Teorema del valor medio (diferencias divididas)

En análisis matemático , el teorema del valor medio para diferencias divididas generaliza el teorema del valor medio a derivadas superiores. ^[1]

Declaración del teorema

Para cualquier n  + 1 puntos distintos por pares x ₀ , ...,  x _n en el dominio de una función f n veces diferenciable existe un punto interior

${\displaystyle \xi \in (\min\{x_{0},\dots ,x_{n}\},\max\{x_{0},\dots ,x_{n}\})\,}$

donde la n- ésima derivada de f es igual a n  ! multiplicado por la enésima diferencia dividida en estos puntos:

${\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}.}$

Para n  = 1, es decir, dos puntos de función, se obtiene el teorema del valor medio simple .

Prueba

Sea el polinomio de interpolación de Lagrange para f en x ₀ , ...,  x _n . Entonces se deduce de la forma de Newton que el término más alto de es . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}](x-x_{n-1})\dots (x-x_{1})(x-x_{0})}$

Sea el resto de la interpolación, definido por . Entonces tiene ceros: x ₀ , ...,  x _n . Aplicando el teorema de Rolle primero a , luego a , y así sucesivamente hasta , encontramos que tiene un cero . Esto significa que ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g=f-P}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g'}$ ${\displaystyle g^{(n-1)}}$ ${\displaystyle g^{(n)}}$ ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle 0=g^{(n)}(\xi )=f^{(n)}(\xi )-f[x_{0},\dots ,x_{n}]n!}$,

${\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}.}$

Aplicaciones

El teorema se puede utilizar para generalizar la media de Stolarsky a más de dos variables.

Referencias

1. de Boor, C. (2005). "Diferencias divididas". Sobrevivir. Aprox. Teoría . 1 : 46–69. SEÑOR  2221566.