Teorema de descomposición de Hahn

Teorema de mensurabilidad

En matemáticas , el teorema de descomposición de Hahn , llamado así en honor al matemático austríaco Hans Hahn , establece que para cualquier espacio medible y cualquier medida con signo definida en el -álgebra , existen dos conjuntos -medibles, y , tales que: ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle P\cup N=X}$y . ${\displaystyle P\cap N=\varnothing }$
2. Para cada uno tal que , se tiene , es decir, es un conjunto positivo para . ${\displaystyle E\in \Sigma }$ ${\displaystyle E\subseteq P}$ ${\displaystyle \mu (E)\geq 0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mu }$
3. Para cada uno tal que , se tiene , es decir, es un conjunto negativo para . ${\displaystyle E\in \Sigma }$ ${\displaystyle E\subseteq N}$ ${\displaystyle \mu (E)\leq 0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mu }$

Además, esta descomposición es esencialmente única , lo que significa que para cualquier otro par de subconjuntos -medibles de que cumplan las tres condiciones anteriores, las diferencias simétricas y son conjuntos - nulos en el sentido fuerte de que cada subconjunto -medible de ellos tiene medida cero. El par se denomina entonces descomposición de Hahn de la medida con signo . ${\displaystyle (P',N')}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P\triangle P'}$ ${\displaystyle N\triangle N'}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle (P,N)}$ ${\displaystyle \mu }$

Descomposición de la medida de Jordan

Una consecuencia del teorema de descomposición de Hahn es laTeorema de descomposición de Jordan , que establece que cada medida con signodefinida entiene unaúnicaen una diferenciade dos medidas positivas,y, al menos una de las cuales es finita, de modo quepara cadasubconjunto -medibleypara cadasubconjunto -medible, para cualquier descomposición de Hahnde. Llamamosya lapartepositivayde, respectivamente. El parse llamadescomposición de Jordan(o a vecesdescomposición de Hahn-Jordan) de. Las dos medidas se pueden definir como ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mu =\mu ^{+}-\mu ^{-}}$ ${\displaystyle \mu ^{+}}$ ${\displaystyle \mu ^{-}}$ ${\displaystyle {\mu ^{+}}(E)=0}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle E\subseteq N}$ ${\displaystyle {\mu ^{-}}(E)=0}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle E\subseteq P}$ ${\displaystyle (P,N)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu ^{+}}$ ${\displaystyle \mu ^{-}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (\mu ^{+},\mu ^{-})}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\mu ^{+}}(E):=\mu (E\cap P)\qquad {\text{and}}\qquad {\mu ^{-}}(E):=-\mu (E\cap N)}$

para cada y cualquier descomposición de Hahn de . ${\displaystyle E\in \Sigma }$ ${\displaystyle (P,N)}$ ${\displaystyle \mu }$

Tenga en cuenta que la descomposición de Jordan es única, mientras que la descomposición de Hahn sólo es esencialmente única.

La descomposición de Jordan tiene el siguiente corolario: Dada una descomposición de Jordan de una medida con signo finito , se tiene ${\displaystyle (\mu ^{+},\mu ^{-})}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\mu ^{+}}(E)=\sup _{B\in \Sigma ,~B\subseteq E}\mu (B)\quad {\text{and}}\quad {\mu ^{-}}(E)=-\inf _{B\in \Sigma ,~B\subseteq E}\mu (B)}$

para cualquier en . Además, si para un par de medidas finitas no negativas en , entonces ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mu =\nu ^{+}-\nu ^{-}}$ ${\displaystyle (\nu ^{+},\nu ^{-})}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \nu ^{+}\geq \mu ^{+}\quad {\text{and}}\quad \nu ^{-}\geq \mu ^{-}.}$

La última expresión significa que la descomposición de Jordan es la descomposición mínima de en una diferencia de medidas no negativas. Esta es la propiedad de minimalidad de la descomposición de Jordan. ${\displaystyle \mu }$

Prueba de la descomposición de Jordan: para una prueba elemental de la existencia, unicidad y minimalidad de la descomposición de la medida de Jordan, consulte Fischer (2012).

Prueba del teorema de descomposición de Hahn

Preparación: Supongamos que no toma el valor (de lo contrario, descompongamos según ). Como se mencionó anteriormente, un conjunto negativo es un conjunto tal que para cada subconjunto -medible . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\mu }$ ${\displaystyle A\in \Sigma }$ ${\displaystyle \mu (B)\leq 0}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle B\subseteq A}$

Afirmación: Supongamos que se cumple . Entonces existe un conjunto negativo tal que . ${\displaystyle D\in \Sigma }$ ${\displaystyle \mu (D)\leq 0}$ ${\displaystyle A\subseteq D}$ ${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (D)}$

Prueba de la afirmación: Defina . Supongamos inductivamente que se ha construido. Sea ${\displaystyle A_{0}:=D}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle A_{n}\subseteq D}$

