Teorema de descomposición de Doob

En la teoría de procesos estocásticos en tiempo discreto , una parte de la teoría matemática de la probabilidad , el teorema de descomposición de Doob proporciona una descomposición única de cada proceso estocástico adaptado e integrable como la suma de una martingala y un proceso predecible (o "deriva") que comienza en cero. El teorema fue demostrado por Joseph L. Doob y lleva su nombre . ^[1]

El teorema análogo en el caso de tiempo continuo es el teorema de descomposición de Doob-Meyer .

Declaración

Sea un espacio de probabilidad , $I$ $= {0, 1, 2, ...,$ $N$ $}$ con o un conjunto de índices finito o contablemente infinito, una filtración de , y $X$ $= ($ $X$ $n$ $)$ $n$ $\in$ $I$ un proceso estocástico adaptado con $E[|$ $X$ $n$ $|] < \infty$ para todo $n$ $\in$ $I$ . Entonces existe una martingala $M$ $= ($ $M$ $n$ $)$ $n$ $\in$ $I$ y un proceso predecible integrable $A$ $= ($ $A$ $n$ $)$ $n$ $\in$ $I$ que comienza con $A$ $0$ $= 0$ tal que $X$ $n$ $=$ $M$ $n$ $+$ $A$ $n$ para todo $n$ $\in$ $I$ . Aquí predecible significa que $A$ $n$ es - medible para todo $n$ $\in$ $I$ $\ {0}$ . Esta descomposición es casi con seguridad única. ^[2]^[3]^[4] $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ $N\in \mathbb {N}$ $I=\mathbb {N}_{0}$ $({\mathcal {F}}_{n})_{n\in I}$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}_{n-1}$

Observación

El teorema es válido palabra por palabra también para procesos estocásticos $X$ que toman valores en el espacio euclidiano $d$ -dimensional o en el espacio vectorial complejo . Esto se deduce de la versión unidimensional considerando los componentes individualmente. $\mathbb {R} ^{d}$ $\mathbb {C} ^{d}$

Prueba

Existencia

Utilizando expectativas condicionales , defina los procesos $A$ y $M$ , para cada $n \in I$ , explícitamente mediante

donde las sumas para $n = 0$ están vacías y definidas como cero. Aquí $A$ suma los incrementos esperados de $X$ , y $M$ suma las sorpresas, es decir, la parte de cada $X k$ que no se conoce un paso de tiempo antes. Debido a estas definiciones, $A n +1$ (si $n + 1 \in I$ ) y $M n$ son $F n$ -medibles porque el proceso $X$ está adaptado, $E[| A n |] < \infty$ y $E[| M n |] < \infty$ porque el proceso $X$ es integrable, y la descomposición $X n = M n + A n$ es válida para cada $n \in I$ . La propiedad martingala

\mathbb {E}[M_{n}-M_{n-1}\,|\,{\mathcal {F}}_{n-1}]=0

como

También se sigue de la definición anterior ( 2 ), para cada $n ∈ I \ {0$ }.

Unicidad

Para demostrar la unicidad, sea $X = M' + A'$ una descomposición adicional. Entonces el proceso $Y := M - M' = A' - A$ es una martingala, lo que implica que

\mathbb {E} [Y_{n}\,|\,{\mathcal {F}}_{n-1}]=Y_{n-1}

como,

y también predecible, lo que implica que

\mathbb {E} [Y_{n}\,|\,{\mathcal {F}}_{n-1}]=Y_{n}

como

para cualquier $n ∈ I \ {0$ }. Dado que $Y 0 = A' 0 - A 0 = 0$ por la convención sobre el punto de inicio de los procesos predecibles, esto implica iterativamente que $Y n = 0$ casi con seguridad para todo $n \in I$ , por lo tanto, la descomposición es casi con seguridad única.

Corolario

Un proceso estocástico de valor real $X$ es una submartingala si y solo si tiene una descomposición de Doob en una martingala $M$ y un proceso predecible integrable $A$ que es casi seguramente creciente . ^[5] Es una supermartingala si y solo si $A$ es casi seguramente decreciente .

Prueba

Si $X$ es una submartingala, entonces

\mathbb {E} [X_{k}\,|\,{\mathcal {F}}_{k-1}]\geq X_{k-1}

como

para todo $k ∈ I \ {0$ }, lo que equivale a decir que cada término en la definición ( 1 ) de $A$ es casi seguramente positivo, por lo tanto, $A$ es casi seguramente creciente. La equivalencia para las supermartingalas se demuestra de manera similar.

Ejemplo

Sea $\mathbb {N} _ {0}$ una sucesión de variables aleatorias independientes, integrables y de valor real. Se adaptan a la filtración generada por la sucesión, es decir $F n = σ (X 0, . . . , X n)$ para todo $\mathbb {N} _ {0}$ . Por ( 1 ) y ( 2 ), la descomposición de Doob viene dada por

A_{n}=\sum _ {k=1}^{n}{\bigl (}\mathbb {E} [X_{k}]-X_{k-1}{\bigr )},\ cuadrilátero n\in \mathbb {N} _{0},

M_{n}=X_{0}+\sum _{k=1}^{n}{\bigl (}X_{k}-\mathbb {E} [X_{k}]{\bigr ) },\quad n\in \mathbb {N} _{0}.

