El teorema de Cauchy es un teorema de geometría que lleva el nombre de Augustin Cauchy . Afirma que los politopos convexos en tres dimensiones con caras correspondientes congruentes deben ser congruentes entre sí. Es decir, cualquier red poliédrica formada al desplegar las caras del poliedro sobre una superficie plana, junto con instrucciones de pegado que describen qué caras deben conectarse entre sí, determina de forma única la forma del poliedro original. Por ejemplo, si seis cuadrados están conectados en el patrón de un cubo, entonces deben formar un cubo: no hay ningún poliedro convexo con seis caras cuadradas conectadas de la misma manera que no tenga la misma forma.
Este es un resultado fundamental en la teoría de la rigidez : una consecuencia del teorema es que, si uno construye un modelo físico de un poliedro convexo conectando placas rígidas para cada una de las caras del poliedro con bisagras flexibles a lo largo de los bordes del poliedro, entonces este conjunto de placas y bisagras formará necesariamente una estructura rígida.
Sean P y Q politopos convexos tridimensionales combinatoriamente equivalentes ; es decir, son politopos convexos con redes de caras isomorfas . Supongamos además que cada par de caras correspondientes de P y Q son congruentes entre sí, es decir, iguales hasta un movimiento rígido. Entonces P y Q son congruentes.
Para ver que la convexidad es necesaria, considere un icosaedro regular . Se puede "empujar hacia adentro" un vértice para crear un poliedro no convexo que aún es combinatoriamente equivalente al icosaedro regular; es decir, se pueden tomar cinco caras del icosaedro que se encuentran en un vértice, que forman los lados de una pirámide pentagonal , y reflejar la pirámide con respecto a su base.
Historia
El resultado se originó en los Elementos de Euclides , donde los sólidos se llaman iguales si lo mismo se cumple para sus caras. Esta versión del resultado fue demostrada por Cauchy en 1813 basándose en el trabajo anterior de Lagrange . Un error en la prueba de Cauchy del lema principal fue corregido por Ernst Steinitz , Isaac Jacob Schoenberg y Aleksandr Danilovich Aleksandrov . La prueba corregida de Cauchy es tan corta y elegante, que se considera una de las Pruebas de EL LIBRO . [1]
Generalizaciones y resultados relacionados
El resultado no se cumple en un plano ni para poliedros no convexos en : existen poliedros flexibles no convexos que tienen uno o más grados de libertad de movimiento que conservan las formas de sus caras. En particular, los octaedros de Bricard son superficies flexibles autointersecantes descubiertas por un matemático francés Raoul Bricard en 1897. La esfera de Connelly , un poliedro flexible no convexo homeomorfo a una 2-esfera, fue descubierta por Robert Connelly en 1977. [2] [3]
Aunque originalmente fue demostrado por Cauchy en tres dimensiones, el teorema fue extendido a dimensiones superiores a 3 por Alexandrov (1950).
El teorema de rigidez de Cauchy es un corolario del teorema de Cauchy que establece que un politopo convexo no se puede deformar para que sus caras permanezcan rígidas.
El teorema de rigidez de Dehn es una extensión del teorema de rigidez de Cauchy a la rigidez infinitesimal. Este resultado fue obtenido por Dehn en 1916.
El teorema de unicidad de Alexandrov es un resultado de Alexandrov (1950), que generaliza el teorema de Cauchy al demostrar que los poliedros convexos se describen de manera única mediante los espacios métricos de las geodésicas en su superficie. El teorema de unicidad análogo para superficies lisas fue demostrado por Cohn-Vossen en 1927. El teorema de unicidad de Pogorelov es un resultado de Pogorelov que generaliza ambos resultados y los aplica a superficies convexas generales.
^ Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (2014). Pruebas de EL LIBRO. Springer. pp. 91–93. ISBN 9783540404606.
^ Connelly, Robert (1977). "Un contraejemplo a la conjetura de rigidez para poliedros" (PDF) . Publications Mathématiques de l'IHÉS . 47 : 333–338. doi :10.1007/BF02684342. ISSN 0073-8301. S2CID 122968997.
^ Connelly, Robert (1979). "La rigidez de las superficies poliédricas". Revista de matemáticas . 52 (5): 275–283. doi :10.2307/2689778. JSTOR 2689778.
^ Gluck, Herman (1975). "Casi todas las superficies cerradas conexas son rígidas". En Glaser, Leslie Curtis; Rushing, Thomas Benjamin (eds.). Topología geométrica . Apuntes de clase de matemáticas. Vol. 438. Springer Berlin Heidelberg. págs. 225–239. doi :10.1007/bfb0066118. ISBN.9783540374121.
AL Cauchy, "Recherche sur les polyèdres – premier mémoire", Journal de l'École Polytechnique 9 (1813), 66–86.
Max Dehn , "Über die Starrheit konvexer Polyeder" (en alemán), Math. Ana. 77 (1916), 466–473.