${\displaystyle t_{n}:=\sup(\{\mu (B)\mid B\in \Sigma ~{\text{and}}~B\subseteq A_{n}\})}$

denota el supremo de todos los subconjuntos -medibles de . Este supremo podría ser infinito a priori . Como el conjunto vacío es un posible candidato para en la definición de , y como , tenemos . Por la definición de , entonces existe un subconjunto -medible que satisface ${\displaystyle \mu (B)}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$ ${\displaystyle t_{n}\geq 0}$ ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle B_{n}\subseteq A_{n}}$

${\displaystyle \mu (B_{n})\geq \min \!\left(1,{\frac {t_{n}}{2}}\right).}$

Establezca el paso de inducción para finalizar. Por último, defina ${\displaystyle A_{n+1}:=A_{n}\setminus B_{n}}$

${\displaystyle A:=D{\Bigg \backslash }\bigcup _{n=0}^{\infty }B_{n}.}$

Como los conjuntos son subconjuntos disjuntos de , se deduce de la aditividad sigma de la medida con signo que ${\displaystyle (B_{n})_{n=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu (D)=\mu (A)+\sum _{n=0}^{\infty }\mu (B_{n})\geq \mu (A)+\sum _{n=0}^{\infty }\min \!\left(1,{\frac {t_{n}}{2}}\right)\geq \mu (A).}$

Esto demuestra que . Supongamos que no fuera un conjunto negativo. Esto significa que existiría un subconjunto -medible que satisface . Entonces , para cada , entonces la serie de la derecha tendría que divergir a , lo que implica que , lo cual es una contradicción, ya que . Por lo tanto, debe ser un conjunto negativo. ${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (D)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle \mu (B)>0}$ ${\displaystyle t_{n}\geq \mu (B)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle \mu (D)=+\infty }$ ${\displaystyle \mu (D)\leq 0}$ ${\displaystyle A}$

Construcción de la descomposición: Conjunto . Inductivamente, dado , definir ${\displaystyle N_{0}=\varnothing }$ ${\displaystyle N_{n}}$

${\displaystyle s_{n}:=\inf(\{\mu (D)\mid D\in \Sigma ~{\text{and}}~D\subseteq X\setminus N_{n}\}).}$

como el ínfimo de todos los subconjuntos -medibles de . Este ínfimo podría ser a priori . Como es un posible candidato para en la definición de , y como , tenemos . Por lo tanto, existe un subconjunto -medible tal que ${\displaystyle \mu (D)}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X\setminus N_{n}}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle s_{n}}$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$ ${\displaystyle s_{n}\leq 0}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle D_{n}\subseteq X\setminus N_{n}}$

${\displaystyle \mu (D_{n})\leq \max \!\left({\frac {s_{n}}{2}},-1\right)\leq 0.}$

Por la afirmación anterior, existe un conjunto negativo tal que . Conjunto para finalizar el paso de inducción. Finalmente, defina ${\displaystyle A_{n}\subseteq D_{n}}$ ${\displaystyle \mu (A_{n})\leq \mu (D_{n})}$ ${\displaystyle N_{n+1}:=N_{n}\cup A_{n}}$

${\displaystyle N:=\bigcup _{n=0}^{\infty }A_{n}.}$

Como los conjuntos son disjuntos, tenemos para cada subconjunto -medible que ${\displaystyle (A_{n})_{n=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle B\subseteq N}$

${\displaystyle \mu (B)=\sum _{n=0}^{\infty }\mu (B\cap A_{n})}$

por la aditividad sigma de . En particular, esto demuestra que es un conjunto negativo. A continuación, defina . Si no fuera un conjunto positivo, existiría un subconjunto -medible con . Entonces, para todos y ^{[ aclaración necesaria ]} ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle P:=X\setminus N}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle D\subseteq P}$ ${\displaystyle \mu (D)<0}$ ${\displaystyle s_{n}\leq \mu (D)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$

${\displaystyle \mu (N)=\sum _{n=0}^{\infty }\mu (A_{n})\leq \sum _{n=0}^{\infty }\max \!\left({\frac {s_{n}}{2}},-1\right)=-\infty ,}$

lo cual no está permitido para . Por lo tanto, es un conjunto positivo. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle P}$

Prueba del enunciado de unicidad: Supongamos que es otra descomposición de Hahn de . Entonces es un conjunto positivo y también un conjunto negativo. Por lo tanto, cada subconjunto medible de él tiene medida cero. Lo mismo se aplica a . Como ${\displaystyle (N',P')}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P\cap N'}$ ${\displaystyle N\cap P'}$

${\displaystyle P\triangle P'=N\triangle N'=(P\cap N')\cup (N\cap P'),}$

Esto completa la prueba. QED

Referencias

• Billingsley, Patrick (1995). Probabilidad y medida: tercera edición . Serie Wiley sobre probabilidad y estadística matemática. Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-00710-2.
• Fischer, Tom (2012). "Existencia, unicidad y minimalidad de la descomposición de la medida de Jordan". arXiv : 1206.5449 [math.ST].

Enlaces externos

• Teorema de descomposición de Hahn en PlanetMath .
• "Descomposición de Hahn", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Descomposición de Jordan (de una medida con signo)", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]