Polinomio de Newton

expresión matemática

En el campo matemático del análisis numérico , un polinomio de Newton , llamado así en honor a su inventor Isaac Newton , ^[1] es un polinomio de interpolación para un conjunto dado de puntos de datos. El polinomio de Newton a veces se denomina polinomio de interpolación de diferencias divididas de Newton porque los coeficientes del polinomio se calculan utilizando el método de diferencias divididas de Newton .

Definición

Dado un conjunto de k  + 1 puntos de datos

${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{j},y_{j}),\ldots ,(x_{k},y_{k})}$

donde no hay dos x _j iguales, el polinomio de interpolación de Newton es una combinación lineal de polinomios de base de Newton

${\displaystyle N(x):=\sum _{j=0}^{k}a_{j}n_{j}(x)}$

con los polinomios de base de Newton definidos como

${\displaystyle n_{j}(x):=\prod _{i=0}^{j-1}(x-x_{i})}$

para j > 0 y . ${\displaystyle n_{0}(x)\equiv 1}$

Los coeficientes se definen como

${\displaystyle a_{j}:=[y_{0},\ldots ,y_{j}]}$

dónde

${\displaystyle [y_{0},\ldots ,y_{j}]}$

es la notación para diferencias divididas .

Por tanto, el polinomio de Newton se puede escribir como

${\displaystyle N(x)=[y_{0}]+[y_{0},y_{1}](x-x_{0})+\cdots +[y_{0},\ldots ,y_{k}](x-x_{0})(x-x_{1})\cdots (x-x_{k-1}).}$

Fórmula de diferencia dividida hacia adelante de Newton

El polinomio de Newton se puede expresar de forma simplificada cuando se disponen consecutivamente con el mismo espacio. ${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{k}}$

Si están ordenados consecutivamente y espaciados equidistantemente para i = 0, 1, ..., k y alguna variable x se expresa como , entonces la diferencia se puede escribir como . Entonces el polinomio de Newton se convierte en ${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{k}}$ ${\displaystyle {x}_{i}={x}_{0}+ih}$ ${\displaystyle {x}={x}_{0}+sh}$ ${\displaystyle x-x_{i}}$ ${\displaystyle (s-i)h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}N(x)&=[y_{0}]+[y_{0},y_{1}]sh+\cdots +[y_{0},\ldots ,y_{k}]s(s-1)\cdots (s-k+1){h}^{k}\\&=\sum _{i=0}^{k}s(s-1)\cdots (s-i+1){h}^{i}[y_{0},\ldots ,y_{i}]\\&=\sum _{i=0}^{k}{s \choose i}i!{h}^{i}[y_{0},\ldots ,y_{i}].\end{aligned}}}$

Esto se llama fórmula de diferencias divididas directas de Newton . ^{[ cita necesaria ]}

Fórmula de diferencia dividida hacia atrás de Newton

Si los nodos se reordenan como , el polinomio de Newton se convierte en ${\displaystyle {x}_{k},{x}_{k-1},\dots ,{x}_{0}}$

${\displaystyle N(x)=[y_{k}]+[{y}_{k},{y}_{k-1}](x-{x}_{k})+\cdots +[{y}_{k},\ldots ,{y}_{0}](x-{x}_{k})(x-{x}_{k-1})\cdots (x-{x}_{1}).}$

Si están equidistantes con para i = 0, 1, ..., k y , entonces, ${\displaystyle {x}_{k},\;{x}_{k-1},\;\dots ,\;{x}_{0}}$ ${\displaystyle {x}_{i}={x}_{k}-(k-i)h}$ ${\displaystyle {x}={x}_{k}+sh}$

${\displaystyle {\begin{aligned}N(x)&=[{y}_{k}]+[{y}_{k},{y}_{k-1}]sh+\cdots +[{y}_{k},\ldots ,{y}_{0}]s(s+1)\cdots (s+k-1){h}^{k}\\&=\sum _{i=0}^{k}{(-1)}^{i}{-s \choose i}i!{h}^{i}[{y}_{k},\ldots ,{y}_{k-i}].\end{aligned}}}$

Esto se llama fórmula de diferencias divididas hacia atrás de Newton . ^{[ cita necesaria ]}

Significado

La fórmula de Newton es interesante porque es la versión sencilla y en diferencias naturales del polinomio de Taylor. El polinomio de Taylor indica a dónde irá una función, según su valor de y y sus derivadas (su tasa de cambio y la tasa de cambio de su tasa de cambio, etc.) en un valor de x particular . La fórmula de Newton es el polinomio de Taylor basado en diferencias finitas en lugar de tasas de cambio instantáneas.

