sobre snell

La envolvente de Snell , utilizada en estocástica y finanzas matemáticas , es la supermartingala más pequeña que domina un proceso estocástico . El sobre Snell lleva el nombre de James Laurie Snell .

Definición

Dado un espacio de probabilidad filtrado y una medida de probabilidad absolutamente continua , entonces un proceso adaptado es la envolvente de Snell con respecto al proceso si ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \ll \mathbb {P} }$ ${\displaystyle U=(U_{t})_{t\in [0,T]}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in [0,T]}}$

1. ${\displaystyle U}$es una supermartingala ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
2. ${\displaystyle U}$domina , es decir , casi con seguridad para todos los tiempos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{t}\geq X_{t}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle t\in [0,T]}$
3. Si es una supermartingala la que domina , entonces domina . ^[1] ${\displaystyle V=(V_{t})_{t\in [0,T]}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$

Construcción

Dado un espacio de probabilidad filtrado (discreto) y una medida de probabilidad absolutamente continua , la envolvente de Snell con respecto al proceso viene dada por el esquema recursivo. ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{n})_{n=0}^{N},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \ll \mathbb {P} }$ ${\displaystyle (U_{n})_{n=0}^{N}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle (X_{n})_{n=0}^{N}}$

${\displaystyle U_{N}:=X_{N},}$

${\displaystyle U_{n}:=X_{n}\lor \mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[U_{n+1}\mid {\mathcal {F}}_{n}]}$para ${\displaystyle n=N-1,...,0}$

¿Dónde está la unión (en este caso igual al máximo de las dos variables aleatorias)? ^[1] ${\displaystyle \lor }$

Solicitud

• Si se trata de un pago de opción estadounidense con descuento con sobre Snell, entonces es el requisito de capital mínimo para cubrir desde el momento hasta la fecha de vencimiento. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{t}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t}$

Referencias

1. Föllmer, Hans; Schied, Alejandro (2004). Finanzas estocásticas: una introducción en tiempo discreto (2 ed.). Walter de Gruyter. págs. 280–282. ISBN 9783110183467.