Homotopía regular

En el campo matemático de la topología , una homotopía regular se refiere a un tipo especial de homotopía entre inmersiones de una variedad en otra. La homotopía debe ser una familia de inmersiones de un parámetro.

De manera similar a las clases de homotopía , se definen dos inmersiones como pertenecientes a la misma clase de homotopía regular si existe una homotopía regular entre ellas. La homotopía regular para inmersiones es similar a la isotopía de incrustaciones: ambas son tipos restringidos de homotopías. Dicho de otra manera, dos funciones continuas son homotópicas si representan puntos en los mismos componentes de trayectoria del espacio de mapeo , dada la topología compacta-abierta . El espacio de inmersiones es el subespacio de que consiste en inmersiones, denotado por . Dos inmersiones son regularmente homotópicas si representan puntos en el mismo componente de trayectoria de . ${\displaystyle f,g:M\to N}$ ${\displaystyle C(M,N)}$ ${\displaystyle C(M,N)}$ ${\displaystyle \operatorname {Imm} (M,N)}$ ${\displaystyle f,g:M\to N}$ ${\displaystyle \operatorname {Imm} (M,N)}$

Ejemplos

Dos nudos cualesquiera en el espacio tridimensional son equivalentes por homotopía regular, aunque no por isotopía.

Esta curva tiene una curvatura total de 6 π y un número de giro de 3.

El teorema de Whitney-Graustein clasifica las clases de homotopía regular de un círculo en el plano; dos inmersiones son regularmente homotópicas si y solo si tienen el mismo número de giro – equivalentemente, curvatura total ; equivalentemente, si y solo si sus mapas de Gauss tienen el mismo grado/ número de giro .

La clasificación de Smale de las inmersiones de esferas muestra que existen eversiones de esferas , que pueden realizarse a través de esta superficie de Morin .

Stephen Smale clasificó las clases de homotopía regular de una k -esfera inmersa en – se clasifican por grupos de homotopía de variedades de Stiefel , que es una generalización de la función de Gauss, con k derivadas parciales que no se anulan aquí. Más precisamente, el conjunto de clases de homotopía regular de incrustaciones de esfera en está en correspondencia biunívoca con elementos del grupo . En caso de que tengamos . Puesto que es conexo por trayectorias, y y debido al teorema de periodicidad de Bott tenemos y puesto que entonces tenemos . Por lo tanto, todas las inmersiones de esferas y en espacios euclidianos de una dimensión más son homotópicas regulares. En particular, las esferas incrustadas en admiten eversión si . Un corolario de su trabajo es que solo hay una clase de homotopía regular de una 2 -esfera inmersa en . En particular, esto significa que existen eversiones de esferas , es decir, se puede dar la vuelta a la 2-esfera "de adentro hacia afuera". ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle I(n,k)}$ ${\displaystyle S^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \pi _{k}\left(V_{k}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)\right)}$ ${\displaystyle k=n-1}$ ${\displaystyle V_{n-1}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)\cong SO(n)}$ ${\displaystyle SO(1)}$ ${\displaystyle \pi _{2}(SO(3))\cong \pi _{2}\left(\mathbb {R} P^{3}\right)\cong \pi _{2}\left(S^{3}\right)\cong 0}$ ${\displaystyle \pi _{6}(SO(6))\to \pi _{6}(SO(7))\to \pi _{6}\left(S^{6}\right)\to \pi _{5}(SO(6))\to \pi _{5}(SO(7))}$ ${\displaystyle \pi _{6}(SO(6))\cong \pi _{6}(\operatorname {Spin} (6))\cong \pi _{6}(SU(4))\cong \pi _{6}(U(4))\cong 0}$ ${\displaystyle \pi _{5}(SO(6))\cong \mathbb {Z} ,\ \pi _{5}(SO(7))\cong 0}$ ${\displaystyle \pi _{6}(SO(7))\cong 0}$ ${\displaystyle S^{0},\ S^{2}}$ ${\displaystyle S^{6}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle n=0,2,6}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Ambos ejemplos consisten en reducir la homotopía regular a homotopía; esto se ha generalizado sustancialmente posteriormente en el enfoque del principio de homotopía (o principio h ).

Homotopía no degenerada

Para curvas locales convexas y cerradas en el espacio , también se puede definir una homotopía no degenerada. Aquí, la familia de inmersiones de 1 parámetro debe ser no degenerada (es decir, la curvatura nunca puede anularse). Hay 2 clases distintas de homotopía no degenerada. ^[1] Otras restricciones de torsión no anulable conducen a 4 clases de equivalencia distintas. ^[2]

Referencias

1. Feldman, EA (1968). "Deformaciones de curvas en espacios cerrados". Journal of Differential Geometry . 2 (1): 67–75. doi : 10.4310/jdg/1214501138 .
2. Little, John A. (1971). "Homotopías no degeneradas de tercer orden de curvas espaciales". Journal of Differential Geometry . 5 (3): 503–515. doi : 10.4310/jdg/1214430012 .

• Whitney, Hassler (1937). "Sobre curvas regulares cerradas en el plano". Compositio Mathematica . 4 : 276–284.
• Smale, Stephen (febrero de 1959). "Una clasificación de las inmersiones de las dos esferas" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 90 (2): 281–290. doi : 10.2307/1993205 . JSTOR  1993205.
• Smale, Stephen (marzo de 1959). "La clasificación de inmersiones de esferas en espacios euclidianos" (PDF) . Anales de Matemáticas . 69 (2): 327–344. doi :10.2307/1970186. JSTOR  1970186.