Interpolación polinomial

Para un polinomio de grado menor o igual a n, eso interpola en los nodos donde . Sea el polinomio de grado menor o igual a n+1 que interpola en los nodos donde . Entonces viene dado por: ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i=0,1,2,3,\cdots ,n}$ ${\displaystyle p_{n+1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i=0,1,2,3,\cdots ,n,n+1}$ ${\displaystyle p_{n+1}}$

$${\displaystyle p_{n+1}(x)=p_{n}(x)+a_{n+1}w_{n}(x)}$$

dónde y . ${\textstyle w_{n}(x):=\prod _{i=0}^{n}(x-x_{i})}$ ${\textstyle a_{n+1}:={f(x_{n+1})-p_{n}(x_{n+1}) \over w_{n}(x_{n+1})}}$

Prueba:

Esto se puede demostrar para el caso donde : ${\displaystyle i=0,1,2,3,\cdots ,n}$

$${\displaystyle p_{n+1}(x_{i})=p_{n}(x_{i})+a_{n+1}\prod _{j=0}^{n}(x_{i}-x_{j})=p_{n}(x_{i})}$$

${\displaystyle i=n+1}$

$${\displaystyle p_{n+1}(x_{n+1})=p_{n}(x_{n+1})+{f(x_{n+1})-p_{n}(x_{n+1}) \over w_{n}(x_{n+1})}w_{n}(x_{n+1})=f(x_{n+1})}$$

Por la unicidad de los polinomios interpolados de grado menor que , es la interpolación polinómica requerida. Por tanto, la función se puede expresar como: ${\displaystyle n+1}$ ${\textstyle p_{n+1}(x)=p_{n}(x)+a_{n+1}w_{n}(x)}$

${\textstyle p_{n}(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})+\cdots +a_{n}(x-x_{0})\cdots (x-x_{n-1})}$

donde los factores se dividen en diferencias . Por tanto, los polinomios de Newton se utilizan para proporcionar una fórmula de interpolación polinomial de n puntos. ^[2] ${\displaystyle a_{i}}$

Tomando como alguna función desconocida en las fórmulas de diferencias divididas de Newton, si la representación de x en las secciones anteriores se tomó como , en términos de diferencias directas , la fórmula de interpolación directa de Newton se expresa como: ${\displaystyle y_{i}=f(x_{i})}$ ${\displaystyle x=x_{j}+sh}$

$${\displaystyle f(x)\approx N(x)=N(x_{j}+sh)=\sum _{i=0}^{k}{s \choose i}\Delta ^{(i)}f(x_{j})}$$

diferencias hacia atrásfórmula de interpolación hacia atrás de Newton

$${\displaystyle f(x)\approx N(x)=N(x_{j}+sh)=\sum _{i=0}^{k}{(-1)}^{i}{-s \choose i}\nabla ^{(i)}f(x_{j}).}$$

^[3]

$${\displaystyle [y_{j},y_{j+1},\ldots ,y_{j+n}]={\frac {1}{n!h^{n}}}\Delta ^{(n)}y_{j},}$$

^{[ cita necesaria ]}

$${\displaystyle [{y}_{j},y_{j-1},\ldots ,{y}_{j-n}]={\frac {1}{n!h^{n}}}\nabla ^{(n)}y_{j}.}$$

Adición de nuevos puntos.

Al igual que con otras fórmulas de diferencia, el grado de un polinomio de interpolación de Newton se puede aumentar agregando más términos y puntos sin descartar los existentes. La forma de Newton tiene la simplicidad de que los nuevos puntos siempre se agregan en un extremo: la fórmula directa de Newton puede agregar nuevos puntos hacia la derecha y la fórmula hacia atrás de Newton puede agregar nuevos puntos hacia la izquierda.

La precisión de la interpolación polinómica depende de qué tan cerca esté el punto interpolado de la mitad de los valores x del conjunto de puntos utilizados. Obviamente, a medida que se agregan nuevos puntos en un extremo, ese centro se aleja cada vez más del primer punto de datos. Por lo tanto, si no se sabe cuántos puntos se necesitarán para obtener la precisión deseada, la mitad de los valores de x podría estar lejos de donde se realiza la interpolación.

