Teorema de rango-nulidad

En álgebra lineal, relación entre 3 dimensiones.

Teorema de rango-nulidad

El teorema de rango-nulidad es un teorema de álgebra lineal que afirma:

• el número de columnas de una matriz M es la suma del rango de M y la nulidad de M ; y
• la dimensión del dominio de una transformación lineal f es la suma del rango de f (la dimensión de la imagen de f ) y la nulidad de f (la dimensión del núcleo de f ). ^{[1] [2] [3] [4]}

De ello se deduce que para transformaciones lineales de espacios vectoriales de igual dimensión finita, ya sea inyectividad o sobreyectividad implica biyectividad .

Enunciando el teorema

Transformaciones lineales

Sea una transformación lineal entre dos espacios vectoriales donde el dominio de es de dimensión finita. Entonces, ¿dónde está el rango de (la dimensión de su imagen ) y es la nulidad de (la dimensión de su núcleo )? En otras palabras, este teorema se puede refinar mediante el lema de división para que sea una afirmación sobre un isomorfismo de espacios, no solo de dimensiones. Explícitamente, ya que induce un isomorfismo de a la existencia de una base para que extiende cualquier base dada de implica, a través del lema de división, que Tomando dimensiones, se sigue el teorema de rango-nulidad. ${\displaystyle T:V\to W}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle \operatorname {rank} (T)~+~\operatorname {nullity} (T)~=~\dim V,}$$ ${\textstyle \operatorname {rank} (T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \operatorname {nullity} (T)}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \dim(\operatorname {Im} T)+\dim(\operatorname {Ker} T)=\dim(\operatorname {Domain} (T)).}$$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V/\operatorname {Ker} (T)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (T),}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {Ker} (T)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (T)\oplus \operatorname {Ker} (T)\cong V.}$

matrices

Los mapas lineales se pueden representar con matrices . Más precisamente, una matriz M representa un mapa lineal donde está el campo subyacente . ^[5] Entonces, la dimensión del dominio de es n , el número de columnas de M y el teorema de rango-nulidad para una matriz M es ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle f:F^{n}\to F^{m},}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle m\times n}$ $${\displaystyle \operatorname {rank} (M)+\operatorname {nullity} (M)=n.}$$

Pruebas

Aquí ofrecemos dos pruebas. El primero ^[2] opera en el caso general, utilizando aplicaciones lineales. La segunda prueba ^[6] analiza el sistema homogéneo donde es a con rango y muestra explícitamente que existe un conjunto de soluciones linealmente independientes que abarcan el espacio nulo de . ${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {0} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle n-r}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Si bien el teorema requiere que el dominio del mapa lineal sea de dimensión finita, no existe tal suposición en el codominio. Esto significa que hay aplicaciones lineales no dadas por matrices a las que se aplica el teorema. A pesar de esto, la primera prueba no es en realidad más general que la segunda: dado que la imagen del mapa lineal es de dimensión finita, podemos representar el mapa desde su dominio hasta su imagen mediante una matriz, probar el teorema para esa matriz, luego componer con la inclusión de la imagen en el codominio completo.

Primera prueba

Sean espacios vectoriales sobre algún campo y definidos como en el enunciado del teorema con . ${\displaystyle V,W}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \dim V=n}$

Como es un subespacio , existe una base para ello. Supongamos y dejemos que tal base sea así. ${\displaystyle \operatorname {Ker} T\subset V}$ ${\displaystyle \dim \operatorname {Ker} T=k}$ $${\displaystyle {\mathcal {K}}:=\{v_{1},\ldots ,v_{k}\}\subset \operatorname {Ker} (T)}$$

Ahora podemos, mediante el lema de intercambio de Steinitz , extender con vectores linealmente independientes para formar una base completa de . ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle n-k}$ ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n-k}}$ ${\displaystyle V}$

Dejemos que eso sea una base para . De esto sabemos que $${\displaystyle {\mathcal {S}}:=\{w_{1},\ldots ,w_{n-k}\}\subset V\setminus \operatorname {Ker} (T)}$$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}:={\mathcal {K}}\cup {\mathcal {S}}=\{v_{1},\ldots ,v_{k},w_{1},\ldots ,w_{n-k}\}\subset V}$$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle \operatorname {Im} T=\operatorname {Span} T({\mathcal {B}})=\operatorname {Span} \{T(v_{1}),\ldots ,T(v_{k}),T(w_{1}),\ldots ,T(w_{n-k})\}}$$