Si las variables aleatorias de la secuencia original $X$ tienen media cero, esto se simplifica a

A_{n}=-\sum _{k=0}^{n-1}X_{k}

M_{n}=\sum _{k=0}^{n}X_{k},\quad n\in \mathbb {N} _{0},

por lo tanto, ambos procesos son paseos aleatorios (posiblemente no homogéneos en el tiempo) . Si la secuencia $\mathbb {N} _ {0}$ consiste en variables aleatorias simétricas que toman los valores $+1$ y $-1$ , entonces $X$ está acotado, pero la martingala $M$ y el proceso predecible $A$ son paseos aleatorios simples no acotados (y no uniformemente integrables ), y el teorema de detención opcional de Doob podría no ser aplicable a la martingala $M$ a menos que el tiempo de detención tenga una expectativa finita.

Solicitud

En finanzas matemáticas , el teorema de descomposición de Doob se puede utilizar para determinar el mayor tiempo de ejercicio óptimo de una opción americana . ^[6]^[7] Sea $X = (X 0, X 1, . . . , X N) los pagos$ descontados no negativos de una opción americana en un modelo de mercado financiero $de N$ periodos, adaptado a una filtración $(F 0, F 1, . . . , F N)$ , y sea una medida de martingala equivalente . Sea $U$ $= ($ $U$ $0$ $,$ $U$ $1$ $, . . . ,$ $U$ $N$ $)$ la envolvente de Snell de $X$ con respecto a . La envolvente de Snell es la -supermartingala más pequeña que domina $a X$ ^[8] y en un mercado financiero completo representa la cantidad mínima de capital necesaria para cubrir la opción americana hasta el vencimiento. ^[9] Sea $U$ $=$ $M$ $+$ $A$ la descomposición de Doob con respecto a la envolvente de Snell $U$ en una martingala $M$ $= ($ $M$ $0$ $,$ $M$ $1$ $, . . . ,$ $M$ $N$ $)$ y un proceso predecible decreciente $A$ $= ($ $A$ $0$ $,$ $A$ $1$ $, . . . ,$ $A$ $N$ $)$ con $A$ $0$ $= 0$ . Entonces el mayor tiempo de detención para ejercer la opción americana de manera óptima ^[10]^[11] es $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

\tau _{\text{max}}:={\begin{cases}N&{\text{si }}A_{N}=0,\\\min\{n\in \{0,\dots ,N-1\}\mid A_{n+1}<0\}&{\text{si }}A_{N}<0.\end{cases}}

Como $A$ es predecible, el evento ${τ max = n} = {A n = 0, A n +1 < 0$ } está en $F n$ para cada $n \in {0, 1, . . . , N - 1$ }, por lo tanto $τ max$ es de hecho un tiempo de detención. Da el último momento antes de que el valor descontado de la opción americana caiga en expectativa; hasta el tiempo $τ max$ el proceso de valor descontado $U$ es una martingala con respecto a . $\mathbb {Q}$

Generalización

El teorema de descomposición de Doob se puede generalizar desde espacios de probabilidad a espacios de medida σ-finitos . ^[12]

Citas

^ Doob (1953), ver (Doob 1990, págs. 296-298)
^ Durrett (2010)
^ (Föllmer & Schied 2011, Proposición 6.1)
^ (Williams 1991, Sección 12.11, parte (a) del Teorema)
^ (Williams 1991, Sección 12.11, parte (b) del Teorema)
^ (Lamberton y Lapeyre 2008, Capítulo 2: Problema de parada óptima y opciones americanas)
^ (Föllmer & Schied 2011, Capítulo 6: Reclamaciones contingentes estadounidenses)
^ (Föllmer & Schied 2011, Proposición 6.10)
^ (Föllmer y Schied 2011, teorema 6.11)
^ (Lamberton y Lapeyre 2008, Proposición 2.3.2)
^ (Föllmer y Schied 2011, teorema 6.21)
^ (Schilling 2005, Problema 23.11)

Referencias

Doob, Joseph L. (1953), Procesos estocásticos , Nueva York: Wiley, ISBN 978-0-471-21813-5, MR 0058896, Zbl 0053.26802
Doob, Joseph L. (1990), Procesos estocásticos (Wiley Classics Library ed.), Nueva York: John Wiley & Sons, Inc., ISBN 0-471-52369-0, MR 1038526, Zbl 0696.60003
Durrett, Rick (2010), Probabilidad: teoría y ejemplos , Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics (4. ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76539-8, MR 2722836, Zbl 1202.60001
Föllmer, Hans; Schied, Alexander (2011), Finanzas estocásticas: una introducción en tiempo discreto , graduado de De Gruyter (3. rev. y edición ampliada), Berlín, Nueva York: De Gruyter, ISBN 978-3-11-021804-6, MR 2779313, Zbl 1213.91006
Lamberton, Damien; Lapeyre, Bernard (2008), Introducción al cálculo estocástico aplicado a las finanzas , Chapman & Hall/CRC serie de matemáticas financieras (2. ed.), Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC, ISBN 978-1-58488-626-6, MR 2362458, Zbl 1167.60001
Schilling, René L. (2005), Medidas, integrales y martingalas , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-52185-015-5, MR 2200059, Zbl 1084.28001
Williams, David (1991), Probabilidad con martingalas , Cambridge University Press, ISBN 0-521-40605-6, MR 1155402, Zbl 0722.60001