Gauss, Stirling y Bessel desarrollaron fórmulas para remediar ese problema. ^[4]

La fórmula de Gauss añade alternativamente nuevos puntos en los extremos izquierdo y derecho, manteniendo así el conjunto de puntos centrado cerca del mismo lugar (cerca del punto evaluado). Al hacerlo, utiliza términos de la fórmula de Newton, con puntos de datos y valores de x renombrados de acuerdo con la elección de qué punto de datos se designa como punto de datos x ₀ .

La fórmula de Stirling permanece centrada en un punto de datos particular, para usarse cuando el punto evaluado está más cerca de un punto de datos que de la mitad de dos puntos de datos.

La fórmula de Bessel permanece centrada en un punto medio particular entre dos puntos de datos, para usarse cuando el punto evaluado está más cerca de un punto medio que de un punto de datos.

Bessel y Stirling logran esto usando a veces el promedio de dos diferencias, y otras veces usando el promedio de dos productos de binomios en x , mientras que Newton o Gauss usarían solo una diferencia o producto. Stirling utiliza una diferencia promedio en términos de grados impares (cuya diferencia utiliza un número par de puntos de datos); Bessel utiliza una diferencia promedio en términos de grados pares (cuya diferencia utiliza un número impar de puntos de datos).

Fortalezas y debilidades de varias fórmulas.

Para cualquier conjunto finito de puntos de datos, sólo hay un polinomio de menor grado posible que pasa por todos ellos. Así, corresponde hablar de la "forma de Newton", o forma de Lagrange , etc., del polinomio de interpolación. Sin embargo, diferentes métodos para calcular este polinomio pueden tener diferentes eficiencias computacionales. Existen varios métodos similares, como los de Gauss, Bessel y Stirling. Se pueden derivar de los de Newton cambiando el nombre de los valores x de los puntos de datos, pero en la práctica son importantes.

Bessel contra Stirling

La elección entre Bessel y Stirling depende de si el punto interpolado está más cerca de un punto de datos o más cerca de un punto medio entre dos puntos de datos.

El error de una interpolación polinómica se acerca a cero a medida que el punto de interpolación se acerca a un punto de datos. Por lo tanto, la fórmula de Stirling aporta una mejora de la precisión donde menos se necesita y Bessel aporta una mejora de la precisión donde más se necesita.

Por lo tanto, se podría decir que la fórmula de Bessel es la fórmula de diferencias más consistentemente precisa y, en general, la más consistentemente precisa de las conocidas fórmulas de interpolación polinomial.

Métodos de diferencias divididas frente a Lagrange

A veces se dice que Lagrange requiere menos trabajo y, a veces, se recomienda para problemas en los que se sabe, de antemano, por experiencia previa, cuántos términos se necesitan para una precisión suficiente.

Los métodos de diferencias divididas tienen la ventaja de que se pueden agregar más puntos de datos para mejorar la precisión. Los términos basados ​​en los puntos de datos anteriores pueden seguir utilizándose. Con la fórmula ordinaria de Lagrange, resolver el problema con más puntos de datos requeriría rehacer todo el problema.

Existe una versión "baricéntrica" ​​de Lagrange que evita la necesidad de volver a hacer todo el cálculo al agregar un nuevo punto de datos. Pero requiere que se registren los valores de cada término.

Pero la capacidad de Gauss, Bessel y Stirling de mantener los puntos de datos centrados cerca del punto interpolado les da una ventaja sobre Lagrange, cuando no se sabe de antemano cuántos puntos de datos se necesitarán.

Además, supongamos que se quiere saber si, para algún tipo particular de problema, la interpolación lineal es suficientemente precisa. Eso se puede determinar evaluando el término cuadrático de una fórmula en diferencias divididas. Si el término cuadrático es insignificante (lo que significa que el término lineal es suficientemente preciso sin agregar el término cuadrático), entonces la interpolación lineal es suficientemente precisa. Si el problema es suficientemente importante, o si el término cuadrático es lo suficientemente grande como para tener importancia, entonces se podría querer determinar si la suma de los términos cuadrático y cúbico es lo suficientemente grande como para tener importancia en el problema.