${\displaystyle =\operatorname {Span} \{T(w_{1}),\ldots ,T(w_{n-k})\}=\operatorname {Span} T({\mathcal {S}}).}$

Ahora afirmamos que es una base para . La igualdad anterior ya establece que es un grupo electrógeno para ; queda por demostrar que también es linealmente independiente para concluir que es una base. ${\displaystyle T({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} T}$ ${\displaystyle T({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} T}$

Supongamos que no es linealmente independiente y sea para algunos . ${\displaystyle T({\mathcal {S}})}$ $${\displaystyle \sum _{j=1}^{n-k}\alpha _{j}T(w_{j})=0_{W}}$$ ${\displaystyle \alpha _{j}\in F}$

Por lo tanto, debido a la linealidad de , se deduce que esto es una contradicción con ser una base, a menos que todos sean iguales a cero. Esto muestra que es linealmente independiente y, más específicamente, que es una base para . ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle T\left(\sum _{j=1}^{n-k}\alpha _{j}w_{j}\right)=0_{W}\implies \left(\sum _{j=1}^{n-k}\alpha _{j}w_{j}\right)\in \operatorname {Ker} T=\operatorname {Span} {\mathcal {K}}\subset V.}$$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \alpha _{j}}$ ${\displaystyle T({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} T}$

Para resumir, tenemos una base para y una base para . ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ker} T}$ ${\displaystyle T({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} T}$

Finalmente podemos afirmar que $${\displaystyle \operatorname {Rank} (T)+\operatorname {Nullity} (T)=\dim \operatorname {Im} T+\dim \operatorname {Ker} T}$$

${\displaystyle =|T({\mathcal {S}})|+|{\mathcal {K}}|=(n-k)+k=n=\dim V.}$

Esto concluye nuestra prueba.

Segunda prueba

Sea una matriz con columnas linealmente independientes (es decir ). Mostraremos que: ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \operatorname {Rank} (\mathbf {A} )=r}$

1. Existe un conjunto de soluciones linealmente independientes para el sistema homogéneo . ${\displaystyle n-r}$ ${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {0} }$
2. Que cualquier otra solución es una combinación lineal de estas soluciones. ${\displaystyle n-r}$

Para hacer esto, produciremos una matriz cuyas columnas formen una base del espacio nulo de . ${\displaystyle n\times (n-r)}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Sin pérdida de generalidad, supongamos que las primeras columnas de son linealmente independientes. Entonces, podemos escribir dónde ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {A} _{2}\end{pmatrix}},}$$

• ${\displaystyle \mathbf {A} _{1}}$es una matriz con vectores columna linealmente independientes, y ${\displaystyle m\times r}$ ${\displaystyle r}$
• ${\displaystyle \mathbf {A} _{2}}$es una matriz tal que cada una de sus columnas son combinaciones lineales de las columnas de . ${\displaystyle m\times (n-r)}$ ${\displaystyle n-r}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{1}}$

Esto significa que para alguna matriz (ver factorización de rango ) y, por tanto, ${\displaystyle \mathbf {A} _{2}=\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} }$ ${\displaystyle r\times (n-r)}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} \end{pmatrix}}.}$$

Sea donde está la matriz identidad . Entonces, ¿es una matriz tal que $${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{pmatrix}-\mathbf {B} \\\mathbf {I} _{n-r}\end{pmatrix}},}$$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{n-r}}$ ${\displaystyle (n-r)\times (n-r)}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle n\times (n-r)}$ $${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {X} ={\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-\mathbf {B} \\\mathbf {I} _{n-r}\end{pmatrix}}=-\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} +\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} =\mathbf {0} _{m\times (n-r)}.}$$

Por tanto, cada una de las columnas de son soluciones particulares de . ${\displaystyle n-r}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Ax} ={0}_{{F}^{m}}}$

