operación fundamental omnipresente en la disciplina. Han surgido varios métodos basados ​​en estadísticas bayesianas para subvariedades y volúmenes de imágenes densos. Para el caso del volumen de imágenes denso, dado el observable, el problema es estimar la plantilla en la órbita de imágenes densas . El procedimiento de Ma toma una hiperplantilla inicial como punto de partida y modela la plantilla en la órbita bajo el difeomorfismo desconocido que se va a estimar , con los parámetros que se van a estimar, las coordenadas logarítmicas que determinan el mapeo geodésico de la hiperplantilla . ${\displaystyle I^{D_{1}},I^{D_{2}},\dots }$ ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I_{0}\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I\doteq \varphi _{0}\cdot I_{0}}$ ${\displaystyle \theta \doteq v_{0}}$ ${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})\cdot I_{0}=I\in {\mathcal {I}}}$

En el modelo de órbita aleatoria bayesiana de anatomía computacional, las imágenes de resonancia magnética observadas se modelan como un campo aleatorio condicionalmente gaussiano con un campo medio , con una transformación aleatoria desconocida de la plantilla. El problema de estimación de MAP consiste en estimar la plantilla desconocida dadas las imágenes de resonancia magnética observadas. ${\displaystyle I^{D_{i}}}$ ${\displaystyle \varphi _{i}\cdot I}$ ${\displaystyle \varphi _{i}}$ ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$

El procedimiento de Ma para imágenes densas toma una hiperplantilla inicial como punto de partida y modela la plantilla en la órbita bajo el difeomorfismo desconocido que se va a estimar . Los observables se modelan como campos aleatorios condicionales, un campo aleatorio gaussiano condicional con campo medio . La variable desconocida que se va a estimar explícitamente mediante MAP es el mapeo de la hiperplantilla , y los otros mapeos se consideran variables molestas u ocultas que se integran mediante el procedimiento de Bayes. Esto se logra utilizando el algoritmo de expectativa-maximización . ${\displaystyle I_{0}\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I\doteq \varphi _{0}\cdot I_{0}}$ ${\displaystyle I^{D_{i}}}$ ${\displaystyle \varphi _{i}\cdot I\doteq \varphi _{i}\cdot \varphi _{0}\cdot I_{0}}$ ${\displaystyle \varphi _{0}}$

El modelo de órbita se explota asociando los flujos desconocidos que se van a estimar a sus coordenadas logarítmicas a través del logaritmo geodésico de Riemann y exponencial para la anatomía computacional el campo vectorial inicial en el espacio tangente en la identidad de modo que , con el mapeo de la hiperplantilla. El problema de estimación MAP se convierte en ${\displaystyle v_{i},i=1,\dots }$ ${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i})\doteq \varphi _{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})}$

${\displaystyle \max _{v_{0}}p(I^{D},\theta =v_{0})=\int p(I^{D},\theta =v_{0}\mid v_{1},v_{2},\dots )\pi (v_{1},v_{2},\dots )\,dv}$

El algoritmo EM toma como datos completos las coordenadas del campo vectorial que parametrizan el mapeo y calcula iterativamente la expectativa condicional. ${\displaystyle v_{i},i=1,\dots }$

${\displaystyle {\begin{cases}Q(\theta =v_{0};\theta ^{\text{old}}=v_{0}^{\text{old}})&=-\operatorname {E} (\log p(I^{D},\theta =v_{0}\mid v_{1},v_{2},\dots )\mid I^{D},\theta ^{\text{old}})\\&=-\|({\bar {I}}^{\text{old}}-I_{0}\circ \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})^{-1}){\sqrt {\beta ^{\text{old}}}}\|^{2}-\|v_{0}\|_{V}^{2}\end{cases}}}$

• Calcular una nueva plantilla que maximice la función Q, configurando

${\displaystyle \theta ^{\text{new}}\doteq v_{0}^{\text{new}}=\arg \max _{\theta =v_{0}}Q(\theta ;\theta ^{\text{old}}=v_{0}^{\text{old}})=-\left\|({\bar {I}}^{\text{old}}-I_{0}\circ \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})^{-1}){\sqrt {\beta ^{\text{old}}}}\right\|^{2}-\|v_{0}\|_{V}^{2}}$

• Calcule la aproximación de modo para la expectativa actualizando los valores esperados para los valores de modo:

${\displaystyle v_{i}^{\text{new}}=\arg \max _{v:{\dot {\varphi }}=v\circ \varphi }-\int _{0}^{1}\|v_{t}\|_{V}^{2}\,dt-\|I^{D_{i}}-I_{0}\circ \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0}^{\text{old}})^{-1}\circ \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v)^{-1}\|^{2}.i=1,2,\dots }$

${\displaystyle \beta ^{\text{new}}(x)=\sum _{i=1}^{n}|D\operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i}^{\text{new}})(x)|,{\text{ with }}{\bar {I}}^{\text{new}}(x)={\frac {\sum _{i=1}^{n}I^{D_{i}}\circ \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i}^{\text{new}})|D\operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i}^{\text{new}})(x)|}{\beta ^{\text{old}}(x)}}}$

Referencias

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