Por supuesto, para tal determinación sólo se puede utilizar un método de diferencias divididas.

Para ello, se debe elegir la fórmula de diferencia dividida y/o su punto x ₀ de manera que la fórmula utilice, como término lineal, los dos puntos de datos entre los cuales se haría la interpolación lineal de interés.

Las fórmulas de diferencias divididas son más versátiles y útiles en más tipos de problemas.

La fórmula de Lagrange funciona mejor cuando toda la interpolación se realiza en un valor de x , con sólo los valores de y de los puntos de datos varían de un problema a otro, y cuando se sabe, por experiencia pasada, cuántos términos se necesitan para precisión suficiente.

Con la forma de Newton del polinomio de interpolación existe un algoritmo compacto y eficaz para combinar los términos para encontrar los coeficientes del polinomio. ^[5]

Exactitud

Cuando, con Stirling o Bessel, el último término utilizado incluye el promedio de dos diferencias, entonces se está utilizando un punto más que el que utilizarían Newton u otras interpolaciones polinómicas para el mismo grado polinómico. Entonces, en ese caso, Stirling o Bessel no están colocando un polinomio de N −1 grado a través de N puntos, sino que, en cambio, están intercambiando equivalencia con Newton para un mejor centrado y precisión, dando a esos métodos a veces una precisión potencialmente mayor, para un grado de polinomio dado. , que otras interpolaciones polinómicas.

Caso general

Para el caso especial de x _i = i , existe un conjunto de polinomios estrechamente relacionados, también llamados polinomios de Newton, que son simplemente los coeficientes binomiales para el argumento general. Es decir, también se tienen los polinomios de Newton dados por ${\displaystyle p_{n}(z)}$

${\displaystyle p_{n}(z)={z \choose n}={\frac {z(z-1)\cdots (z-n+1)}{n!}}}$

De esta forma, los polinomios de Newton generan la serie de Newton . Estos son, a su vez, un caso especial de los polinomios en diferencias generales que permiten la representación de funciones analíticas mediante ecuaciones en diferencias generalizadas.

Idea principal

Resolver un problema de interpolación conduce a un problema de álgebra lineal donde tenemos que resolver un sistema de ecuaciones lineales. Usando una base monomial estándar para nuestro polinomio de interpolación obtenemos la muy complicada matriz de Vandermonde . Al elegir otra base, la base de Newton, obtenemos un sistema de ecuaciones lineales con una matriz triangular inferior mucho más simple que se puede resolver más rápido.

Para k  + 1 puntos de datos construimos la base de Newton como

${\displaystyle n_{0}(x):=1,\qquad n_{j}(x):=\prod _{i=0}^{j-1}(x-x_{i})\qquad j=1,\ldots ,k.}$

Usando estos polinomios como base tenemos que resolver ${\displaystyle \Pi _{k}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&\ldots &&0\\1&x_{1}-x_{0}&&&\\1&x_{2}-x_{0}&(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})&&\vdots \\\vdots &\vdots &&\ddots &\\1&x_{k}-x_{0}&\ldots &\ldots &\prod _{j=0}^{k-1}(x_{k}-x_{j})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{0}\\\\\vdots \\\\a_{k}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{0}\\\\\vdots \\\\y_{k}\end{bmatrix}}}$

para resolver el problema de interpolación polinomial.

Este sistema de ecuaciones se puede resolver iterativamente resolviendo

${\displaystyle \sum _{i=0}^{j}a_{i}n_{i}(x_{j})=y_{j}\qquad j=0,\dots ,k.}$

Derivación

Si bien la fórmula de interpolación se puede encontrar resolviendo un sistema lineal de ecuaciones, hay una pérdida de intuición en lo que muestra la fórmula y no es evidente por qué funciona la fórmula de interpolación de Newton. Para empezar, primero necesitaremos establecer dos hechos:

Hecho 1. Invertir los términos de una diferencia dividida la deja sin cambios: ${\displaystyle [y_{0},\ldots ,y_{n}]=[y_{n},\ldots ,y_{0}].}$

La prueba de esto es una inducción fácil: pues calculamos ${\displaystyle n=1}$

$${\displaystyle [y_{0},y_{1}]={\frac {[y_{1}]-[y_{0}]}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {[y_{0}]-[y_{1}]}{x_{0}-x_{1}}}=[y_{1},y_{0}].}$$