Además, las columnas de son linealmente independientes porque implicará para : Por lo tanto, los vectores de columna de constituyen un conjunto de soluciones linealmente independientes para . ${\displaystyle n-r}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Xu} =\mathbf {0} _{{F}^{n}}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} _{{F}^{n-r}}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \in {F}^{n-r}}$ $${\displaystyle \mathbf {X} \mathbf {u} =\mathbf {0} _{{F}^{n}}\implies {\begin{pmatrix}-\mathbf {B} \\\mathbf {I} _{n-r}\end{pmatrix}}\mathbf {u} =\mathbf {0} _{{F}^{n}}\implies {\begin{pmatrix}-\mathbf {B} \mathbf {u} \\\mathbf {u} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {0} _{{F}^{r}}\\\mathbf {0} _{{F}^{n-r}}\end{pmatrix}}\implies \mathbf {u} =\mathbf {0} _{{F}^{n-r}}.}$$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle n-r}$ ${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {0} _{\mathbb {F} ^{m}}}$

A continuación demostramos que cualquier solución de debe ser una combinación lineal de las columnas de . ${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {0} _{{F}^{m}}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

Para esto, dejemos $${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{pmatrix}\mathbf {u} _{1}\\\mathbf {u} _{2}\end{pmatrix}}\in {F}^{n}}$$

Sea cualquier vector tal que . Dado que las columnas de son linealmente independientes, implica . ${\displaystyle \mathbf {Au} =\mathbf {0} _{{F}^{m}}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{1}\mathbf {x} =\mathbf {0} _{{F}^{m}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} _{{F}^{r}}}$

Por lo tanto, $${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\mathbf {A} \mathbf {u} &=&\mathbf {0} _{{F}^{m}}\\\implies {\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {u} _{1}\\\mathbf {u} _{2}\end{pmatrix}}&=&\mathbf {A} _{1}\mathbf {u} _{1}+\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} \mathbf {u} _{2}&=&\mathbf {A} _{1}(\mathbf {u} _{1}+\mathbf {B} \mathbf {u} _{2})&=&\mathbf {0} _{\mathbb {F} ^{m}}\\\implies \mathbf {u} _{1}+\mathbf {B} \mathbf {u} _{2}&=&\mathbf {0} _{{F}^{r}}\\\implies \mathbf {u} _{1}&=&-\mathbf {B} \mathbf {u} _{2}\end{array}}}$$ $${\displaystyle \implies \mathbf {u} ={\begin{pmatrix}\mathbf {u} _{1}\\\mathbf {u} _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\mathbf {B} \\\mathbf {I} _{n-r}\end{pmatrix}}\mathbf {u} _{2}=\mathbf {X} \mathbf {u} _{2}.}$$

Esto demuestra que cualquier vector que sea solución de debe ser una combinación lineal de las soluciones especiales dadas por las columnas de . Y ya hemos visto que las columnas de son linealmente independientes. Por tanto, las columnas de constituyen una base para el espacio nulo de . Por tanto, la nulidad de es . Dado que es igual al rango de , se deduce que . Con esto concluye nuestra prueba. ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle n-r}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle n-r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \operatorname {Rank} (\mathbf {A} )+\operatorname {Nullity} (\mathbf {A} )=n}$

Un tercer subespacio fundamental

Cuando se trata de una transformación lineal entre dos subespacios de dimensión finita, con y (por lo que puede representarse mediante una matriz ), el teorema de rango-nulidad afirma que si tiene rango , entonces es la dimensión del espacio nulo de , que representa el núcleo de . En algunos textos, se considera un tercer subespacio fundamental asociado a junto con su imagen y núcleo: el cokernel de es el espacio cociente , y su dimensión es . Esta fórmula de dimensión (que también podría traducirse ) junto con el teorema de rango-nulidad a veces se denomina teorema fundamental del álgebra lineal . ^{[7] [8]} ${\displaystyle T:V\to W}$ ${\displaystyle n=\dim(V)}$ ${\displaystyle m=\dim(W)}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n-r}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle W/\operatorname {Im} (T)}$ ${\displaystyle m-r}$ ${\displaystyle \dim \operatorname {Im} (T)+\dim \operatorname {Coker} (T)=\dim(W)}$

Reformulaciones y generalizaciones

Este teorema es un enunciado del primer teorema de isomorfismo del álgebra para el caso de espacios vectoriales; se generaliza al lema de división .

