En geometría , el teorema japonés establece que los centros de los círculos inscritos de ciertos triángulos dentro de un cuadrilátero cíclico son los vértices de un rectángulo . Fue enunciado originalmente en una tablilla sangaku en un templo de la prefectura de Yamagata , Japón, en 1880. [2]
Al triangular un cuadrilátero cíclico arbitrario por sus diagonales se obtienen cuatro triángulos superpuestos (cada diagonal crea dos triángulos). Los centros de los círculos inscritos de esos triángulos forman un rectángulo.
En concreto, sea □ ABCD un cuadrilátero cíclico arbitrario y sean M 1 , M 2 , M 3 , M 4 los incentros de los triángulos △ ABD , △ ABC , △ BCD , △ ACD . Entonces el cuadrilátero formado por M 1 , M 2 , M 3 , M 4 es un rectángulo. Las demostraciones las dan Bogomolny [2] y Reyes. [1]
Este teorema puede extenderse para demostrar el teorema japonés para polígonos cíclicos , según el cual la suma de los radios de un polígono cíclico triangulado no depende de cómo esté triangulado. El caso especial del teorema para cuadriláteros establece que los dos pares de incírculos opuestos del teorema anterior tienen sumas de radios iguales. Para demostrar el caso del cuadrilátero, simplemente construya el paralelogramo tangente a las esquinas del rectángulo construido, con lados paralelos a las diagonales del cuadrilátero. La construcción muestra que el paralelogramo es un rombo, lo que equivale a mostrar que las sumas de los radios de los incírculos tangentes a cada diagonal son iguales. Este resultado relacionado proviene de una tablilla sangaku anterior, también de Yamagata, de 1800. [2]
El caso del cuadrilátero prueba inmediatamente el caso general, ya que dos triangulaciones cualesquiera de un polígono cíclico arbitrario pueden conectarse mediante una secuencia de giros que cambian una diagonal por otra, reemplazando dos incírculos en un cuadrilátero por los otros dos incírculos con igual suma de radios.