Paso de inducción: suponga que el resultado es válido para cualquier diferencia dividida que incluya como máximo términos. Luego, usando la hipótesis de inducción en la siguiente segunda igualdad, vemos que para una diferencia dividida que involucra términos tenemos ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n+2}$

$${\displaystyle [y_{0},\ldots ,y_{n+1}]={\frac {[y_{1},\ldots ,y_{n+1}]-[y_{0},\ldots ,y_{n}]}{x_{n+1}-x_{0}}}={\frac {[y_{n},\ldots ,y_{0}]-[y_{n+1},\ldots ,y_{1}]}{x_{0}-x_{n+1}}}=[y_{n+1},\ldots ,y_{0}].}$$

Formulamos a continuación el Hecho 2 que para efectos de inducción y claridad también llamamos Enunciado ( ): ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\text{Stm}}_{n}}$

Hecho 2. ( ): Si hay puntos con coordenadas distintas y es el único polinomio de grado (como máximo) cuya gráfica pasa por estos puntos, entonces se cumple la relación ${\displaystyle {\text{Stm}}_{n}}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{n-1},y_{n-1})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P=P(x)}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle [y_{0},\ldots ,y_{n}](x_{n}-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x_{n}-x_{n-1})=y_{n}-P(x_{n})}$$

Prueba. (Será útil para una lectura fluida de la prueba tener en mente la declaración precisa y su sutileza: se define pasando por, pero la fórmula también habla en ambos lados de un punto arbitrario adicional con una coordenada distinta del otro ). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),...,(x_{n-1},y_{n-1})}$ ${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{i}}$

Nuevamente demostramos estas afirmaciones por inducción. Para mostrar, sea cualquier punto y sea el único polinomio de grado 0 que pasa por . Entonces evidentemente y podemos escribir ${\displaystyle {\text{Stm}}_{1},}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle P(x)=y_{0}}$

$${\displaystyle [y_{0},y_{1}](x_{1}-x_{0})={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(x_{1}-x_{0})=y_{1}-y_{0}=y_{1}-P(x_{1})}$$

Prueba de supuesto ya establecido: Sea el polinomio de grado (como máximo) que pasa por ${\displaystyle {\text{Stm}}_{n+1},}$ ${\displaystyle {\text{Stm}}_{n}}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{n},y_{n}).}$

Al ser el único polinomio de grado (como máximo) que pasa por los puntos , podemos escribir la siguiente cadena de igualdades, donde usamos en la penúltima igualdad a la que se aplica Stm : ${\displaystyle Q(x)}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle _{n}}$ ${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&[y_{0},\ldots ,y_{n+1}](x_{n+1}-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&={\frac {[y_{1},\ldots ,y_{n+1}]-[y_{0},\ldots ,y_{n}]}{x_{n+1}-x_{0}}}(x_{n+1}-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&=\left([y_{1},\ldots ,y_{n+1}]-[y_{0},\ldots ,y_{n}]\right)(x_{n+1}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&=[y_{1},\ldots ,y_{n+1}](x_{n+1}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})-[y_{0},\ldots ,y_{n}](x_{n+1}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&=(y_{n+1}-Q(x_{n+1}))-[y_{0},\ldots ,y_{n}](x_{n+1}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&=y_{n+1}-(Q(x_{n+1})+[y_{0},\ldots ,y_{n}](x_{n+1}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})).\end{aligned}}}$$

La hipótesis de inducción para también se aplica a la segunda igualdad en el siguiente cálculo, donde se suma a los puntos que definen  : ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&Q(x_{0})+[y_{0},\ldots ,y_{n}](x_{0}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{0}-x_{n})\\&=Q(x_{0})+[y_{n},\ldots ,y_{0}](x_{0}-x_{n})\cdot \ldots \cdot (x_{0}-x_{1})\\&=Q(x_{0})+y_{0}-Q(x_{0})\\&=y_{0}\\&=P(x_{0}).\\\end{aligned}}}$$

Ahora mire Por la definición de este polinomio pasa por y, como acabamos de mostrar, también pasa por Por lo tanto, es el único polinomio de grado que pasa por estos puntos. Por lo tanto este polinomio es es decir: ${\displaystyle Q(x)+[y_{0},\ldots ,y_{n}](x-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x-x_{n}).}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0}).}$ ${\displaystyle \leq n}$ ${\displaystyle P(x);}$ ${\displaystyle P(x)=Q(x)+[y_{0},\ldots ,y_{n}](x-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x-x_{n}).}$