En un lenguaje más moderno, el teorema también se puede expresar de la siguiente manera: cada secuencia corta y exacta de espacios vectoriales se divide. Explícitamente, dado que es una secuencia corta y exacta de espacios vectoriales, entonces , por lo tanto, aquí juega el papel de y es , es decir $${\displaystyle 0\rightarrow U\rightarrow V\mathbin {\overset {T}{\rightarrow }} R\rightarrow 0}$$ ${\displaystyle U\oplus R\cong V}$ $${\displaystyle \dim(U)+\dim(R)=\dim(V).}$$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {Ker} T}$ $${\displaystyle 0\rightarrow \ker T\mathbin {\hookrightarrow } V\mathbin {\overset {T}{\rightarrow }} \operatorname {im} T\rightarrow 0}$$

En el caso de dimensión finita, esta formulación es susceptible de una generalización: si es una secuencia exacta de espacios vectoriales de dimensión finita, entonces ^[9] El teorema de rango-nulidad para espacios vectoriales de dimensión finita también puede formularse en términos de índice de un mapa lineal. El índice de un mapa lineal , donde y son de dimensión finita, está definido por $${\displaystyle 0\rightarrow V_{1}\rightarrow V_{2}\rightarrow \cdots V_{r}\rightarrow 0}$$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{r}(-1)^{i}\dim(V_{i})=0.}$$ ${\displaystyle T\in \operatorname {Hom} (V,W)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ $${\displaystyle \operatorname {index} T=\dim \operatorname {Ker} (T)-\dim \operatorname {Coker} T.}$$

Intuitivamente, es el número de soluciones independientes de la ecuación y es el número de restricciones independientes que se deben imponer para que sea solucionable. El teorema de rango-nulidad para espacios vectoriales de dimensión finita es equivalente al enunciado ${\displaystyle \dim \operatorname {Ker} T}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle Tv=0}$ ${\displaystyle \dim \operatorname {Coker} T}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle Tv=w}$ $${\displaystyle \operatorname {index} T=\dim V-\dim W.}$$

Vemos que podemos leer fácilmente el índice del mapa lineal de los espacios involucrados, sin necesidad de analizarlo en detalle. Este efecto también ocurre en un resultado mucho más profundo: el teorema del índice de Atiyah-Singer establece que el índice de ciertos operadores diferenciales se puede leer en la geometría de los espacios involucrados. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Citas

1. Axler (2015) pág. 63, §3.22
2. Friedberg, Insel y Spence (2014) p. 70, §2.1, Teorema 2.3
3. Katznelson y Katznelson (2008) pág. 52, §2.5.1
4. Valenza (1993) pág. 71, §4.3
5. Friedberg, Insel & Spence (2014) págs. 103-104, §2.4, Teorema 2.20
6. Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Álgebra lineal y análisis matricial para estadística , Textos de ciencia estadística (1.ª ed.), Chapman y Hall/CRC, ISBN 978-1420095388
7. * Strang, Gilbert . Álgebra lineal y sus aplicaciones . 3ª edición. Orlando: Saunders, 1988.
8. Strang, Gilbert (1993), "El teorema fundamental del álgebra lineal" (PDF) , American Mathematical Monthly , 100 (9): 848–855, CiteSeerX 10.1.1.384.2309 , doi :10.2307/2324660, JSTOR  2324660 
9. Zaman, Ragib. "Dimensiones de espacios vectoriales en una secuencia exacta". Intercambio de pilas de matemáticas . Consultado el 27 de octubre de 2015 .

Referencias

• Axler, Sheldon (2015). Álgebra lineal bien hecha . Textos de Pregrado en Matemáticas (3ª ed.). Saltador . ISBN 978-3-319-11079-0.
• Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Álgebra lineal y análisis matricial para estadística , Textos de ciencia estadística (1.ª ed.), Chapman y Hall/CRC, ISBN 978-1420095388
• Friedberg, Stephen H.; Insel, Arnold J.; Spence, Lawrence E. (2014). Álgebra lineal (4ª ed.). Educación Pearson . ISBN 978-0130084514.
• Meyer, Carl D. (2000), Análisis matricial y álgebra lineal aplicada, SIAM , ISBN 978-0-89871-454-8.
• Katznelson, Yitzhak ; Katznelson, Yonatan R. (2008). Una introducción (concisa) al álgebra lineal . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Valenza, Robert J. (1993) [1951]. Álgebra lineal: una introducción a las matemáticas abstractas . Textos de Pregrado en Matemáticas (3ª ed.). Saltador . ISBN 3-540-94099-5.

Enlaces externos

• Gilbert Strang , Conferencia de álgebra lineal del MIT sobre los cuatro subespacios fundamentales, del MIT OpenCourseWare