Así, podemos escribir la última línea de la primera cadena de igualdades como ` ' y así haber establecido que ${\displaystyle y_{n+1}-P(x_{n+1})}$

$${\displaystyle [y_{0},\ldots ,y_{n+1}](x_{n+1}-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})=y_{n+1}-P(x_{n+1}).}$$

${\displaystyle {\text{Stm}}_{n+1}}$

Ahora mire el hecho 2: Se puede formular de esta manera: Si es el polinomio único de grado como máximo cuya gráfica pasa por los puntos entonces es el polinomio único de grado como máximo que pasa por los puntos Entonces vemos que la interpolación de Newton permite agregar nuevos puntos de interpolación sin destruir lo que ya se ha calculado. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),...,(x_{n-1},y_{n-1}),}$ ${\displaystyle P(x)+[y_{0},\ldots ,y_{n}](x-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x-x_{n-1})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),...,(x_{n-1},y_{n-1}),(x_{n},y_{n}).}$

polinomio de Taylor

El límite del polinomio de Newton si todos los nodos coinciden es un polinomio de Taylor , porque las diferencias divididas se convierten en derivadas.

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{(x_{0},\dots ,x_{n})\to (z,\dots ,z)}f[x_{0}]+f[x_{0},x_{1}]\cdot (\xi -x_{0})+\dots +f[x_{0},\dots ,x_{n}]\cdot (\xi -x_{0})\cdot \dots \cdot (\xi -x_{n-1})\\&=f(z)+f'(z)\cdot (\xi -z)+\dots +{\frac {f^{(n)}(z)}{n!}}\cdot (\xi -z)^{n}\end{aligned}}}$$

Solicitud

Como puede verse en la definición de las diferencias divididas, se pueden agregar nuevos puntos de datos al conjunto de datos para crear un nuevo polinomio de interpolación sin volver a calcular los coeficientes anteriores. Y cuando un dato cambia, normalmente no tenemos que volver a calcular todos los coeficientes. Además, si los x _i se distribuyen equidistantemente, el cálculo de las diferencias divididas resulta mucho más fácil. Por lo tanto, a efectos prácticos , las fórmulas en diferencias divididas suelen preferirse a la forma de Lagrange .

Ejemplos

Las diferencias divididas se pueden escribir en forma de tabla. Por ejemplo, para una función, f debe interpolarse en puntos . Escribir ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}x_{0}&f(x_{0})&&\\&&{f(x_{1})-f(x_{0}) \over x_{1}-x_{0}}&\\x_{1}&f(x_{1})&&{{f(x_{2})-f(x_{1}) \over x_{2}-x_{1}}-{f(x_{1})-f(x_{0}) \over x_{1}-x_{0}} \over x_{2}-x_{0}}\\&&{f(x_{2})-f(x_{1}) \over x_{2}-x_{1}}&\\x_{2}&f(x_{2})&&\vdots \\&&\vdots &\\\vdots &&&\vdots \\&&\vdots &\\x_{n}&f(x_{n})&&\\\end{matrix}}}$

Luego, el polinomio de interpolación se forma como se indicó anteriormente utilizando las entradas superiores de cada columna como coeficientes.

Por ejemplo, supongamos que vamos a construir el polinomio de interpolación para f ( x ) = tan( x ) usando diferencias divididas, en los puntos

Usando seis dígitos de precisión, construimos la tabla.

${\displaystyle {\begin{matrix}-{\tfrac {3}{2}}&-14.1014&&&&\\&&17.5597&&&\\-{\tfrac {3}{4}}&-0.931596&&-10.8784&&\\&&1.24213&&4.83484&\\0&0&&0&&0\\&&1.24213&&4.83484&\\{\tfrac {3}{4}}&0.931596&&10.8784&&\\&&17.5597&&&\\{\tfrac {3}{2}}&14.1014&&&&\\\end{matrix}}}$

Por tanto, el polinomio de interpolación es

${\displaystyle {\begin{aligned}&-14.1014+17.5597(x+{\tfrac {3}{2}})-10.8784(x+{\tfrac {3}{2}})(x+{\tfrac {3}{4}})+4.83484(x+{\tfrac {3}{2}})(x+{\tfrac {3}{4}})(x)+0(x+{\tfrac {3}{2}})(x+{\tfrac {3}{4}})(x)(x-{\tfrac {3}{4}})\\={}&-0.00005-1.4775x-0.00001x^{2}+4.83484x^{3}\end{aligned}}}$

Si se dan más dígitos de precisión en la tabla, se encontrará que el primer y el tercer coeficiente son cero.

Otro ejemplo:

La secuencia tal que y , es decir, son de a . ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle f_{0}(1)=6,f_{0}(2)=9,f_{0}(3)=2}$ ${\displaystyle f_{0}(4)=5}$ ${\displaystyle 6,9,2,5}$ ${\displaystyle x_{0}=1}$ ${\displaystyle x_{3}=4}$

La pendiente de orden se obtiene de la siguiente manera: ${\displaystyle 1}$

• ${\displaystyle f_{1}(x_{0},x_{1})={\frac {f_{0}(x_{1})-f_{0}(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {9-6}{2-1}}=3}$
• ${\displaystyle f_{1}(x_{1},x_{2})={\frac {f_{0}(x_{2})-f_{0}(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {2-9}{3-2}}=-7}$
• ${\displaystyle f_{1}(x_{2},x_{3})={\frac {f_{0}(x_{3})-f_{0}(x_{2})}{x_{3}-x_{2}}}={\frac {5-2}{4-3}}=3}$

Como tenemos las pendientes de orden , es posible obtener el siguiente orden: ${\displaystyle 1}$

• ${\displaystyle f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})={\frac {f_{1}(x_{1},x_{2})-f_{1}(x_{0},x_{1})}{x_{2}-x_{0}}}={\frac {-7-3}{3-1}}=-5}$
• ${\displaystyle f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {f_{1}(x_{2},x_{3})-f_{1}(x_{1},x_{2})}{x_{3}-x_{1}}}={\frac {3-(-7)}{4-2}}=5}$

Finalmente, definimos la pendiente de orden : ${\displaystyle 3}$

• ${\displaystyle f_{3}(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})-f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})}{x_{3}-x_{0}}}={\frac {5-(-5)}{4-1}}={\frac {10}{3}}}$

Una vez que tenemos la pendiente, podemos definir los polinomios consiguientes:

• ${\displaystyle p_{0}(x)=6}$.
• ${\displaystyle p_{1}(x)=6+3(x-1)}$
• ${\displaystyle p_{2}(x)=6+3(x-1)-5(x-1)(x-2)}$.
• ${\displaystyle p_{3}(x)=6+3(x-1)-5(x-1)(x-2)+{\frac {10}{3}}(x-1)(x-2)(x-3)}$

Ver también

• De numeris triangularibus et inde de progresivaibus arithmeticis: Magisteria magna , una obra de Thomas Harriot que describe métodos similares de interpolación, escrita 50 años antes que la obra de Newton pero no publicada hasta 2009.
• Serie de Newton
• El esquema de Neville
• Interpolación polinomial
• Forma de Lagrange del polinomio de interpolación
• Forma de Bernstein del polinomio de interpolación
• interpolación de Hermite
• teorema de carlson
• Tabla de series newtonianas

Referencias

1. Dunham, William (1990). "7". Viaje a través del genio: los grandes teoremas de las matemáticas . Kanak Agrawal, Inc. págs. ISBN 9780140147391. Consultado el 24 de octubre de 2019 .
2. Epperson, James F. (2013). Una introducción a los métodos y análisis numéricos (2ª ed.). Hoboken, Nueva Jersey: Wiley. ISBN 978-1-118-36759-9.
3. Carga, Richard L.; Ferias, J. Douglas (2011). Análisis numérico (9ª ed.). Aprendizaje Cengage. pag. 129.ISBN​ 9780538733519.
4. Hamming, Richard W. (1986). Métodos numéricos para científicos e ingenieros (Republica íntegra de la 2. ed. (1973) ed.). Nueva York: Dover. ISBN 978-0-486-65241-2.
5. Stetekluh, Jeff. "Algoritmo para la forma de Newton del polinomio de interpolación".

enlaces externos

• Módulo para el polinomio de Newton por John H. Mathews